知识讲解_平面向量的实际背景及基本概念_基础练习题

平面向量的实际背景及基本概念

【学习目标】

1.了解向量的实际背景.

2.理解平面向量的含义，理解向量的几何表示的意义和方法.

3．掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会表示向量.

4．理解两个向量共线的含义.

【要点梳理】

要点一：向量的概念

1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量.

2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．

要点诠释：

（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．

（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．

（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．

要点二：向量的表示法

1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．

2.向量的表示方法:

(1)字母表示法:如等.

(2)几何表示法:以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.             

要点诠释：

（1）用字母表示向量便于向量运算；

（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．

要点三：向量的有关概念

1．向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).

要点诠释：

（1）向量的模．

（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．

2．零向量:长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．

3．单位向量:长度等于1个单位的向量.

要点诠释：

（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；

（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．

4．相等向量:长度相等且方向相同的向量.

要点诠释：

在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．

要点四：向量的共线或平行

方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).

规定:与任一向量共线.

要点诠释：

1.零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.

2.平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．

【典型例题】

类型一：向量的基本概念

例1．下列各题中，哪些是向量？哪些不是向量？

    （1）密度；（2）浮力；（3）风速；（4）温度．

    【思路点拨】抓住向量的两个特征：长度和方向进行辨析．

【解析】浮力和风速既有大小又有方向，所以是向量，其他的量只有大小没有方向，不是向量．故（2）（3）是向量，（1）（4）不是向量．

    【总结升华】 实际问题中的一些量，如温度、电量等，尽管它们有正、负之分，但没有方向，故表示数量，而向量是一个既有大小又有方向的量，如位移、速度、加速度、力等．向量和数量是有本质区别的两个概念．

   举一反三：

   【变式1】下列物理量中，不能称为向量的是（     ）

A．  质量     B． 速度      C．位移      D．力

【答案】 A

例2．（2015春 山东梁山县期中）下列说法：

①平行向量一定相等；

②不相等的向量一定不平行；

③共线向量一定相等；

④相等向量一定共线；

⑤长度相等的向量是相等向量；

⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量．

其中，说法错误的是________．

【答案】①②③⑤⑥

【解析】①平行向量不一定相等，因此①不正确；

②不相等的向量可能平行，因此②不正确；

③共线向量不一定相等，因此③不正确；

④相等向量一定共线，正确；

⑤长度相等的向量不一定是相等向量，因此⑤不正确；

⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量，不一定正确．例如：给出不共线的非零向量，，它们都与平行，此时，不共线．

综上可得：说法错误的是①②③⑤⑥．

故答案为：①②③⑤⑥

举一反三：

【高清课堂：平面向量的实际背景及基本概念402589例2】

【变式1】判断下列命题的正误：

（1）零向量与非零向量平行；

（2）长度相等方向相反的向量共线；

（3）若向量与向量不共线，则与都是非零向量；

（4）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；

（5）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量。

（6）若非零向量是共线向量，则A、B、C、D四点共线；

（7）共线的向量一定相等；

（8）相等的向量一定共线．

【答案】√√√××××√

【变式2】下列说法正确的个数是(     )

①向量，则直线直线

②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；

③向量既是有向线段；

④在平行四边形中，一定有.

A.0个          B.1个          C.2个             D.3个

【答案】C

  类型二：向量的表示方法

例3．在如图所示的坐标系中，用直尺和圆规画出下列向量．

    （1），点A在点O正西方向；

    （2），点B在点O北偏西45°方向；

（3），点C在点O南偏东60°方向．

  【解析】  如图所示．

【总结升华】准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．

例4．如下图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的各边中点，分别指出图中：

(1)与向量相等的向量；

(2)与向量平行的向量；

(3)与向量模相等的向量；

(4)与向量模相等、方向相反的向量．

【解析】(1)与向量相等的向量有.

(2)与向量平行的向量有、、、、.

(3)与向量模相等的向量有、、.

(4)与向量模相等、方向相反的向量有、.

  举一反三：

【变式1】（2016 安徽泗县月考）如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的向量中，

（1）找出与向量相等的向量；

（2）找出与向量共线的向量．

【解析】（1）∵E，F分别为BC，AC的中点，

∴EF∥BA，且，

又D是BA的中点，

∴，

∴与向量相等的向量是；

（2）∵D，F分别为BA，AC的中点，

∴DF∥BC，且，

又E是BC的中点，

∴，

∴与向量相等的向量是．

  【变式2】（1）与向量相等的向量有多少个？并把这些向量写出来．

（2）是否存在与向量长度相等、方向相反向量？

（3）与向量共线的向量有哪些？

【解析】（1）3个 、、（2）存在 、、、

（3）向量共线的向量有：、、、、、、．

类型三：利用向量相等或共线进行证明

   例5．如图所示，四边形ABCD中，，N、M分别是AD、BC上的点，且．

求证：．

【思路点拨】证明，要证明这两个向量的方向相同和大小相等．

【证明】 ∵，∴且AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴且DA∥CB．

又∵与的方向相同，∴．

同理可证，四边形CNAM是平行四边形，∴．

∵，，∴，

又与的方向相同，∴．

【总结升华】本题主要目的是应用四边形的判定定理体会向量与几何的联系．若，则且AB∥CD．

举一反三：

【变式1】（2015 湖南芙蓉区模拟）在△ABC所在平面上有一点P，使得，试判断P点的位置．

【解析】∵，∴，

∴，所以与共线，即点A，P，C共线，

故点P为线段AC的三等分点处（靠近点A）．