知识讲解_平面向量的实际背景及基本概念_提高练习题

平面向量的实际背景及基本概念

【学习目标】

1．了解向量的实际背景．

2．理解平面向量的含义，理解向量的几何表示的意义和方法．

3．掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会表示向量．

4．理解两个向量共线的含义．

【要点梳理】

要点一：向量的概念

1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量．

2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量。

要点诠释：

（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移。

（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素。

（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小。

要点二：向量的表示法

1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。

2．向量的表示方法：

(1)字母表示法：如等．

(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）。如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量．             

要点诠释：

（1）用字母表示向量便于向量运算；

（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性。应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段。由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

要点三：向量的有关概念

1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度)．

要点诠释：

（1）向量的模。

（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小。

2．零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的。

3．单位向量：长度等于1个单位的向量．

要点诠释：

（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；

（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同。

4．相等向量：长度相等且方向相同的向量．

要点诠释：

在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等。

要点四：向量的共线或平行

方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量)．

规定：与任一向量共线．

要点诠释：

1．零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别．

2．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．

3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量。

【典型例题】

类型一：向量的基本概念

例1．判断下列各命题是否正确：

(1)若，则；

(2)若A、B、C、D是不共线的四点，若，则四边形为平行四边形；

(3)若，则

(4) 单位向量都相等。

【思路点拨】 相等向量即为长度相等且方向相同的向量．

【解析】(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由推不出．

(2)正确，且．又A、B、C、D是不共线的四点，所以四边形是平行四边形．

(3)正确，的长度相等且方向相同；又的长度相等且方向相同，的长度相等且方向相同．故．

(4)不正确，对于D，需要强调的是，单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同．D错．

【总结升华】我们应该清醒的认识到，两个非零向量相等的充要条件应是长度相等且方向相同，向量相等是可传递的．复习向量时，要注意将向量与实数、向量与线段、向量运算与实数运算区别开来．

举一反三：

【高清课堂：平面向量的实际背景及基本概念402589例2】

【变式1】判断下列命题的正误：

（1）零向量与非零向量平行；

（2）长度相等方向相反的向量共线；

（3）若向量与向量不共线，则与都是非零向量；

（4）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；

（5）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量？

（6）若非零向量是共线向量，则A、B、C、D四点共线；

（7）共线的向量一定相等；

（8）相等的向量一定共线．

【答案】√√√××××√

【变式2】下列说法中：

    ①两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同；

    ② 若非零向量与共线，则=；

    ③若=，则；

    ④向量与平行，则与的方向相同或相反．

    其中正确的个数为（    ）．

    A．0    B．1    C．2    D．3

    【答案】 B

【解析】 对于①，显然是错误的；

    对于②，是错误的，两个非零向量共线，是说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量；

    对于③，是正确的，因为向量相等，即大小相等、方向相同；

    对于④，是错误的，这是因为若为零向量，则与平行，但零向量的方向可以是任意的．

类型二：向量的表示方法

例2．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米达到D点．

    （1）作出向量，，；

    （2）求．

   【解析】 （1）如图所示．

    （2）由题意，易知与方向相反，故与共线即AB∥CD．

    又，

    ∴四边形ABCD为平行四边形．

    ∴（千米）．

   【总结升华】（1）准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．

（2）要注意能够运用向量的观点将实际问题抽象成数学模型．“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向，需要在平时的学习中不断积累经验．

举一反三：

【变式1】如图，在平面四边形ABCD中，用有向线段表示图中向量，正确的是（    ）．

    A．，，，    B．，，，

    C．，，，    D．，，，

【答案】C

【变式2】（2016春 安徽泗县月考）如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的向量中，

（1）找出与向量相等的向量；

（2）找出与向量共线的向量．

【答案】（1），；（2），．

【解析】（1）∵E，F分别为BC，AC的中点，

∴EF∥BA，且，

又D是BA的中点，

∴，

∴与向量相等的向量是，；

（2）∵D，F分别为BA，AC的中点，

∴DF∥BC，且，

又E是BC的中点，

∴，

∴与向量相等的向量是，．

【高清课堂：平面向量的实际背景及基本概念402589例6】

【变式3】如图是4×3的矩形（每个方格都是单位正方形），在起点与终点都在小方格的顶点处的向量中，

试问：（1）与相等的向量有几个（不含）？

（2）与平行且模为的向量有几个？

（3）与同向且模为有几个？

【答案】（1）5（2）24（3）2

类型三：利用向量相等或共线进行证明

例3． 如图所示，四边形ABCD中，，N、M分别是AD、BC上的点，且。

    求证：。

证明：∵，∴且AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴且DA∥CB。

又∵与的方向相同，∴。

同理可证，四边形CNAM是平行四边形，∴。

∵，，∴，

又与的方向相同，∴。

【总结升华】本题主要目的是应用四边形的判定定理体会向量与几何的联系。若，则且AB∥CD。

举一反三：

【变式1】如图，在△ABC中，已知向量，，求证：．

【解析】因为，所以D为AB的中点．又，所以DF∥BE且DF=BE，所以F为AC的中点，则DF是△ABC的中位线，从而E是BC的中点，所以DE∥AF，且DE=AF．又DE与AF不共线，所以．

类型四：向量知识在实际问题中的简单应用

例4．（2015春 杭州期中）一条宽为km的河，水流速度为2 km／h，在河两岸有两个码头A、B，已知km，船在水中最大航速为4 km／h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？

【解析】如图所示，设为水流速度，为航行速度，

以AC和AD为邻边作平行四边形ACED，且当AE与AB重合时能最快到达彼岸．

根据题意AC⊥AE在Rt△ADE和平行四边形ACED中，

，，∠AED=90°．

∴，

∴，∴∠EAD=30°，用时0.5 h．

答：船实际航行速度大小为km／h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时半小时．

举一反三：

【变式1】（2016 汉中月考）某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50 m后，又以15 km／h的速度，沿北偏东45°前行5 min，又以10 km／h的速度，沿北偏东60°前行8 min，最后摆脱了反潜收音机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．

【解析】由题意作示意图如下，