知识讲解_古典概型_提高练习题

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古典概型
【学习目标】
1.正确理解古典概型的特点；
2.掌握古典概型的概率计算公式；
3.了解整数型随机数的产生与随机模拟实验.
【要点梳理】
要点一、古典概型
1.基本事件：
试验结果中不能再分的最简单的随机事件称为基本事件.
基本事件的特点：
(1)每个基本事件的发生都是等可能的.
(2)因为试验结果是有限个，所以基本事件也只有有限个.
(3)任意两个基本事件都是互斥的，一次试验只能出现一个结果，即产生一个基本事件.
(4)基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件都可以用基本事件的和的形式来表示.
2.古典概型的定义：
(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.
我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
3.计算古典概型的概率的基本步骤为：
(1)计算所求事件A所包含的基本事件个数m；
(2)计算基本事件的总数n；
(3)应用公式计算概率.
4.古典概型的概率公式：
.应用公式的关键在于准确计算事件A所包含的基本事件的个数和基本事件的总数.
要点诠释：
古典概型的判断：如果一个概率模型是古典概型，则其必须满足以上两个条件，有一条不满足则必不是古典概型.如“掷均匀的骰子和硬币”问题满足以上两个条件，所以是古典概型问题；若骰子或硬币不均匀，则每个基本事件出现的可能性不同，从而不是古典概型问题；“在线段AB上任取一点C，求AC>BC的概率”问题，因为基本事件为无限个，所以也不是古典概型问题.
要点二、随机数的产生
1.随机数的产生方法：
一般用试验的方法，如把数字标在小球上，搅拌均匀，用统计中的抽签法等抽样方法，可以产生某个范围内的随机数.在计算器或计算机中可以应用随机函数产生某个范围的伪随机数，当作随机数来应用.
2.随机模拟法(蒙特卡罗法)：
用计算机或计算器模拟试验的方法，具体步骤如下：
(1)用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；
(2)统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；
(3)计算频率作为所求概率的近似值.
要点诠释：
1.对于抽签法等抽样方法试验，如果亲手做大量重复试验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间.
2.随机函数RANDBETWEEN(a，b)产生从整数a到整数b的取整数值的随机数.
3.随机数具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验，比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中.
【典型例题】
类型一：等可能事件概念的理解
例1．判断下列说法是否正确，并说明理由。
（1）一个小组有男生5人，女生3人，从中男女各任选取一名进行活动汇报，每个人被选到的概率相等；
（2）一个口袋中装有大小相等、质地均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的概率相同。
【思路点拨】关键是弄清楚试验中的基本事件总数和所发生的基本事件数。
【答案】这两个问题的说法都不正确。
【解析】
（1）从5个男生中选一个男生的结果种数是5种，每个男生被选到的概率为，而从3个女生中选一个女生的结果种数有3种，每个女生被选到的概率为，所以不是每个人被选到的概率都是相等的；
（2）从袋中任取一个球共有6种取法，取得红球有3种取法，所以取到红球的概率是；取得黑球有2种取法，所以取到黑球的概率为；取得白球只有1种取法，所以取到白球的概率为．由此可知，虽然每个球被取到的概率相等，但并不是每种颜色的球被取到的概率都相等．
【总结升华】 在（1）中，错误的原因是没有明确基本事件是什么．这里是男女生各选一人，如果把说法改成“一个小组有男生5人，女生3人，从中任选一名进行活动汇报，每个人被选到的概率相等”就正确了；在（2）中，错误的原因也是没有明确事件是什么．这里的事件是指每种颜色的球，而不是指每个球，如果把说法改成“一个口袋中装有大小相等、质地均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每个球被摸到的概率相同”就正确了．
例2．有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用（x，y）表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数，y表示第2个正四面体玩具朝下的点数．试写出：
（1）试验的基本事件；
（2）事件“朝下点数之和大于3”：
（3）事件“朝下点数相等”；
（4）事件“朝下点数之差的绝对值小于2”．
【思路点拨】关键是弄清楚试验中的基本事件总数和所发生的基本事件数。
【解析】（1）这个试验的基本事件为：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．
（2）事件“朝下点数之和大于3”包含以下13个基本事件：（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．
（3）事件“朝下点数相等”包含以下4个基本事件：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）．
（4）事件“朝下点数之差的绝对值小于2”包含以下10个基本事件：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4；3），（4，4）．
【总结升华】列举法是写出基本事件的常用方法．
举一反三：
【变式1】先后抛掷2枚均匀硬币：
（1）一共出现多少种可能结果？
（2）出现“一枚正面，一枚反面”的结果有多少种？
（3）出现“一枚正面，一枚反面”的概率是多少？
（4）有人说，一共出现“两枚正面”“两枚反面”“一枚正面，一枚反面”三种结果，因此出现“一枚正面，一枚反面”的概率是，这种说法对不对？
【答案】（1）4（2）2（3）（4）不对
【解析】（1）掷一枚硬币有正、反两种可能，我们把两枚硬币标上1，2以便区分，由于l号硬币的每一种结果都可与2号硬币的任意一种结果配对，组成掷两枚硬币的一种结果，因此同时掷两枚硬币的结果有2×2=4种，它们是（正1，正2）、（正1，反2）、（反1，正2）、（反1，反2）．
（2）出现“一枚正面，一枚反面”的结果有二种，它们是（正1，反2）、（反1，正2）．
（3）出现“一枚正面，一枚反面”的概率是：．
（4）不对，这种说法认为（正1，反2）和（反1，正2）没有区别，作为一个基本事件，导致与“两正”“两反”可能性相等出现错误．
类型二：古典概型问题的概率计算
例3．从分别写有l，2，3，4，5，6，7，8，9的9张卡片中，任取2张，观察上面的数字，求下列事件的概率：
（1）两个数的和为奇数；
（2）两个数的积为完全平方数．
【思路点拨】可以先把基本事件总数一个一个的列出来，然后再看两个数的和为奇数的基本事件数有多少个。
【答案】（1）（2）
【解析】假设抽取卡片有先后顺序，无放回，则基本事件空间与点集S={（x，y）|x∈N*，y∈N*，1≤x≤9，1≤y≤9且x≠y}中的元素一一对应，而S中点的个数有9×8=72（个），所以基本事件总数为72，而本题中抽取卡片无序，所以基本事件总数为36个．
（1）和为奇数的条件是当且仅当两个数的奇偶性不同，即从1，3，5，7，9中取1个数和从2，4，6，8中取1个数的情况．
从1，3，5，7，9中抽取1个数的情况有5种，从2，4，6，8中抽取1个数的情况有4种，故“两个数和为奇数”的基本事件共5×4=20（个）．∴．
（2）当且仅当所取两个数的积为1×4，1×9，2×8，4×9时，两个数的积为完全平方数．
∴两个数的积为完全平方数共有4种情况．
∴概率．
【总结升华】 ①本题中抽取卡片无次序，所以抽取卡片号为（x，y）与（y，x）为同一基本事件．
②充分理解题意，才能准确写出基本事件的个数．
举一反三：
【变式1】做投掷两个骰子的试验：用（x，y）表示结果，其中x表示第一个骰子出现的点数，y表示第二个骰子出现的点数，写出：
（1）试验的基本事件；
（2）“出现点数之和大于8”的事件；
（3）“出现点数相等”的事件；
（4）“出现点数之和大于10”的事件，并求其概率．
【解析】（1）这个试验的基本事件为：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）．
（2）“出现点数之和大于8”包含10个基本事件：（3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），（5，6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）．
（3）“出现点数相等”包含6个基本事件：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）．
（4）“出现点数之和大于10”包含3个基本事件：（5，6），（6，5），（6，6），“出现点数之和大于10”的结果记为事件A，因此所求概率为：。
【变式2】为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）．
高校
相关人员人数
抽取人数
A
18
x
B
36
2
C
54
y
（1）求x，y；
（2）若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率．
【答案】（1）1，3（2）
【解析】（1）由题意可得，，所以x=1，y=3．
（2）记从高校B抽取的2人为b1，b2，从高校C抽取的3人为c1，c2，c3，则从高校B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有
（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3）共10种．
设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3）共3种．因此．
故选中的2人都来自高校C的概率为．
例4．一个口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外全都相同，四个人按顺序依次从中摸出一球，求第二个人摸到白球的概率．
【思路点拨】画出树状图，把基本事件总数一一列出。
【答案】
【解析】方法一：用A表示事件“第二个人摸到白球”．把2个白球编号1，2；2个黑球编号3，4．
把四个人从袋中各摸出一球的所有可能的结果用树根图直观地表示出来，如下图所示．

从树形图可以看出，试验的结果其总数为24．由于口袋内的4个球的形状完全相同，所以这24种结果的出现是等可能的，试验属于古典概型．在这24种结果中纵向看图，第二列中的1或2就是第二个人摸到白球的情况，可见第二个人摸到白球的结果有12种，所以，．
方法二：因为是计算“第二个人摸到白球”的概率，所以我们可以只考虑前两个人摸球的情况．前两个人依次从袋中摸出一球的所有可能用树形图列举出来，如下图所有结果数为12．

由于4个球的形状完全相同，所以这12种结果的出现都是等可能的，这个模型是古典概型．在12种结果中，第二个人模到白球的结果有6种，所以．
方法三：只考虑颜色，四个人依次摸出一球的所有结果用树形图列举出来，如下图，共有6种结果．

同理，第二个人摸到白球有3种结果，所以．

方法四：只考虑第二个人摸出球的情况，他可能摸到这4个球中的任何一个，这4种结果的出现都是等可能的，第二个人摸到白球的结果只有2种，所以。
【总结升华】利用树形图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果，从而较方便地求出某些事件发生的概率。当试验包含两步时，列表法比较方便，当试验在三步或三步以上时，用数形图方便。
举一反三：
【变式1】在一次“知识竞赛”活动中，有四道题，其中为难度相同的容易题，为中档题，为较难题. 现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答.
（Ⅰ）求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率；
（Ⅱ）求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16个，它们是：，，，，，，，，，，，，，，，.
（Ⅰ）用表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则包含的基本事件有：，，，，，. 所以.

（Ⅱ）用表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”，则包含的基本事件有：，，，，. 所以.
【变式2】（2015 朝阳区模拟）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组；第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．

（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽的概率．
【思路点拨】（1）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；
（2）从5名志愿者中抽取2名志愿者有10种情况，其中第4组的2名志愿者，至少有一名志愿者被抽中有7种情况，再利用古典概型的概率计算公式即可得出．
【答案】（1）分别抽取3人，2人，1人；（2）
【解析】（1）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10．
因为第3，4，5组共有60名志愿者，
所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，
每组抽取的人数分别为：第3组：；第4组：；第5组：．
所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人；
（2）记第3组的3名志愿者为，，，第4组的2名志愿者为，．则从5名志愿者中抽取2名志愿者有：
（，，），（，），（，），（，），
（，），（，），（，）
（，），（，），（，）共有10种．
其中第4组的2名志愿者，至少有一名志愿者被抽中的有：
（，），（，），（，），（，），
（，），（，），（，），共有7种
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为．
例5．（2015 陕西临潼区模拟）一盒中装有各色球12只，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球；从中随机取出1球．求：
（1）取出的1球是红球或黑球的概率；
（2）取出的1球是红球或黑球或白球的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意知本题是一个古典概型，
试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果；
满足条件的事件是取出的球是红球或黑球共有9种结果，
∴概率为．
（2）由题意知本题是一个古典概型，
试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果；
满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球共11种结果，
∴概率为．
即取出1球是红球或黑球的概率为；
取出的1球是红球或黑球或白球的概率为．
举一反三：
【变式1】一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．
（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共六个．
从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2，1和3两个．
因此所求事件的概率．
（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果（m，n）有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个．
又满足条件n≥m+2的事件为（1，3），（1，4），（2，4），共3个．
所以满足条件n≥m+2的事件的概率为．
故满足条件n＜m+2的事件的概率为．
类型三：用随机模拟估计概率
例6．盒中有大小、形状相同的5个白球和2个黑球，用随机模拟法求下列事件的概率：
（1）任取1球，得到白球；
（2）任取3球，恰有2个白球；
（3）任取3球（分三次，每次放回后再取），恰有3个白球．
【思路点拨】首先确定随机数的范围，本题应用1，2，3，4，5表示白球，用6，7表示黑球．“任取1球，得到白球”的概率，即出现数字1，2，3，4，5的次数与总试验次数比值的近似值；获得的随机数三个一组，“任取3球，恰有2个白球”即在某组数据中出现两个小于6的数字；获得的随机数三个一组，“任取3球，恰有3个白球”即在某组数据中三个数字都小于6．
【解析】用计算机或者是计算器产生l～7之间取整数值的随机数．
（1）统计随机数个数n以及小于6的随机数个数n1，则即为任取1球，得到白球的概率的近似值；
（2）将获得的随机数分为三个数一组（每组内数字不重复），统计总组数m及恰有两个小于6的组数m1，那么即为任取3球，恰有2个白球的概率的近似值．
（3）将获得的随机数分为三个数一组（每组内数字可重复），统计总组数后及三个数都小于6的组数k1，那么即为任取3球。恰有3个白球的概率的近似值．
【总结升华】 用计算机（或计算器）模拟一些试验可以省时省力。这种模拟适用于试验出现的结果是有限个的情况，但是每次模拟最终得到的概率值近似，不一定是相同的．
要注意有放回试验和无放回试验的基本事件数，在确定基本事件时，要做到不重不漏．
举一反三：
【变式1】在一次抽奖活动中，中奖者必须从一个箱子中（箱子中装有标号为1，2，3，4，5的5张卡片）取出一张卡片来决定他获得的是什么奖品．
5种奖品的编号如下：①一次欧洲旅行；②一辆摩托车；③一台高保真音响；④一台数字电视；⑤一个微波炉．用模拟的方法估计：
（1）他获得去欧洲旅游的概率是多少？
（2）他获得一台高保真音响或一台数字电视的概率是多少？
（3）他不获得微波炉的概率是多少？
【解析】设事件A表示“他获得去欧洲旅游”；B表示“他获得一台高保真音响或一台数字电视机”；C表示“他不获得微波炉”．
（1）用计算器的随机函数RANDI（1，5）或计算机的随机函数RANDBETWEEN（1，5）产生1～5之间的整数随机数表示它获得奖品的号码．
（2）统计试验总次数N及其中1出现的次数N1，出现3或4的次数N2，出现5的次数N3．
（3）计算频率，，等，即分别为事件A，B，C的概率的近似值．