知识讲解_平面向量的线性运算_基础练习题

平面向量的线性运算

【学习目标】

1.能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量.

2．能结合图形进行向量的计算．

3．能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算．

4．理解实数与向量的积的意义，会利用实数与向量的积的运算律进行计算．

5．掌握向量共线的条件．

【要点梳理】

要点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则

1.向量加法的概念及三角形法则

已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图

本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．

2．向量加法的平行四边形法则

   已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．

求两个向量和的运算，叫做向量的加法．

对于零向量与任一向量，我们规定．

要点诠释：

两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.

要点二：向量求和的多边形法则及加法运算律

1.向量求和的多边形法则的概念

已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．

特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有

2．向量加法的运算律

（1）交换律：；

（2）结合律：

要点三：向量的三角形不等式

由向量的三角形法则，可以得到

(1)当不共线时，；

(2)当同向且共线时，同向，则；

(3) 当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，．

要点四：向量的减法

1．向量的减法

（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．

相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量．

（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．

要点诠释：

（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．

（2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则．

（3）两个向量的差仍是一个向量．

2．向量减法的作图方法

（1）已知向量，（如图），作，则=,即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．

（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．

要点五：数乘向量

1.向量数乘的定义

实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：

(1)；

(2)①当时，的方向与的方向相同；

②当时.的方向与的方向相反；

③当时，.

2．向量数乘的几何意义

由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法．

3.向量数乘的运算律

设为实数

结合律：；

分配律：，

要点六：向量共线的条件 

1．向量共线的条件

（1）当向量时，与任一向量共线．

（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．

反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．

2．向量共线的判定定理

是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．

3．向量共线的性质定理

若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．

要点诠释：

（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；

（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；

（3）有且只有一个实数，使．

（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.

【典型例题】

类型一：向量加法的几何运算

例1．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：

（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）由图知，OABC为平行四边形，∴

（2）由图知，∴．

（3）∵，∴．

又，∴．

【总结升华】利用向量加法的平行四边形法则或三角形法则求两个向量的和向量，注意当两个向量共线时，三角形法则仍适用，而平行四边形法则不适用．

举一反三：

【变式1】在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若，，则（    ）

A．    B．    C．    D．

    【答案】B

    类型二：向量减法的几何运算

例2．如图，解答下列各题：

（1）用，，表示；（2）用，表示；

（3）用，，表示；（4）用，表示．

【答案】（1）（2） (3) （4）

【解析】  ∵，，，，，

∴（1）．

（2）．

（3）．

（4）．

【总结升华】在本题中，我们看到，这两个向量的表示并不唯一．在解决这类问题时，要注意向量加法、减法和共线（相等）向量的应用．当运用三角形法则时，要注意两向量首尾相接，当两个向量起点相同时，可以考虑用减法．

举一反三：

【高清课堂：向量的线性运算 395568 例1】

【变式1】为正六边形的中心，设,，则等于（   ）．

（Ａ）     （Ｂ）   （Ｃ）   （Ｄ）

【答案】Ｂ

【变式2】如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设 ，，．求证：．

     【解析】∵，，∴，即．

类型三：与向量的模有关的问题

例3． 已知非零向量，满足，，且|－|=4，求|+|的值．

【解析】  如图，，，则．

以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则．

由于．

故，

所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以OACB是矩形．

根据矩形的对角线相等有，即|+|=4．

【总结升华】 （1）向量+，－的几何意义在证明、运算中具有重要的应用．对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用．

（2）关于向量的加减法运算除掌握法则外，还应注意一些特殊情况，如零向量、共线向量等．要注意到向量的加法和求模运算的次序不能交换，即两个向量和的模不一定等于这两个向量的模的和．因为向量的加法实施的对象是向量，而模是数量，模的加法是数量的加法．

举一反三：

【变式1】若，，则的取值范围是多少？

【答案】

【解析】．

当，同向时，，当，反向时，；

当，不共线时，．

类型四：向量的数乘运算

例4．（2016 河北承德月考）计算：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．

【解析】（1）

（2）

（3）

（4）原式

         ．

【总结升华】数乘向量与数乘数不同，前者结果是一个向量，后者结果是一个数，＞0时，与同向；＜0时，与反向；=0时，=0；故与一定共线．应用实数与向量的积的运算律时，应联想数与数乘积运算的有关知识，加深对数乘向量运算律的理解．

举一反三：

    【变式1】计算：

（1）6(3―2)+9(―2+)；

（2）；

（3）6(―+)―4(―2+)―2(―2+)．

【解析】  （1）原式=18―12―18+9=―3．

（2）

．

（3）原式=6―6+6―4+8―4+4―2

=(6―4+4)+(8―6)+(6―4―2)

=6+2．

例5.如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示

【思路点拨】利用三角形法则和数乘运算，用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是，由它可以“生”成.

【解析】在中

【总结升华】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.

举一反三：

【变式1】如图，四边形OADB是以向量，为邻边的平行四边形，又，，试用向量、表示，，．

【解析】 ∵，

∴，

∵，

∴，

．

类型五：共线向量与三点共线问题

例6.（2015 广东模拟）如图，在平行四边形ABCD，，，M为AB的中点，点N在DB上，且．

（1）当t=2时，证明：M、N、C三点共线；

（2）若M、N、C三点共线，求实数t的值．

【答案】（1）略；（2）t=2

【解析】证明：（1）当t=2时，且，

有，

又，

∴；

，

则，与有公共点N，

于是M、N、C三点共线；

（2）由，

得，

，

，

，

由M、N、C三点共线，得，

∴，

得，且，

解得t=2或t=－1（舍去）；

∴t=2．

【总结升华】若A、B、P三点共线，O为直线外一点，则，且，反之也成立，这是三点共线在向量中最常用的证明方法和性质，大家一定要熟练掌握．

举一反三：

【变式1】设和是两个不共线的非零向量，若向量

，试证明：A、C、D三点共线.

证明：

　　∴又

　　∴

　　∴与共线，

　　∴A、C、D三点共线.

【变式2】设，是两个不共线的向量，，，，若A、B、D三点共线，求k的值．

【解析】，若A，B，D三点共线，则与共线，则2∶1=k∶(―4)，k=―8．

类型六：向量在证明平面几何问题中的应用

  例7． 如图，已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点．

求证：．

【证明】取以点A为起点的向量，应用三角形法则求，如下图．

∵E是AD的中点，∴．

∵F是BC的中点，∴，

又∵，

∴．

∴．

【总结升华】 掌握向量的线性运算是关键，利用封闭图形的依次各向量之和为零向量进行变形而得到．

    举一反三：

【变式1】（2015 湖南模拟）在△ABC中，，，且、交于点F，试用向量的方法求．

【答案】

【解析】画出图形，如图所示，

设，，

∴，；

∴，

又A、D、F三点共线，

∴，

B、E、F三点共线，

∴，

即，

∴；

∴，

解得，；

∴，即；

∴．