知识讲解_两角差的余弦公式_提高练习题

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两角差的余弦公式 【学习目标】1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.2．通过公式的推导，领会其中的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质.【要点梳理】要点一：两角差的余弦公式1．两角差的余弦公式的推导：（1）如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，它们的终边与单位圆的交点分别为，则由向量数量积的概念，有，结合向量数量积的坐标表示，有所以= （*）（2）由以上的推导过程可知，是任意角，则也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，（*）中的．为此，我们讨论如下：由于是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角，使．①若，则．②若，则，且由以上的讨论可知，对于任意的，都有：=   2．公式的记忆右端为的同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反．要点诠释：(1)公式中的都是任意角．(2)差角的余弦公式不能按分配律展开，即．(3)要正确地识记公式结构，公式右端的两部分为同名三角函数积，左端为两角差的余弦．要点二：两角差余弦公式的逆向应用和活用1．逆用 =要点诠释：公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由能迅速地想到．2．角变换后使用．3．移项运用4．特殊化使用5．以代即【典型例题】高清课堂：两角差的余弦公式 401789 例1类型一：利用差角的余弦公式进行证明例1．求证：（1）（2）【思路点拨】（1）用代，利用两角差的余弦公式展开．（2）利用及两角和的余弦公式可证得．【证明】（1）=             = （2）                =                =                =                =举一反三：【变式1】证明：             =             =             =             =             =类型二：利用差角的余弦公式化简三角函数式例2．（1）；（2）．【解析】（1）原式．（2）原式=    =    =    =    =【总结升华】 两角差的余弦公式中，，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体，如（2）题的（）可视为一个整体．分析题目特点，构造两角的差，然后应用两角差的余弦公式，是常见题型．举一反三：【变式1】（1）cos15°cos105°+sin15°sin105°；（2）cos(－35)°·cos(25°+)+sin(－35°)·sin(25°+)；（3）cos 40°cos70°+cos20°cos50°；（4）；【解析】（1）原式=cos(15°－105°)=cos(－90°)=0．（2）原式．（3）原式．（4）原式       类型三：利用差角的余弦公式求值（或角）例3．已知，，，均为锐角，求．【思路点拨】【解析】∵，均为锐角，∴，，由，，易知，．∴．【总结升华】举一反三：【变式1】已知，，且、、均为锐角，求的值 【解析】因为、均为锐角，故，，均在（0，π）内，所以，．而，所以．例4．已知、均为锐角，且，，求的值．【思路点拨】先求，然后根据确定的范围．【答案】【解析】 ∵、均为锐角，且，，∴，，∴．又∵，，，而，∴，即，∴，∴．【总结升华】 此类题目是给值求角问题，一般步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值；②确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．举一反三：【变式1】 已知、为锐角，，，求角的值．【解析】  ∵为锐角且，∴．又为锐角，∴，又，∴．∴．∴．又为锐角，．【总结升华】（1）本题运用了角的变换技巧，抓住条件角与结论角的关系解题．（2）应注意运用三角函数值的大小关系这一隐含条件来研究角的范围．【变式2】若，，求的值．【解析】（1）（2）（1）2+（2）2得：2+2=1 类型四：两角差的余弦公式在向量运算中的应用例5．已知三点、、．若向量（k为常数，且0＜k＜2），求的最大、最小值及相应的k值．【思路点拨】由题意得，因为要求的最值，所以想法消去可解得．【答案】当k=1时，最大值；当或时，最小值－1．【解析】 由已知得．移项得．①2+②2得．∴∵0＜k＜2，故k=1时，有最大值，又，∴的最小值为－1，此时，解得或．综上所述，当k=1时，有最大值；当或时，有最小值－1．【总结升华】（1）向量与三角函数有机结合，是近几年高考的一个亮点，希望引起足够的重视．（2）形如的一类问题，平方相加或相减，或者先移项再平方相加而消元，是解决此类问题的常用方法．举一反三：【变式1】设A、B为锐角三角形ABC的两个内角，向量，，若a，b的夹角为60°，则A－B等于（    ）A．    B．    C．    D．【答案】C【解析】a·b=又|a|=，|b|=又