知识讲解_平面向量的线性运算_提高练习题

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平面向量的线性运算【学习目标】1.能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量.2．能结合图形进行向量的计算．3．能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算．4．理解实数与向量的积的意义，会利用实数与向量的积的运算律进行计算．5．掌握向量共线的条件．【要点梳理】要点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则1.向量加法的概念及三角形法则已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．2．向量加法的平行四边形法则   已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量，我们规定．要点诠释：两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.要点二：向量求和的多边形法则及加法运算律1.向量求和的多边形法则的概念已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有2．向量加法的运算律（1）交换律：；（2）结合律：要点三：向量的三角形不等式由向量的三角形法则，可以得到(1)当不共线时，；(2)当同向且共线时，同向，则；(3) 当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，．要点四：向量的减法1．向量的减法（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量．（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．要点诠释：（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．（2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则．（3）两个向量的差仍是一个向量．2．向量减法的作图方法（1）已知向量，，作，则=,即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．要点五：数乘向量1.向量数乘的定义实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：(1)；(2)①当时，的方向与的方向相同；②当时.的方向与的方向相反；③当时，.2．向量数乘的几何意义由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法．3.向量数乘的运算律设为实数结合律：； 分配律：，要点六：向量共线的条件  1．向量共线的条件（1）当向量时，与任一向量共线．（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．2．向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．3．向量共线的性质定理若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．要点诠释：（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；（3）有且只有一个实数，使．（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.【典型例题】类型一：向量的加法运算例1．如图所示，已知三个向量、、，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量++．   【解析】  利用三角形法则作++，如图1所示，作，以A为起点，作，再以B为起点，作，则．利用平行四边形法则作++，如图2所示，作，，，以、为邻边作平行四边形OADB，则，再以、为邻边作平行四边形ODEC，则．        【总结升华】题中，要求作三个向量的和，首先求作两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后求这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则．     举一反三：    【变式1】已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：．【证明】如图所示，在四边形CDEF中，，所以．在四边形ABFE中，，所以．所以．因为E、F分别是AD、BC的中点，所以，．所以．【总结升华】本题主要应用了封闭图形中所有向量依次相加之和为零向量的知识．类型二：向量的减法运算例2．（1）在平面内任画两个非零向量、，求作－；（2）如图，已知不共线的两个非零向量、，求作向量―，―．【解析】 （1）①当、共线时，若、同向，如下图甲．任取一点A，作，，则．        若、反向，如上图乙．任取一点，作，，则．②当、不共线时，如下图（左）．在平面内任取一点O，作，，则．．                （2）作，，则，，如图（右）．【总结升华】（1）题中，需要根据不同的情况分别求解．紧扣向量减法的定义是解决问题的关键．（2）题中，求两个向量的加法、减法要注意三角形法则和平行四形法测的应用，求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则两向量的差就是连接两向量的终点，且指向被减向量的终点．举一反三：【变式1】为正六边形的中心，设,，则等于（   ）．（Ａ）     （Ｂ）   （Ｃ）   （Ｄ）【答案】Ｂ【高清课堂：向量的线性运算 395568 例2】【变式2】化简 【解析】原式=．类型三：与向量的模有关的问题例3．（1）已知、、的模分别为1、2、3，求|++|的最大值；（2）如图所示，已知矩形ABCD中，，设，，，试求|++|的大小．【思路点拨】（1）利用向量的三角形不等式求解；（2）构造平行四边形求向量模的长度．【解析】（1）∵|++|≤||+||+||=1+2+3=6，∴|++|的最大值为6．（2）过点D作AC的平行线，交BC的延长线于E，如图所示．∵DE∥AC，AD∥BE，∴四边形ADEC为平行四边形，∴，，于是，∴．  【总结升华】 求若干个向量的和的模（或最值）问题通常按下列方法进行：寻找或构造平行四边形——借助已知长度的向量表示待求模的向量来求模（或利用向量的和的模的性质）．举一反三：【变式1】已知非零向量，满足，，且|－|=4，求|+|的值．【解析】 如图，，，则．以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则．由于．故，所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以OACB是矩形．根据矩形的对角线相等有，即|+|=4．类型四：向量的数乘运算例4．（2016 安徽合肥月考）计算下列各式：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）；（2）；（3）．【总结升华】数乘向量与数乘数不同，前者结果是一个向量，后者结果是一个数，＞0时，与同向；＜0时，与反向；=0时，=0；故与一定共线．应用实数与向量的积的运算律时，应联想数与数乘积运算的有关知识，加深对数乘向量运算律的理解．举一反三：    【变式1】计算：（1）6(3―2)+9(―2+)；（2）；（3）6(―+)―4(―2+)―2(―2+)．【解析】  （1）原式=18―12―18+9=―3．（2）．（3）原式=6―6+6―4+8―4+4―2=(6―4+4)+(8―6)+(6―4―2)=6+2．例5.（2015春 山西运城期中）在边长为1的正△ABC中，，，AD与BE相交于点F．（1）求的值；（2）若，求实数的值．【思路点拨】（1）通过题意可得AD⊥BC，设，，利用，代入计算即可；（2）通过计算可得，记，通过计算可得，根据平面向量的基本定量计算即得结论．【解析】（1）由题意，D为BC的中点，而△ABC为正三角形，∴AD⊥BC，设，，又，则  ；（2）根据题意：                              记，则，根据平面向量的基本定理可得：解得：=4．【总结升华】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.举一反三：【高清课堂：向量的线性运算 395568 例6】【变式1】如图，已知三边中点为，求证：.     【解析】=====【变式2】如图，四边形OADB是以向量，为邻边的平行四边形，又，，试用向量、表示，，．【解析】  ∵，∴，∵，∴，．类型五：共线向量与三点共线问题例6.设两非零向量和不共线，(1)如果求证三点共线.(2)试确定实数，使和共线.【思路点拨】 要证明三点共线，须证存在使即可.而若和共线，则一定存在，使.【解析】(1)证明  　　共线，又有公共点，　　∴三点共线.(2)解  ∵ 和 共线，　　∴存在，使，　　则由于 和不共线，　　只能有 则.【总结升华】本题充分地运用了向量共线的充要条件，即共线存在使(正用与逆用)举一反三：【变式1】（2015秋 安徽滁州月考）（1）设两个非零向量，不共线，如果，，，求证：A，B，D三点共线．   （2）设，是两个不共线的向量，已知，，，若A，B，D三点共线，求k的值．【答案】（1）略；（2）－8【解析】（1）证明：∵，∴与共线，又它们有公共点B，∴A、B、D三点共线；（2），∵A、B、D三点共线，∴与共线，则，即，所以，解得k=－8．类型六：向量的综合应用例7．已知A、B、C是不共线的三点，O是△ABC内一点，若，证明O是△ABC的重心．【思路点拨】 要证明O是△ABC的重心，即证O是△ABC各边中线的交点，可联系重心的性质证之．【证明】 ∵，∴，即是与方向相反且长度相等的向量．如图所示，以OB、OC为相邻两边作OBDC，则，∴．在OBDC中，设BC与OD相交于E，则，，∴AE是△ABC的BC边上的中线，且．根据平面几何知识，知O是△ABC的重心．【总结升华】若且直线AB与直线CD不重合，则AB∥CD．若且直线AB与直线CD不重合，则以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．举一反三：【变式1】如图，已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：．证明：取以点A为起点的向量，应用三角形法则求，如图．∵E是AD的中点，∴．∵F是BC的中点，∴，又∵，∴．∴．【总结升华】 掌握向量的线性运算是关键，利用封闭图形的依次各向量之和为零向量进行变形而得到．   例8． 2009年8月份，南方遭遇暴雨袭击，在某小镇的一次营救中，小汽艇在静水中的速度是12 km / h，水流的速度是6 km / h．如果小汽艇向着垂直河岸的方向行驶，则小汽艇在河水中的实际运动速度是多大？方向怎样？此时，必须到河正对岸去营救一人，要使小汽艇沿垂直方向到达对岸，船头方向该怎样？【解析】如图（1）所示，为汽艇在静水中的速度，为水流速度，由平行四边形法则可知，小汽艇在实际速度为，在Rt△ADC中，，，，∠CAD≈63°43′．即小汽艇在河水中的速度大小约为13.4 km / h，方向与水流速度的夹角约为63°43′．        如图（2）所示，欲使小汽艇垂直河岸方向到达对岸码头，设小汽艇实际速度为，则．在Rt△ABC中，，，从而∠BAC=30°，∠BAE=60°，即小汽艇应沿与河岸成60°角的方向逆水行驶，才能沿垂直河岸方向到达对岸．【总结升华】用向量加法解决简单的实际问题其步骤为：先用向量表示相关物理量（如速度等），再进行向量运算，然后归结到实际问题去解决．举一反三：【变式1】在湘江的某渡口处，江水以12.5 km / h的速度向北流去，渡船的速度是25 km / h，现渡船要垂直地渡过湘江，问：其航向应该怎样确定？   【解析】设表示水流速度，表示船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度，现以AB为一边，以AC为对角线作ABCD，则AD就是船的速度（如图）．在Rt△ACD中，∠ACD=90°，，，所以∠CAD=30°．故其航向应该调整为东偏南30°．