知识讲解_空间几何体的表面积和体积_提高练习题

空间几何体的表面积和体积

【学习目标】

1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法；

2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；

3.了解球的表面积和体积公式推导的基本思想，掌握球的表面积和体积的计算公式，并会求球的表面积和体积；

4.会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积.

【要点梳理】

【高清课堂：空间几何体的表面积和体积 395219 空间几何体的表面积】

要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积

    棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：

要点诠释：

求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．

要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积

圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．

1．圆柱的表面积

（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得S圆柱侧=C=2πr．

（2）圆柱的表面积：．

2．圆锥的表面积

（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是．

（2）圆锥的表面积：S圆锥表=πr2+πr．

3．圆台的表面积

（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为π(r＇+r)，即圆台的侧面积为S圆台侧=π(r＇+r)．

（2）圆台的表面积：．

要点诠释：

求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．

4．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示．

  【高清课堂：空间几何体的表面积和体积395219 空间几何体的体积】

要点三、柱体、锥体、台体的体积

1．柱体的体积公式

棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh．

圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h．

综上，柱体的体积公式为V=Sh．

2．锥体的体积公式

棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积．

圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则．

综上，锥体的体积公式为．

3．台体的体积公式

棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是．

圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是

．

综上，台体的体积公式为．

4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示．

【高清课堂：空间几何体的表面积和体积395219 球的体积与表面积】

要点四、球的表面积和体积

1．球的表面积

（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积．

（2）球的表面积

设球的半径为R，则球的表面积公式  S球=4πR2．

即球面面积等于它的大圆面积的四倍．

2．球的体积

设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．

球的体积公式为．

要点五、侧面积与体积的计算

1．多面体的侧面积与体积的计算

在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用．

（1）棱锥平行于底的截面的性质：

在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：

对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比．

要点诠释：

这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．

（2）有关棱柱直截面的补充知识．

在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：

S棱柱侧=C直截（其中C直截、分别为棱柱的直截面周长与侧棱长），

V棱柱=S直截（其中S直截、分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）．

2．旋转体的侧面积和体积的计算

（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键．

（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键．

【典型例题】

类型一、简单几何体的表面积

例1．如右图，有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是          ．

【答案】．

【解析】底面积为，侧面面积分别为6、8、10，拼成四棱柱时，有三种情况：

拼成三棱柱时也有三种情况：

表面积为，24a2+36, 24a2+32

由题意得，解得．

【总结升华】（1）直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积；表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和．

（2）求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法．所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解．

举一反三：

【变式1】 一个圆柱的底面面积是，侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为（    ）

A．      B．      C．     D．

【答案】A

【解析】由圆柱的底面面积是，求出圆柱的半径为，进一步求出侧面积为．

例2．在底面半径为R，高为h的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高，并求此时侧面积的最大值．

【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求解。

【答案】高为   侧面积的最大值为

【解析】如右图，设圆柱的高为x，其底面半径为r，则，

∴．

圆柱的侧面积

   ，

当时，．

即内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高为，此时侧面积的最大值为．

【总结升华】与旋转体有关的问题，常作轴截面，利用相似比得出变量之间的关系，进一步转化成代数问题解决．

   举一反三：

【变式1】 圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比．

【答案】

【解析】如右图为其轴截面图，设圆柱、圆锥的底面半径分别是r、R，圆锥的母线长为．

则有，即，

∴R=2r，

∴

【总结升华】这是一个圆锥和圆柱的组合体．旋转体一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求各元素之间的关系，再利用相应表面积公式计算．

例3．粉碎机的下料斗是正四棱台形，如图，它的两底面边长分别是80 mm和440 mm，高是200 mm．计算制造这一下料斗所需铁板的面积．

【思路点拨】问题的实质是求正四棱台的侧面积，欲求侧面积，需先求出斜高．可在有关的直角梯形中求出斜高．

【答案】2.8×105

【解析】如图所示，O、O1是两底面的中心，则OO1是正棱台的高．设EE1是斜高，过E1作E1F∥OO1交OE于F，则E1F⊥OE，在直角梯形OO1E1E中，

    ．

∵边数n=4，两底面边长a=440 mm，a＇=80 mm，斜高h＇≈269 mm，

∴

         ．

答：制造这一下料斗约需铁板2.8×105 mm2．

【总结升华】 （1）解决与正棱台有关的计算问题，关键是利用有关直角梯形，即上图中的梯形OEE1O1、梯形OAA1O1、梯形AEE1A1．

（2）求棱台的侧面积，只需利用公式求解即可，这就需要求出上、下底面半径以及母线长．

举一反三：

【变式1】圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？（结果中保留π）

   【答案】1100π

【变式2】 邻边长为a，b的平行四边形，且a＞b，分别以a，b两边所在直线为轴旋转这个平行四边形，所得几何体的表面积分别为S1，S2，则有（    ）

A．S1＜S2    B．S1＞S2    C．S1＝S2    D．S1≥S2

   【答案】A

类型二、简单几何体的体积

例4．已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．

【答案】 

【解析】如右图所示，在三棱台ABC—A＇B＇C＇中，O＇、O分别为上、下底面的中心，D、D＇分别是BC、B＇C＇的中点，则DD＇是梯形BCC＇B＇的高，

所以．

又A＇B＇=20 cm，AB=30 cm，则上、下底面面积之和为

．

由S侧=S上+S下，得，

所以，

，

，

所以棱台的高，

由棱台的体积公式，可得棱台的体积为

  ．

【总结升华】 注意构造简单几何体中的特殊三角形与特殊梯形，它们的数量关系往往是连接已知与未知的桥梁，要注意利用．

举一反三：

【高清课堂：空间几何体的表面积和体积395219 例3】

【变式1】棱台的两个底面面积分别是245 cm2和80 cm2，截得这个棱台的棱锥的高为35cm，求这个棱台的体积。

【答案】2325

【变式2】（1）各棱长都为1的正四棱锥的体积V=________．

（2）如右图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上．若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），则四面体PEFQ的体积（    ）

A．与x，y，z都有关

B．与x有关，与y，z无关

C．与y有关，与x，z无关

D．与z有关，与x，y无关

【答案】（1） （2）D

【解析】从图中可以分析出，△EFQ的面积永远不变，为面A1B1CD面积的而当P点变化时，它到面A1B1CD的距离是变化的，即y的大小，影响P到面A1B1CD的距离，因此会导致四面体体积的变化．故选D．

例5．（2015年 重庆高考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．      B．      C．     D．

【答案】B

【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2

的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为1，高也为1；构成

的一个组合体，故其体积为．

故选：B．

【总结升华】给出几何体的三视图，求该几何体的体积或表面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求解．此类题目是新课标高考的热点，应引起重视．

举一反三：

【变式1】 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

 A． B． C． D．

   【答案】A

   【解析】由三视图可知，其几何体是由一个正方体挖去一个圆锥

所得，所以其体积是正方体的体积减去圆锥的体积之差，即．

类型三、球的表面积与体积

例6．（2016 上海静安区二模）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P—ABCDEF（底面正六边形ABCDEF的中心为球心）．求：正六棱锥P—ABCDEF的体积和侧面积．

【思路点拨】正六棱锥P—ABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，求出正六边形的边长，求出侧面斜高，即可求出正六棱锥的体积、侧面积．

【答案】

【解析】设底面中心为O，AB中点为M，连结PO、OM、PM、AO，则PO⊥OM，OM⊥AF，PM⊥AF，

∵OA=OP=2，∴，

∴．

∴．

∵．

∴．

【总结升华】考查空间想象能力，计算能力，能够得到底面积是大圆，求出斜高，本题即可解决，强化几何体的研究，是解好立体几何问题的关键．

举一反三：

【变式1】已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（    ）

A．    B．4π     C．2π     D．

【答案】D

例7．已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为．

（1）求它的外接球的体积．

（2）求它的内切球的表面积．

【答案】（1）（2）

【解析】  如右图，作PE垂直底面ABCD于E，则E在AC上．

（1）设外接球的半径为R，球心为O，连接OA、OC，则OA=OC=OP，

∴O为△PAC的外心，即△PAC的外接圆半径就是球的半径．

∵AB=BC=a，∴．

∵，∴△PAC为正三角形．

∴，

∴．

（2）设内切球的半径为r，作PE⊥BC于F，连接EF．

则有．

，

．

又．

∴，

∴，．

【总结升华】 多面体之间或多面体与球之间的切接关系，是一种空间简单几何体之间的位置关系．处理这类问题时，一般可以采用两种转化方法：一是转化为平面图形之间的内切或外接关系；二是利用分割的方式进行转化，使运算和推理变得简单，这里体现的转化思想是立体几何中非常重要的思想方法．

举一反三：

【变式1】 表面积为324的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积.

【答案】576

【解析】设球半径为R，正四棱柱底面边长为a，则作轴截面如图，

，，

又∵ ，∴，，

∴，∴，

∴

【总结升华】解决球与其他几何体的内切、外接问题的关键在于仔细观察、分析几何体的结构特征，弄清相关元素的位置关系和数量关系，选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球和其他几何体的各种元素，尽可能地体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的．

【变式2】 求体积为的正方体的外接球的表面积和体积．

【答案】

【解析】如图所示，显示正方体的中心为其外接球的球心，过球心作平行于正方体任一面的球的截面，则其截面为圆内一正方形（正方形的各顶点均在圆内，而不是在圆上）．因此，这样的截面无法反映球的半径与正方体的棱长的关系，注意到球心必在正方体的一个对角面上，因此，以正方体的一个对角面作截面即可．

如图，以正方体的对角面作球的截面，则球心为的中点，设正方体的棱长为，则，而

【总结升华】正方体外接球的轴截面不是圆内一正方形，而是圆内一矩形，因此在解决棱柱内切球和外接球的有关问题时，必须谨慎地作其轴截面，切忌想当然地作图．

解决球与其他几何体的内切、外接问题的关键在于仔细观察、分析几何体的结构特征，弄清相关元素的位置关系和数量关系，选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球和其他几何体的各种元素，尽可能地体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的．

【变式3】正三棱锥的高均为1，底面边长为，内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积．

【答案】 

【解析】过侧棱PA与球心O作截面PAE交侧面PBC于PE，由于△ABC为正三角形，故AE既是△ABC底边上的高，又是BC边上的中线，作正三棱锥的高PD，则PD过球心O，且D为△ABC的中心．

（1）∵正三角形ABC边长为

∴DE=·AE=·· =

故PE=

∴S全 =S侧+S底

=

=

（2）以球心为顶点,棱锥的四个面为底面,把正三棱锥分割为四个小棱锥,设球半径为r,则

V1+V2+V3+V4=r·S全=h·S△ABC

故r= (S△ABC·h)/ S全=

∴S球==．