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知识讲解_同角三角函数的基本关系式_提高练习题
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同角三角函数基本关系【学习目标】1.借助单位圆,理解同角三角函数的基本关系式: ,掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法;2.会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。【要点梳理】要点一:同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:(2)商数关系:(3)倒数关系:,,要点诠释:(1)这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立;(2)是的简写;(3)在应用平方关系时,常用到平方根,算术平方根和绝对值的概念,应注意“”的选取。要点二:同角三角函数基本关系式的变形1.平方关系式的变形:,2.商数关系式的变形。【典型例题】类型一:已知某个三角函数值求其余的三角函数值例1.已知tan=-2,求sin,cos的值。【思路点拨】先利用,求出sin=-2cos,然后结合sin2+cos2=1,求出sin,cos。【解析】 解法一:∵tan=-2,∴sin=-2cos。 ①又sin2+cos2=1, ②由①②消去sin得(-2cos)2+cos2=1,即。当为第二象限角时,,代入①得。当为第四象限角时,,代入①得。解法二:∵tan=-2<0,∴为第二或第四象限角。又由,平方得。∴,即。当为第二象限角时,。。当为第四象限角时,。。【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值,缩小角的范围。在解答过程中如果角所在象限已知,则另两个三角函数值结果唯一;若角所在象限不确定,则应分类讨论,有两种结果,需特别注意:若已知三角函数值以字母a给出,应就所在象限讨论。举一反三:【变式1】已知是的一个内角,且,求【思路点拨】根据可得的范围:再结合同角三角函数的关系式求解.【解析】为钝角,由平方整理得例2.已知cos=m(-1≤m≤1),求sin的值。【解析】(1)当m=0时,角的终边在y轴上,①当角的终边在y轴的正半轴上时,sin=1;②当角的终边在y轴的负半轴上时,sin=-1。(2)当m=±1时,角的终边在x轴上,此时,sin=0。(3)当|m|<1且m≠0时,∵sin2=1―cos2=1―m2,∴①当角为第一象限角或第二象限角时,,②当角为第三象限角或第四象限角时,。【总结升华】 当角的范围不确定时,要对角的范围进行讨论,切记不要遗漏终边落在坐标轴上的情况。类型二:利用同角关系求值【高清课堂:同角三角函数关系公式 385948 例2】例3.已知:求:(1)的值;(2)的值;(3)的值;(4)及的值【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系,为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。【答案】(1)(2)(3)0(4)或【解析】(1)由已知 (2)(3)(4)由,解得或【总结升华】本题给出了及三者之间的关系,三者知一求二,在求解的过程中关键是利用了这个隐含条件。举一反三:【变式1】(2015春 广东韶关期中)已知0<x<π,sin、cos是方程的两实根,求:(1)m的值;(2)求sin、cos、tan的值;(3)的值.【答案】(1);(2),,;(3)【解析】(1)∵0<<π,sin、cos是方程的两实根,∴,,∵,解得:;(2)∵ ①,,∴,∴ ②,联立①②解得:,,;(3)∵,,∴原式 .例4.(2015春 河南灵宝市月考)已知tan=3,求下列各式的值:(1);(2).【思路点拨】(1)将分式的分子和分母都除以cos,结合同角三角函数的商数关系可得关于tan的式子,再将tan=3代入即可;(2)首先利用“1的代换”将分子化成sin2+cos2,然后将分式的分子和分母都除以cos2,结合同角三角函数的商数关系将原式化简成为关于tan的式子,最后将tan=3代入即可求出原式的值.【答案】(1);(2)【解析】(1)∵原式∴分子分母都除以cos,得原式(2)∵原式∴将分子化成1=sin2+cos2,可得原式再将分子分母都除以cos2,得原式【总结升华】①已知tan的值,求关于sin、cos的齐次式的值问题①如(1)题,∵cos≠0,所以可用cosn(n∈N*)除之,将被求式转化为关于tan的表示式,可整体代入tan=m的值,从而完成被求式的求值;②在(2)题中,求形如a sin2+b sincos+c cos2的值,注意将分母的1化为1=sin2+cos2代入,转化为关于tan的表达式后再求值。举一反三:【变式1】(1)已知tan=3,求sin2-3sincos+1的值;(2)已知,求的值。【解析】(1)∵tan=3,1=sin2+cos2,∴原式 。(2)由,得,解得:∴。类型三:利用同角关系化简三角函数式例5.化简:。【解析】 解法一:原式 。解法二:原式 。解法三:原式 。【总结升华】以上三种解法虽然思路不同,但是主要都是应用公式sin2+cos2=1,解法二和解法三都是顺用公式,而解法一则是逆用公式,三种解法中,解法一最为简单。这里,所谓逆用公式sin2+cos2=1,实质上就是“1”的一种三角代换:“1=sin2+cos2”,1的三角代换在三角函数式的恒等变形过程中有着广泛的应用。举一反三:【变式1】化简(1); (2);(3); (4)【答案】(1)-1(2)(3)略(4)略【解析】(1)原式=(2)原式=(3)原式=(4)原式= = =,类型四:利用同角关系证明三角恒等式例6.求证:。【思路点拨】利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简,使之与式子的另一边相同。【解析】 证法一:右边 =左边。证法二:左边,右边,所以左边=右边,原等式成立。证法三:左边,右边,所以左边=右边,原等式成立。【总结升华】 本题主要考查三角恒等式的证明方法。就一般情况而言,证明三角恒等式时,可以从左边推到右边,也可以从右边推到左边,本着化繁就简的原则,即从较繁的一边推向较简的一边;还可以将左、右两边同时推向一个中间结果;有时候改证其等价命题更为方便。但是,不管采取哪一种方式,证明时都要“盯住目标,据果变形”。化简证明过程中常用的技巧有:弦切互化,运用分式的基本性质变形,分解因式,回归定义等。举一反三:【变式1】求证:.【解析】证法一:由题意知,所以.∴左边=右边.∴原式成立.证法二:由题意知,所以.又∵,∴.证法三:由题意知,所以.,∴.【变式2】已知,求证:。【证明】 ∵,∴,∵,∴。∴。
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