知识讲解_三角恒等变换综合_基础练习题

三角恒等变换综合

【学习目标】

1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.

2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.

3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.

4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一：两角和、差的正、余弦、正切公式

=                                  ①；

                                 ②；

                                 ③；

要点诠释：

1．公式的适用条件(定义域) ：公式①、②对任意实数α，β都成立，这表明①、②是R上的恒等式；公式③中

2．正向用公式①、②，能把和差角的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角 的弦函数．公式③正向用是用单角的正切值表示和差角的正切值化简．

要点二：二倍角公式

1. 在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式：

                      ；

                      ；

                       ．

要点诠释：

1．在公式中，角α没有限制，但公式α中，只有当时才成立；

2. 余弦的二倍角公式有三种：＝＝；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用．

3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，，的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键．

要点三：二倍角公式的推论

升幂公式：， 

降幂公式：；

          ；

           .

要点四：三角恒等变换的基本题型

三角式的化简、求值、证明是三角恒等变换的基本题型：

1．三角函数式的化简

（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等．（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．

2．三角函数的求值类型有三类

（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；

（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；

（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．

3．三角等式的证明

（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；

（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明．

【典型例题】

类型一：正用公式

例1．已知．

    （1）求的值；

（2）求的值．

【思路点拨】（1）由题意知，，然后利用二倍角公式求得的值．（2）求得，然后利用两角差的余弦公式可求解．

【答案】（1）（2）

     【解析】

（1）得，

      （2）得

          =

          =

举一反三：

【变式1】求值： =       ；=           ；=         

【答案】   

【解析】，

，

.

【变式2】已知和是方程的两个根，求的值.

【答案】

【解析】由韦达定理，得， ，

 ∴ .

例2．已知＜β＜α＜，cos（α－β）=，sin（α+β）=－，求sin2α的值．

【思路点拨】因为，分别求出和的正弦值和余弦值，利用两角和的正弦公式可求解．

【答案】

   【解析】

∵，∴π＜α＋β＜，0＜α－β＜

∵sin(α＋β)＝－，cos(α－β)＝，

∴cos(α＋β)＝－，sin(α－β)＝

∴sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝．

【总结升华】

（1）解题中应用了式子的变换，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有, 等.

（2）已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.

举一反三：

【变式1】（2017 江苏海陵区月考）已知，且．

（1）求tan2α的值；

（2）求cosβ的值．

【思路点拨】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα，进而利用二倍角的正切函数公式可求tna2α的值．

（2）由已知可求范围，利用同角三角函数基本关系式可求sin（β－α）的值，由β=（β－α）+α，利用两角和的余弦函数公式即可计算得解．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）∵，且．

∴，

∴．

（2）∵，且．

∴，可得：，

∴

【变式2】已知

【答案】

【解析】角的关系式：（和差与倍半的综合关系）

        ∵，∴

∴       

∴＝

类型二：逆用公式

例3.求值：

（1）；（2）；

（3）；                

【思路点拨】 题目中涉及到的角并非特殊角，而从式子的结构出发应逆用和角公式等先化简再计算．

（1）若将式中的改写为则恰为两角和的正弦；

（2）中将其转化为特殊角的三角函数值，然后可以逆用公式；

（3）利用将视为,将视为，则式子恰为两角和的正切.

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）原式=；

（2）原式=；   

（3）原式．

【总结升华】

①把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式”．

②辅助角公式：，其中角在公式变形过程中自然确定.

举一反三：

【变式1】求值：

（1）；

（2）；

（3）

【答案】（1）1/2（2）－1（3）1/2

【解析】

（1）原式；

（2）原式=；

（3）原式＝

【变式2】下列各式中，值为的是（      ）

A.     B.     C.       D.

【答案】D；

【解析】；

；

；

.

例4. 求值：

（1）；（2）

【思路点拨】问题的特征是角存在倍角关系，且都是余弦的乘积．方法是分子分母（分母视为1）同乘以最小角的正弦．

【答案】（1）1/4（2）1/8　

【解析】

（1）原式=；

（2）原式=

【总结升华】此种类型题比较特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一个角是前一个角的2倍；③最大角的2倍与最小角的和与差是．三个条件缺一不可．另外需要注意2的个数．应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法．

举一反三：

【变式】求值：

【答案】

【解析】

原式=

=

=．

类型三：变用公式

例5．求值：

（1）；（2）

【思路点拨】表示两个正切的和，可以“凑”公式的变形：

.

（1）中，又，

变形：.

【答案】（1）（2）2

【解析】

（1）原式

         .

（2）原式=

【总结升华】本题是利用了两角和正切公式的变形，找出与三者间的关系，进行转化，即所谓“变用公式”解决问题；变用公式在一些解三角问题中起着重要作用，需灵活掌握.但它是以公式原型为基础，根据题目需要而采取的办法，如：，.

举一反三：

【变式1】（2015春 甘肃高台县期末）化简．

【答案】－1

【解析】

       ．

例6. 化简：

（1）；(2）

【思路点拨】

（1）题中首先“化切为弦”，同时用好“”和“”的互余关系，注意逆用和角公式化简；

（2）题初看有“化切为弦”，“降幂”等诸多想法，但首先应注意到这个关系．

【答案】（1）1（2）1

【解析】

（1）原式

=

（2）原式=

【总结升华】

（1）三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系．因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察．

（2）三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式：，.

举一反三：

【变式1】化简：

（1）； （2）

 【答案】（1）4（3）

【解析】

（1）原式=；

（2）原式=

=.

类型四：三角函数知识的综合应用

例7．（2015 广东江门一模）已知函数的最小正周期为π，x∈R，ω＞0是常数．

（1）求ω的值；

（2）若，，求sin2θ．

【思路点拨】（1）由两角和的正弦公式化简解析式可得，由已知及周期公式即可求ω的值．

（2）由已知及三角函数中的恒等变换应用可得，可得cosθ，由，可得sinθ，sin2θ的值．

【答案】（1）ω=2；（2）

【解析】（1）∵，

∵函数的最小正周期为π，

∴，解得：ω=2．

（2）∵，

∴，

∵，

∴，

∴．

举一反三：

【变式1】已知向量,,设函数的图象关于直线对称,其中,为常数,且.

(Ⅰ)求函数的最小正周期;

(Ⅱ)若的图象经过点,求函数在区间上的取值范围.

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】(Ⅰ)因为

.

由直线是图象的一条对称轴,可得,

所以,即.

又,,所以,故.

所以的最小正周期是.

(Ⅱ)由的图象过点,得,

即,即.

故,

由,有,

所以,得,

故函数在上的取值范围为.