巩固练习_简单的三角恒等变换_提高

【巩固练习】

1．设，，则的值等于（    ）

A．    B．    C．    D．

2．（2017 四川自贡模拟）已知，则等于（    ）

A．    B．    C．    D．

3．设函数，则（    ）

A．在上单调递增，其图象关于直线对称

B．在上单调递增，其图象关于直线对称

C．在上单调递减，其图象关于直线对称

D．在上单调递减，其图象关于直线对称

4．的值是（    ）

A．tan28°    B．－tan28°    C．    D．

5．若是第二象限的角，且，则的值是（    ）

A．－1    B．   C．1    D．2

6．在△ABC中，sin2A＋cos2B＝1，则cosA＋cosB＋cosC的最大值为(　　)

A.        B.        C．1        D.

7．（2015 山东曲阜市模拟）已知函数的定义域为[a，b]，值域为[―1，2]，则b―a的取值范围为（    ）

A．    B．    C．    D．

8．函数（    ）

A．在上递增，在上递减 

B．在上递增，在上递减 

C．在上递增，在上递减  

D．在上递增，在上递减

9．在△ABC中，已知cos(＋A)＝，则cos2A的值为________．

10．（2015 浙江模拟）已知，若，且f（a）=1，则a=________；若，则f（x）的值域是________．

11．已知sinαcosβ＝，则cosαsinβ的取值范围是________．

12．若（ab≠0）是偶函数，则有序实数对（a，b）可以是________．（注：写出你认为正确的一组数字即可）

13．（2017 江苏淮安月考）设，满足．

（1）求的值；

（2）求的值．

14．已知：0<α<<β<π，cos(β－)＝，sin(α＋β)＝.

(1)求sin2β的值；

(2)求cos(α＋)的值．

15．（2015 重庆）已知函数

（1）求f（x）的最小正周期和最大值；

（2）讨论f（x）在上的单调性．

16．如图，点P在以AB为直径的半圆上移动，且AB＝1，过点P作圆的切线PC，使PC＝1.连结BC，当点P在什么位置时，四边形ABCP的面积等于？

【答案与解析】

1．【答案】D 

【解析】 ∵，∴，，，∴，，，故选D．

2．【答案】A

【解析】∵，

∴，

而，

∴，

则，

    故选A．

3．【答案】D

【解析】 因为，所以在单调递减，对称轴为2x=kπ，即．

4．【答案】D 

【解析】原式

，故选D．

5．【答案】A

【解析】是第二象限的角，且，

∴，k∈R，

，故选A．

6．【答案】D

【解析】由sin2A＋cos2B＝1，得sin2A＝sin2B，

∴A＝B，故cosA＋cosB＋cosC＝2cosA－cos2A

＝－cos2A＋2cosA＋1.

又0＜A＜，0＜cosA＜1.

∴cosA＝时，有最大值.

7．【答案】A

【解析】，

∵f（x）的值域为[－1，2]，

∴，其图象如图：

其中，，，

∴b―a的最小值为：，

b―a的最大值为：，

即b―a的取值范围为：，

故选：A．

8．【答案】A

【解析】原式=，图象如图所示．

9．【答案】

【解析】cos(＋A)＝coscosA－sinsinA

＝(cosA－sinA)＝，

∴cosA－sinA＝＞0.                                                ①

∴0＜A＜，∴0＜2A＜

①2得1－sin2A＝，∴sin2A＝.

∴cos2A＝.

10．【答案】①，②

【解析】

                 ．

    ①若，且f（a）=1，

则：，所以，

解得：

由于：，所以：当k=0时，．

②已知：，

所以：，

则：，

则：，

即：f（x）的值域为：．

故答案为：①，②

11．【答案】[－，]

【解析】法一：设x＝cosαsinβ，

则sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝＋x，

sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－x.

∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，

∴     ∴

∴－≤x≤.

法二：设x＝cosαsinβ，sinαcosβcosαsinβ＝x.

即sin2αsin2β＝2x.

由|sin2αsin2β|≤1，得|2x|≤1，∴－≤x≤.

12．【答案】（－2，2）

 【解析】由，得

．

由于函数y=cos x的对称轴为x=kπ（k∈Z），因此只需（k∈Z）即可，于是（k∈Z），此时tan=－1，∴a+b=0．于是取任意一对非零相反数即可，如（1，－1）．

13．【答案】（1）；（2）

【解析】（1），满足．

可得．

可得．

∴．

（2）由（1）可得，

．

14．【解析】(1)法一：∵cos(β－)＝coscosβ＋sinsinβ

＝cosβ＋sinβ＝.

∴cosβ＋sinβ＝.

∴1＋sin2β＝，∴sin2β＝－.

法二：sin2β＝cos(－2β)

＝2cos2(β－)－1＝－.

(2)∵0<α<<β<π，∴<β－<，<α＋β<.

∴sin(β－)>0，cos(α＋β)<0.

∵cos(β－)＝，sin(α＋β)＝，

∴sin(β－)＝，cos(α＋β)＝－.

∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]

＝cos(α＋β)cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)

＝－×＋×＝.

15．【解析】（1）函数

                         ，

故函数的周期为，最大值为．

（2）当时，，故当时，即时，f（x）为增函数；

当，即时，f（x）为减函数．

16．【解析】设∠PAB=α，连结PB.

∵AB是直径，∴∠APB=90°.

又AB=1，∴PA=cosα，PB=sinα.

∵PC是切线，∴∠BPC=α.又PC=1，

∴S四边形ABCP=S△APB+S△BPC

   =

   =

   =

   =

   =

由已知，

．

又．

故当点P位于AB的中垂线与半圆的交点时，四边形ABCP的面积等于．