知识讲解_平面向量的基本定理及坐标表示_提高练习题

平面向量的基本定理及坐标表示

【学习目标】

1.了解平面向量的基本定理及其意义；

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；

4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

【要点梳理】

要点一：平面向量基本定理

1．平面向量基本定理

如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合.

①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；

②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.

这说明如果且，那么.

③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.

要点诠释：

平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.

2．如何使用平面向量基本定理

平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合．

（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．

（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、 ，平面上的任何一个向量都可以用、 唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、 的代数运算．

要点二：向量的夹角

  已知两个非零向量a与b，在平面上任取一点O，作a，b，则叫做a与b的夹角，记为〈a，b〉．当向量a与b不共线时，a与b的夹角；当向量a与b共线时，若同向，则；若反向，则，综上可知向量a与b的夹角．

当向量a与b的夹角是，就说a与b垂直，记作ab．

要点诠释：

（1）向量夹角是指非零向量的夹角，零向量与任何向量不能谈夹角问题．

（2）向量ab是两向量夹角的特殊情况，可以理解为两向量所在直线互相垂直．

要点三：平面向量的坐标表示

1．正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

要点诠释：

如果基底的两个基向量e1、e2互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．

2．平面向量的坐标表示

如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．

要点诠释：

（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中．

（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同．

（3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．

要点四：平面向量的坐标运算

1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算

2．如何进行平面向量的坐标运算

在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：

（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．

（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．

（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．

（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．

要点五：平面向量平行(共线)的坐标表示

1．平面向量平行(共线)的坐标表示

设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，即，或x1y2-x2y1=0.

要点诠释：

若，则∥不能表示成因为分母有可能为0.

2.三点共线的判断方法

判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知

=(x2-x1，y2-y1)，=(x3-x1，y3-y1)，

若则A，B，C三点共线.

【典型例题】

类型一：平面向量基本定理

【高清课堂：平面向量基本定理及坐标运算394885 例1】

例1．如图，在中，，是中点，线段与交于点，试用基底表示：

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）

         =

         =

         =

         =

（2）=

（3）在中，取

同理：

是的中点

      ==

【总结升华】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平面四边形法则结合实数与向量的积的定义，解题时要注意解题途径的优化与组合．

举一反三：

【变式1】△ABC中，BD=DC，AE=2EC，求.

【思路点拨】选取，作为基底，构造在此基底下的两种不同的表达形式.再根据相同基底的系数对应相等得实数方程组求解.

【解析】设

又

…①

又

而

………………②

比较①②，由平面向量基本定理得：

解得：或（舍） ，把代入得：

.

例2．如图，在△OAB中，，，AD与BC交于点M，设，，试以a，b为基底表示．

【思路点拨】直接利用、表示比较困难，可以先设，再根据三点共线的知识寻找出的两个方程，联立方程组，解之即得．

【解析】设（m，n∈R），则．

，

∵A、M、D三点共线，，

∴，即m+2n=1．  ①

而，，

∵C、M、B三点共线，，

∴，即4m+n=1．  ②

由，解得，∴．

【总结升华】 （1）充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注重方程思想的应用；（2）用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握．

    举一反三：

【变式1】如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于点E，设，，试用基底a，b表示向量．

【解析】易得，，由N、E、B三点共线知存在实数m，满足

    ．

由C、E、M三点共线知存在实数n，

满足．

所以．

即，解得，即．

类型二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题

例3．设、、是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A、B、P共线，当且仅当存在实数m、n使m+n=1且．

【思路点拨】本题包含两个问题：（1）A、B、P共线m+n=1，且成立；（2）上述条件成立A、B、P三点共线．

【证明】（1）由三点共线m、n满足的条件．

若A、B、P三点共线，则与共线，由向量共线的条件知存在实数使，即，∴．

令，n=，则且m+n=1．

（2）由m、n满足m+n=1A、B、P三点共线．

若且m+n=1，则．

则，即．

∴与共线，∴A、B、P三点共线．

由（1）（2）可知，原命题是成立的．

【总结升华】 本例题的结论在做选择题和填空题时，可作为定理使用，这也是证明三点共线的方法之一．

举一反三：

【变式1】设e1，e2是平面内的一组基底，如果，，，求证：A，C，D三点共线．

【解析】 因为，所以与共线．

类型三：平面向量的坐标运算

例4．已知，且求M、N及的坐标.

【思路点拨】根据题意可设出点C、D的坐标，然后利用已知的两个关系式，列方程组，求出坐标.

【解析】

设，则

同理可求，因此

【总结升华】向量的坐标是向量的另一种表示形式，它只与起点、终点、相对位置有关，三者中给出任意两个，可求第三个.在求解时，应将向量坐标看做一“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算，必须熟练掌握.

举一反三：

【变式1】 已知点以及求点C，D的坐标和的坐标.

【解析】设点C、D的坐标分别为，

由题意得

因为，

所以有和，解得和

所以点C、D的坐标分别是(0，4)，(-2，0)，从而

类型四：平面向量平行的坐标表示

例5.（2015秋 辽宁和平区期末）在平面内给定三个向量，，

（1）求满足的实数m、n的值

（2）若向量满足，且，求向量的坐标．

【答案】（1），；（2）（3，－1）或（5，3）．

【解析】（1）由已知条件以及，可得：（3，2）=m(―2，2)+n(4，1)=(―m+4n，2m+n)．

∴，解得实数，．

（2）设向量，，，

∵，

，

∴，解得  或  ，

向量的坐标为（3，－1）或（5，3）．

    举一反三：

【变式1】向量，，，当k为何值时，A、B、C三点共线？

【解析】 ，

．

∵A、B、C三点共线，∴，即(k―4)(12―k)―(k―10)×7=0．

整理，得k2―9k―22=0．解得k1=―2或k2=11．

∴当k=―2或11时，A、B、C三点共线．

【总结升华】以上方法是用了A、B、C三点共线即公共点的两个向量，共线，本题还可以利用A、B、C三点共线或，即得k=―2或11时，A、B、C三点共线．

【变式2】（2016秋 广东潮南区期末）已知向量．

（1）求；

（2）若向量与平行，求λ的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵向量，

∴，

∴．

（2），

∵向量与平行，

∴，

解得．

【高清课堂：平面向量基本定理及坐标运算394885 例4】

例6．如图，已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC与OB的交点P的坐标．

【解析】方法一：由O、P、B三点共线，可设，

则．

，

由与共线得(4－4)×6－4×(－2)=0，解得，

所以．所以P点坐标为（3，3）．

方法二：设P（x，y），则，

因为，且与共线，所以，即x=y．

又，，且与共线，则得(x－4)×6－y×(－2)=0，解得x=y=3，所以P点坐标为（3，3）．

【总结升华】（1）平面向量的坐标表示，使向量问题完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多几何问题的证明，就转化为熟悉的数量运算．

（2）要注意把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有当始点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等．

举一反三：

【变式1】（2015春 四川达州期末）已知如图，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，A（―1，―2），B（6，5），D（0，2）．

（1）求点C的坐标．

（2）求等腰梯形ABCD对角线交点M的坐标．

【答案】（1）C（2，4）；（2）．

【解析】（1）设C（x，y）．

∵A（―1，―2），B（6，5），D（0，2），

∴，，

由已知，AB∥DC，，

∴，解得  或  ．

当x=7，y=9时，四边形ABCD是平行四边形，舍去．

∴x=2，y=4，即C（2，4）．

（2）由（1）知，直线AC的方程是，即y=2x，

直线BD的方程是．

解方程组，得，

∴．