知识讲解_正弦函数、余弦函数的图象_提高练习题

正弦函数、余弦函数的图象

【学习目标】

1.了解作正弦函数、余弦函数图象的三种方法；

2.掌握三角函数图象的作用，会用“五点法”作出正弦函数和余弦函数的图象．

【要点梳理】

要点一：正弦函数、余弦函数图象的画法

1．描点法：

按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法．

2．几何法

利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在内的图象，再通过平移得到和的图象．

3．五点法

先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象．

在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是

要点诠释：

（1）熟记正弦函数、余弦函数图象起关键作用的五点．

（2）若，可先作出正弦函数、余弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到和的图象．

（3）由诱导公式，故的图象也可以将的图象上所有点向左平移个单位长度得到．

要点二：正弦曲线、余弦曲线

（1）定义：正弦函数和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

（2）图象

要点诠释：

（1）由正弦曲线和余弦曲线可以研究正弦函数、余弦函数的性质．

（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数、余弦函数有关的问题，如，方程根的个数．

要点三：函数图象的变换

图象变换就是以正弦函数、余弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到．

【典型例题】

类型一：“五点法”作正、余弦函数的图象

例1．作出下列函数在[－2π，2π]上的图象．

（1）；（2）．

【思路点拨】（1）先利用五点法作出函数在[0，2π]上的图象，然后作出它关于y轴对称的图象即可．（2）由于，因此只需作出函数y=|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象即可．

【解析】（1）描点、作图

    其图象如下图所示．

    （2）函数y=|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象可采用将函数y=cos x，x∈[－2π，2π]的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方的方法得到，所得图象如下图所示．

【总结升华】作图是一项很重要的能力，而“五点法”是作三角函数图象的一种非常简便的方法．在利用“五点法”作图时，一定要弄清楚是哪五点，为什么要取这五点等．此外第（2）小题中我们使用了对称变换，并且我们还可以发现，加了绝对值后，其周期变为原来的一半了．

举一反三：

【变式1】用五点法作出下列函数的图象．

（1），；

（2），．

【思路点拨】（1）取上五个关键的点（0，2）、（，1）、、、（2，2）．（2）取上五个关键的点．

【解析】（1）找出五点，列表如下：

描点作图（如下图）．

（2）找出五点，列表如下：

描点作图（如下图）．

    【总结升华】  在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的．

类型二：利用图象变换作出函数的图象

例2．（1）作函数的图象；

（2）作函数的图象．

【思路点拨】（1）要善于利用函数的图象来作及的图象．

（2）函数的定义域为，因此作出函数的图象后，要把（k∈Z）对应的点去掉．

【解析】 （1）将化为，其图象如下图．

（2）当，即（k∈Z）时，有，即（，k∈Z）．其图象如下图．

【总结升华】  函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换，一般地，函数的图象与的图象关于y轴对称，与的图象关于x轴对称，和图象与的图象关于原点对称，的图象关于y轴对称．

举一反三：

【变式1】利用图象变换作出下列函数的简图：．

【解析】先作出的图象，然后利用对称作出的图象，最后向上平移1个单位即可，如下图．

类型三：利用函数图象解简单的三角不等式

例3．根据正弦曲线求满足的x的范围．

【思路点拨】先在一个周期内求出x的范围，然后加上周期的整数倍．

【解析】在同一坐标系内作出函数y=sin x与的图象，如下图．

观察在一个周期的闭区间内的情形，满足的．

因为正弦函数的周期是2π，所以满足的x的范围是．

【总结升华】（1）一般地，对于y=sin x，观察其一个周期常常是[0，2π]或；对于y=cos x，观察其一个周期常常是[0，2π]或[－π，π]．

（2）数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的问题形象化、直观化，平时解题时要注意运用．

（3）正、余弦函数的图象有很多重要的应用，其中利用正弦函数的图象求角的范围（即解三角不等式）是基本的应用之一，要注意结合函数的图象特点和正、余弦函数的周期性等进行求解．

举一反三：

【变式1】（2016 河南南阳月考）（1）已知函数y=3cosx，，求单调区间、最值及取得最值条件．

（2）已知，求θ的范围．

【思路点拨】（1）画出y=3cosx，的图象，由图象直接写出答案．

（2）直接根据正弦函数的图象和性质，得到θ的范围．

【解析】（1）画出y=3cosx，的图象，如图所示，

由图象可知单调增区间为，单调减区间为（0，π）时，当x=0时，有最大值，最大值为3，当x=π时，有最小值，最小值为－3；

（2）∵，

∴，或，k∈Z，

∴θ的范围为．

类型四：三角函数图象的应用

例4．（1）方程的解的个数为（    ）

A．0    B．1    C．2    D．3

（2）（2015 四川广安模拟）已知函数，x∈[0，2π]，作出函数的图象；讨论直线y=k与函数的交点个数，并求此时的k的取值范围．

【解析】（1）作出与的图象，当时，，，当时，，与再无交点．如图所示，由图知有三个交点，∴方程有三个解．

（2）的图象如图，

由图象可知：

当k＞0或k＜―3时，直线y=k与函数有0个交点；

当k=―3时，直线y=k与函数有1个交点；

当―3＜k＜―1时，直线y=k与函数有2个交点；

当k=0或k=―1时，直线y=k与函数有3个交点；

当―1＜k＜0时，直线y=k与函数有4个交点．

【总结升华】利用函数图象讨论不等式的解集和方程的实数根的个数，既直观又简捷，这就是我们常说的“数形结合”思想在解题中的应用，请认真体会．

举一反三：

【变式1】画出图象，判断在[0，2π]内使sin x＞cos x成立的x的取值范围．

     【解析】用“五点法”作出y=sin x，y=cos x（0≤x≤2π）的简图如图．

由图象可知（1）当或时，sin x=cos x．

（2）当时，sin x＞cos x．

（3）当或时，sin x＜cos x．

故x∈[0，2π]时要使sin x＞cos x，则x的取值范围为．