知识讲解_古典概型_基础练习题

古典概型

【学习目标】

1.正确理解古典概型的特点；

2.掌握古典概型的概率计算公式；

3.了解整数型随机数的产生与随机模拟实验.

【要点梳理】

要点一、古典概型

1.基本事件：

试验结果中不能再分的最简单的随机事件称为基本事件.

基本事件的特点：

(1)每个基本事件的发生都是等可能的.

(2)因为试验结果是有限个，所以基本事件也只有有限个.

(3)任意两个基本事件都是互斥的，一次试验只能出现一个结果，即产生一个基本事件.

(4)基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件都可以用基本事件的和的形式来表示.

2.古典概型的定义：

(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等. 

我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.

3.计算古典概型的概率的基本步骤为：

(1)计算所求事件A所包含的基本事件个数m；

(2)计算基本事件的总数n；

(3)应用公式计算概率.

4.古典概型的概率公式：

.应用公式的关键在于准确计算事件A所包含的基本事件的个数和基本事件的总数.

要点诠释：

古典概型的判断：如果一个概率模型是古典概型，则其必须满足以上两个条件，有一条不满足则必不是古典概型.如“掷均匀的骰子和硬币”问题满足以上两个条件，所以是古典概型问题；若骰子或硬币不均匀，则每个基本事件出现的可能性不同，从而不是古典概型问题；“在线段AB上任取一点C，求AC>BC的概率”问题，因为基本事件为无限个，所以也不是古典概型问题.

要点二、随机数的产生

1.随机数的产生方法：

一般用试验的方法，如把数字标在小球上，搅拌均匀，用统计中的抽签法等抽样方法，可以产生某个范围内的随机数.在计算器或计算机中可以应用随机函数产生某个范围的伪随机数，当作随机数来应用.

2.随机模拟法(蒙特卡罗法)：

用计算机或计算器模拟试验的方法，具体步骤如下：

(1)用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；

(2)统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；

(3)计算频率作为所求概率的近似值.

要点诠释：

1.对于抽签法等抽样方法试验，如果亲手做大量重复试验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间.

2.随机函数RANDBETWEEN(a，b)产生从整数a到整数b的取整数值的随机数.

3.随机数具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验，比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中.

【典型例题】

类型一：等可能事件概念的理解

例1．判断下列说法是否正确，并说明理由。

（1）一个小组有男生5人，女生3人，从男女中各任选取一名进行活动汇报，每个人被选到的概率相等；

（2）一个口袋中装有大小相等、质地均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的概率相同。

【思路点拨】关键是弄清楚试验中的基本事件总数和所发生的基本事件数。

【答案】这两个问题的说法都不正确。

【解析】

    （1）从5个男生中选一个男生的结果种数是5种，每个男生被选到的概率为，而从3个女生中选一个女生的结果种数有3种，每个女生被选到的概率为，所以不是每个人被选到的概率都是相等的；

    （2）从袋中任取一个球共有6种取法，取得红球有3种取法，所以取到红球的概率是；取得黑球有2种取法，所以取到黑球的概率为；取得白球只有1种取法，所以取到白球的概率为．由此可知，虽然每个球被取到的概率相等，但并不是每种颜色的球被取到的概率都相等．

   【总结升华】在（1）中，错误的原因是没有明确基本事件是什么．这里是男女生各选一人，如果把说法改成“一个小组有男生5人，女生3人，从中任选一名进行活动汇报，每个人被选到的概率相等”就正确了；在（2）中，错误的原因也是没有明确事件是什么．这里的事件是指每种颜色的球，而不是指每个球，如果把说法改成“一个口袋中装有大小相等、质地均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每个球被摸到的概率相同”就正确了．

   例2．抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为x．

    （1）写出x的可能取值情况（即全体基本事件）；

    （2）下列事件由哪些基本事件组成（用x的取值回答）？

    ①x的取值为2的倍数（记为事件A）；

    ②x的取值大于3（记为事件B）；

    ③x的取值不超过2（记为事件C）；

    ④x的取值是质数（记为事件D）．

    （3）判断（2）中事件是否为古典概型，并求其概率．

   【思路点拨】关键是弄清楚试验中的基本事件总数和所发生的基本事件数。

【解析】（1）1，2，3，4，5，6；

    （2）①事件A为2，4，6；②事件B为4，5，6；③事件C为1，2；④事件D为2，3，5；

    （3）都是古典概型，其中，，，．

    【总结升华】古典概型需满足两个条件：（1）对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；（2）对于所有不同的试验结果而言，它们出现的可能性是相等的．

  举一反三：

【变式1】先后抛掷两枚均匀的硬币．

    （1）一共出现多少种可能结果？

    （2）出现“一枚正面向上，一枚反面向上”的结果有多少种？

    （3）出现“一枚正面向上，一枚反面向上”的概率是多少？

    【解析】（1）抛掷一枚硬币有正面向上、反面向上两种可能结果，我们把硬币标上1，2以便区分，由于l号硬币每种结果都可与2号硬币的任意一个结果配对，组成抛掷两枚硬币的一个结果，因此抛掷两枚硬币的结果有2×2=4（种）．它们是（正1，反2），（正1，正2），（反1，正2），（反1，反2）．

    （2）由（1）知出现“一枚正面向上，一枚反面向上”的结果有2种，它们是（正1，反2），（反1，正2）．

（3）出现“一枚正面向上，一枚反面向上”的概率。

类型二：古典概型问题的概率计算

例3．将一枚骰子先后抛掷两次．

    （1）一共有多少种不同的结果？

    （2）其中“向上的点数之和是7”的结果有多少种？

    （3）向上的点数之和是7的概率是多少？

    【思路点拨】把“一枚骰子先后抛掷两次”的基本事件总数一一列出。

【答案】（1）36（2）6（3）

【解析】（1）先将骰子抛掷一次．它落地时，向上的点数有1，2，3，4，5，6这6种结果，每种结果又对应着第二次抛掷时的6种可能情况．因此一共有6×6=36（种）不同的结果．

    （2）在（1）的所有结果中“向上的点数之和为7”的结果有（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）共六种，其中括号内的前后2个数分别为第一、第二次抛掷后向上的点数，如下图所示，其中坐标平面内的数表示相应两次抛掷后向上的点数的和．

    （3）所有36种结果是等可能出现的，其中“向上的点数之和是7”的结果（记为事件A）有6种，因此所求概率。

    举一反三：

  【变式1】 用红、黄、蓝三种不同颜色给3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：3个矩形颜色都不同的概率．

    【解析】  所有可能的基本事件共有27个，如下图．

设“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B的基本事件有2×3=6（个），故．

【变式2】 将一枚硬币连掷3次，求至少出现1次正面的概率．

【答案】

【解析】

解法一：设A表示“连掷3次硬币出现正面”，B表示“连掷3次硬币”，则B={（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，正，正），（反，反，反）}，B有8个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的，且A={（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，正，正）}，事件A有7个基本事件组成，所以．

 解法二：设A1表示“连掷3次硬币有一次出现正面”，A2表示“连掷3次硬币有两次出现正面”，A3表示“连掷3次硬币有三次出现正面”，A表示“连掷3次硬币出现正面．”

    显然，A=A1∪A2∪A3，由解法一容易得出，，，又因为A1、A2、A3彼此是互斥事件，所以，P（A）=P（A1∪A2∪A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=．

 解法三：在本题中，显然表示“连掷3次硬币三次均出现反面”的事件，且．根据（，得．

例4．一个口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外全都相同，四个人按顺序依次从中摸出一球，求第二个人摸到白球的概率．

【思路点拨】画出数状图，把基本事件总数一一列出。

【答案】

   【解析】 方法一：用A表示事件“第二个人摸到白球”．把2个白球编号1，2；2个黑球编号3，4．

    把四个人从袋中各摸出一球的所有可能的结果用树根图直观地表示出来，如下图所示．

    从树形图可以看出，试验的结果其总数为24．由于口袋内的4个球的形状完全相同，所以这24种结果的出现是等可能的，试验属于古典概型．在这24种结果中纵向看图，第二列中的1或2就是第二个人摸到白球的情况，可见第二个人摸到白球的结果有12种，所以，．

    方法二：因为是计算“第二个人摸到白球”的概率，所以我们可以只考虑前两个人摸球的情况．前两个人依次从袋中摸出一球的所有可能用树形图列举出来，如下图所有结果数为12．

    由于4个球的形状完全相同，所以这12种结果的出现都是等可能的，这个模型是古典概型．在12种结果中，第二个人模到白球的结果有6种，所以．

    方法三：只考虑颜色，四个人依次摸出一球的所有结果用树形图列举出来，如下图，共有6种结果．

    同理，第二个人摸到白球有3种结果，所以．

方法四：只考虑第二个人摸出球的情况，他可能摸到这4个球中的任何一个，这4种结果的出现都是等可能的，第二个人摸到白球的结果只有2种，所以。

【总结升华】利用树形图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果，从而较方便地求出某些事件发生的概率。当试验包含两步时，列表法比较方便，当试验在三步或三步以上时，用数形图方便。

举一反三：

【变式1】在一次“知识竞赛”活动中，有四道题，其中为难度相同的容易题，为中档题，为较难题. 现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答.

（Ⅰ）求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率；

（Ⅱ）求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

    【解析】由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16个，它们是：，，，，，，，，，，，，，，，.                                    

（Ⅰ）用表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则包含的基本事件有：，，，，，. 所以.

（Ⅱ）用表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”，则包含的基本事件有：，，，，. 所以.

【变式2】（2015 辽宁鞍山四模）某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵树苗，为了解树苗的生长情况，从这批树苗中随机地测量了其中50棵树苗的高度（单位：厘米），并把这些高度列成了如下的频数分布表：

    （1）在这批树苗中任取一棵，其高度不低于80厘米的概率是多少？

（2）这批树苗的平均高度大约是多少？（计算时用各组的中间值代替各组数据的平均值）；

（3）为了进一步获得研究资料，若从[40，50）组中移出一棵树苗，从[90，100]组中移出两棵树苗进行试验研究，则[40，50）组中的树苗A和[90，100]组中的树苗C同时被移出的概率是多少？

【答案】（1）；（2）73.8；（3）

【解析】（1）∵高度不低于80厘米的频数是12+4=16，

∴高度不低于80厘米树苗的概率为．

（2）根据题意，样本容量即各组频率之和为2+3+14+15+12+4=50，

则树苗的平均高度；

（3）设[40，50）组中的树苗为A、B，[90，100]组中的树苗为C、D、E、F，

则基本事件总数为12，它们是：ACD、ACE、ACF、ADE、ADF、AEF、BCD、BCE、BCF、BDE、BDF、BEF，

而满足A、C同时被移出的事件为ACD、ACE、ACF共3种，

∴树苗A和树苗C同时被出的概率．

例5．（2015 海南河东区一模）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．

（1）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；

（2）现往袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和不大于4的概率．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2．

其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况：红1蓝1，红1蓝2，红2蓝1，

故所求的概率为．

（2）加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，总共有15种情况．

其中颜色不同且标号之和不大于4的有10种情况：红1蓝1，红1蓝2，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，共计10种，

所以，要求的概率为．

【总结升华】本题考查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．

举一反三：

【变式1】一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片．

（Ⅰ）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；

（Ⅱ）若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果，可以列举出，而满足条件的事件数字之和大于7的，可以从列举出的结果中看出．

（2）列举出每次抽1张，连续抽取两张全部可能的基本结果，而满足条件的事件是两次抽取中至少一次抽到数字3，从前面列举出的结果中找出来．

（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，

设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，

∵任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），
其中数字之和大于7的是（1、3、4），（2、3、4），

（Ⅱ）设B表示事件“至少一次抽到3”，

∵每次抽1张，连续抽取两张全部可能的基本结果有：（1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），共16个基本结果．

事件B包含的基本结果有（1、3）（2、3）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、3），共7个基本结果．

∴所求事件的概率为P(B)=。

类型三：用随机模拟估计概率

例6．某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么在连续三次投篮中，恰有两次投中的概率是多少？

【思路点拨】其投篮的可能结果为有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能用古典概型的概率公式计算. 通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以生产0到9之间的取整数值的随机数.

【解析】

我们用1，2，3，4表示投中，用5，6，7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是40%.因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组.

例如：产生20组随机数：

812，932，569，683，271，989，730，537，925，

907，113，966，191，431，257，393，027，556.

这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个数在1，2，3，4中，则表示恰有两次投中，它们分别是812，932，271，191，393，即共有5个数，我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为=25%.

【总结升华】 (1)利用计算机或计算器做随机模拟试验，可以解决非古典概型的概率的求解问题.

(2)对于上述试验，如果亲手做大量重复试验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间.

(3)随机函数RANDBETWEEN(a，b)产生从整数a到整数b的取整数值的随机数.

举一反三：

【变式1】同时抛掷两枚质地均匀的正六面体骰子，用模拟方法计算都出现1点的概率．

   【解析】利用计算器或计算机产生1到6之间的取整数值的随机数，两个随机数作为一组，统计随机数总组数N及其中两个随机数都是1的组数N1，则频率即为同时抛掷两枚骰子都是1点的概率的近似值．

 【总结升华】如果改为抛掷三枚（四枚）骰子，那么可以把3个（4个）随机数作为一组，统计总组数与满足条件的组数即可．若求抛掷三枚骰子，出现两枚6点，一枚1点的概率时，只要统计两个6一个1的组数即可．