知识讲解_任意角和弧度制_提高练习题

任意角和弧度制

【学习目标】

1.理解任意角的概念.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法。

2.了解弧度制的意义；掌握角的不同度量方法，能对弧度制和角度制进行正确的换算.

3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积的计算公式，并能结合具体问题进行正确地运算。

【要点梳理】

要点一：任意角的概念

1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

正角:按逆时针方向旋转所形成的角.

负角:按顺时针方向旋转所形成的角.

零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.

要点诠释：

角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.

2.终边相同的角、象限角

终边相同的角为

角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.

要点诠释：

(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；

(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；

(3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.

3．常用的象限角

是第一象限角，所以

是第二象限角，所以

是第三象限角，所以

是第四象限角，所以

要点二：弧度制

1．弧度制的定义

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).

2．角度与弧度的换算

弧度与角度互换公式：

1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad)

3．弧长公式：(是圆心角的弧度数)，

扇形面积公式：.

要点诠释：

(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.

(2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径.

【典型例题】

   类型一：终边相同的角的集合

例1．在与10030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角。

    （1）最大的负角；（2）360°～720°内的角。

    【思路点拨】根据终边相同的角之间相差周角的整数倍，我们可以表示出与10030°的角终边相同的角的集合，找出满足条件的k值，即可得到答案．

【答案】（1）―50°（2）670°

【解析】（1）与10030°角终边相同的角的一般形式为=k·360°+10030°（k∈Z），由－360°＜k·360°+10030°≤0°，得－10390°＜k·360°≤－10030°，解得k=―28，故所求的最大负角为=―50°。

（2）由360°≤k·360°+10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜―9310°，解得k=―26。故所求的角为=670°。

【总结升华】把任意角化为+k·360°（k∈Z且0°≤＜360°）的形式，关键是确定k。可以用观察法（的绝对值较小），也可用竖式除法。

举一反三：

【变式】已知=－1910°。

（1）把写成（k∈Z，0°≤＜360°）的形式，指出它是第几象限的角。

（2）求，使与的终边相同，且－720°≤≤0°。

【答案】（1）－6×360°+250° 第三象限的角（2）－470°

【解析】（1）∵－1910°÷360°=－6余250°，

∴－1910°=－6×360°+250°，

相应的=250°，从而=－6×360°+250°是第三象限的角。

（2）令=250°+k·360°（k∈Z），

取k=―1，―2就得到满足―720°≤≤0°的角；

250°－360°=－110°，250°－720°=－470°。

例2．已知、的终边有下列关系，分别求、间的关系式。

（1）、的终边关于原点对称；

（2）、的终边关于x轴对称；

（3）、的终边关于y轴对称。

【答案】（1）,（k∈Z）2）+=k·360°,（k∈Z）（3）+=(2k+1)·180°,（k∈Z）

【解析】（1）由于、的终边互为反向延长线，故、相差180°的奇数倍（如下图①），于是（k∈Z）。

（2）由于与－的终边相同（如下图②），于是=－+k·360°，即+=k·360°（k∈Z）。

（3）由于－的终边与的终边互为反向延长线（如下图③），故－(－)=(2k+1)·180°，即+=(2k+1)·180°（k∈Z）

【总结升华】首先在0°～360°范围内找出两个角的关系，然后再根据终边相同的角的概念写出完整答案。

举一反三：

【变式1】（2015春 广东东莞月考）若角和角的终边关于x轴对称，则角可以用角表示为（    ）

A．2kπ+β（k∈Z）    B．2kπ－β（k∈Z）

C．kπ+β（k∈Z）     D．kπ－β（k∈Z）

【答案】B

【解析】若角和角的终边关于x轴对称，则+=2kπ，k∈Z，

即  α=2kπ－β（k∈Z），

故选：B．

类型二：角所在象限的研究

例3．若是第二象限角，试分别确定，，的终边所在的位置。

【思路点拨】因为是第二象限的角，所以k·360°+90°＜＜k·360°+180°，把上式两边都乘以2、、，然后对进行讨论，就可得 ，，的终边所在的位置。

【答案】第三、第四象限的角或角的终边在y轴的负半轴上；第一或第三象限的角；第一或第二象限或第四象限的角

【解析】

解法一：因为是第二象限的角，所以k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）。

（1）因为2k·360°+180°＜＜2k·360°+360°（k∈Z），故是第三、第四象限的角或角的终边在y轴的负半轴上。

（2）因为k·180°+45°＜＜k·180°+90°（k∈Z），当k=2n（n∈Z）时，n·360°+45°＜＜n·360°+90°；当k=2n+1（n∈Z）时，n·360°+225°＜＜n·360°+270°（k∈Z），所以是第一或第三象限的角。

（3）因为k·120°+30°＜＜k·120°+60°（k∈Z）。当k=3n（n∈Z）时，n·360°+30°＜＜n·360°+60°；当k=3n+1（n∈Z）时，n·360°+150°＜＜n·360°+180°；当k=3n+2（n∈Z）时，n·360°+270°＜＜n·360°+300°，所以是第一或第二象限或第四象限的角。

解法二：以为例讲解。把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则原来是第Ⅱ象限的符号所表示的区域即为的终边所在的

区域.由图可知，是第一、二、四象限角.

【总结升华】已知的范围，确定的范围，一般应先将的范围用不等式表示，然后再两边同除以n，根据k的取值进行分类讨论，以确定的范围，讨论角的范围时要做到不重不漏，尤其对象限界角应引起注意。

举一反三：

【高清课堂：任意角与弧度数385946 例2】

【变式1】若是第三象限的角，则2，分别是第几象限的角？

【答案】一、二象限或轴的正半轴上；二、四象限

【变式2】集合，，则(    )

A、       B、       C、       D、

【答案】C

【解析】( 法一) 取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4

(法二)在平面直角坐标系中，数形结合

(法三)集合M变形，

集合N变形，

是的奇数倍，是的整数倍，因此.

类型三：弧度制与角度制的互化

例4．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示（不包括边界）。

【思路点拨】这类题只要找到两射线对应的角，然后写成即可，注意。

【答案】（1）（2）

【解析】（1）如下图①，以OB为终边的角为330°，可看成是－30°，化为弧度，即，

而rad，∴所求集合为。

（2）如上图②，以OB为终边的角225°，可看成是－135°，化成弧度，即，

而rad，∴所求集合为。

【总结升华】在表示角的集合时，一定要使用统一的单位，只能用角度制或弧度制中的一种，不能混用。

例5．设角，，，。

（1）将，用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；

（2）将，用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角。

【答案】（1）  （2）  ―612°和―252°； =―420°－60°

【解析】要确定角所在的象限，只要把表示为=2kπ+0（k∈Z，0≤＜2π）的形式，由0所在的象限即可判定出所在的象限。

（1），

。

所以在第二象限，在第一象限。

（2），

设=k·360°+（k∈Z），

因为－720°≤＜0°，

所以－720°≤k·360°+108°＜0，

解得k=―2或k=―1，

所以在―720°～0°间与有相同终边的角是―612°和―252°。

同理=―420°，在―720°～0°间与有相同终边的角是－60°。

【总结升华】①在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住πrad=180°，这一关系。②用弧度作为单位时，常出现π，如果题目没有特殊的要求，应当保留π的形式，不要写成小数。③角度制与弧度制不得混用，如，k∈Z；，k∈Z都是不正确的写法。

举一反三：

【高清课堂：任意角与弧度制385946 例4】

【变式1】分别使用角度制与弧度制表示下列角的集合：

    (1) 与终边相同的角

(2) 终边在y轴正半轴上的角的集合

(3) 终边在y轴负半轴上的角的集合

 (4) 终边在y轴上的角的集合

   【答案】

   （1），

   （2），

   （3），

   （4），

类型四：扇形的弧长、面积与圆心角问题

   例6．（2015春 山东菏泽期中）已知一扇形的圆心角为（＞0），所在圆的半径为R．

（1）若=60°，R=10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；

（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？

【思路点拨】（1）根据弧长的公式和扇形的面积公式即可求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；

（2）根据扇形的面积公式，结合一元二次函数的性质即可得到结论．

【答案】（1）；（2）2 rad

【解析】（1）设弧长为l，弓形面积为S，则，

R=10，（cm），

设扇形面积为

（cm2）

（2）设扇形的半径为R，弧为为l，

则l+2R=20，即l=20－2R，（0＜R＜10）．

∴扇形的面积．

∴当R=5 cm时，S有最大值25 cm2，

此时l=10 cm，．

因此，当=2 rad时，扇形的面积取最大值

【总结升华】有关扇形的弧长，圆心角，面积S的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用=||·R，两组公式，采用消元思想或二次函数思想加以解决．

   举一反三：

【变式1】如图，扇形AOB的面积是4 cm2，它的周长是10 cm，求扇形的圆心角的弧度数及弦AB的长。

【答案】，

【解析】设长为cm，扇形半径为R cm，则由题意，

得，解得  或  （不合题意，舍去）。

∴（rad）。

∴弦（cm）。

例7．将一条绳索绕在半径为40 cm的轮圈上，绳索的下端B处悬挂着物体W，如果轮子按逆时针方向每分钟旋转6圈，现想将物体W的位置向上提升100 cm，需要多长时间才能完成这一工作？

【思路点拨】关键是求弧长是100 cm时，弧长所对的圆心角是多少，进一步求出上升所用时间。

【答案】4

【解析】如图，当BB＇=100 cm时，的长是100 cm，所对的圆心角。∵轮子每分钟匀速旋转6圆，∴每秒匀速转过，即，于是t秒转过rad，∴，解得。

【总结升华】轮子按逆时针方向旋转，点A转过的弧长的长等于B点上升到B＇时的距离，这是本题中隐藏的等量关系。

举一反三：

【变式1】一个视力正常的人，欲看清一定距离的文字，其视角不得小于5′，试问：

（1）离人10 m处能阅读的方形文字的大小如何？

（2）欲看清长、宽约0.4 m的方形方字，人离开字牌的最大距离为多少？

    【答案】（1）0.01454（2）275

【解析】（1）设文字的长、宽均为，则=10，这里=5′=0.001454，

所以=10×0.001454=0.01454（m）。

（2）设人离开字牌x m，则（m）。