知识讲解_三角恒等变换综合_提高练习题

三角恒等变换综合

【学习目标】

1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.

2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.

3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.

4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一：两角和、差的正、余弦、正切公式

=                                  ①；

                                 ②；

                                 ③；

要点诠释：

1．公式的适用条件(定义域) ：公式①、②对任意实数α，β都成立，这表明①、②是R上的恒等式；公式③中

2．正向用公式①、②，能把和差角的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角 的弦函数．公式③正向用是用单角的正切值表示和差角的正切值化简．

要点二：二倍角公式

1. 在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式：

                      ；

                      ；

                       ．

要点诠释：

1．在公式中，角α没有限制，但公式α中，只有当时才成立；

2. 余弦的二倍角公式有三种：＝＝；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用．

3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，，的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键．

要点三：二倍角公式的推论

升幂公式：， 

降幂公式：；

          ；

           .

要点四：三角恒等变换的基本题型

三角式的化简、求值、证明是三角恒等变换的基本题型：

1．三角函数式的化简

（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等．（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．

2．三角函数的求值类型有三类

（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；

（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；

（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．

3．三角等式的证明

（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；

（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明．

【典型例题】

类型一：正用公式

例1．已知:，求的值.

【思路点拨】因为不知道角所在的象限，所以要对分别讨论求的值．

【解析】由已知可求得.

当在第一象限而在第二象限时，

.

当在第一象限而在第三象限时，

.

当在第二象限而在第二象限时，

.

当在第二象限而在第三象限时，

.

【总结升华】分类的原则是：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论要逐级进行．掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．

举一反三：

【变式1】已知，求的值．

【答案】

【解析】

．

例2．（2015春 四川雅安期中）已知，且，

（1）求的值；

（2）已知，且，，求．

【思路点拨】（1）由给出的角的范围得到，的范围，从而求得对应角的异名三角函数值，进一步求出的余弦值，由倍角的余弦公式求得的值；

（2）由已知求得的正切，再由展开两角和的正切得的正切值，结合角的范围得答案．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）∵，∴，

则，．

∵，∴，

∵，∴．

∴

．

；

（2）∵，，

∴．

∴

．

∵，且，∴，

，∴．

∴，∴．

举一反三：

【变式1】（2017 陕西长安区月考）（1）已知，α∈（0°，90°），求sin（15°－α）的值．

（2）已知，且，求β的值．

【思路点拨】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos（15°+α）的值，进而利用诱导公式，两角和的余弦函数公式可求sin（15°－α）的值．

（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα的值，求出α－β的范围，然后求出sinα，sin（α－β）的值，即可求解cosβ．然后求出β的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）∵，α∈（0°，90°），

∴，

（2）∵，

∴，

∵，且，

∴α－β＞0，，

∴，

∵，

∴．

【变式2】已知求的值．

【答案】

【解析】角的关系式：（和差与倍半的综合关系）

∵，∴

∴

又           

∴           

∴

  ＝      

于是有.

类型二：逆用公式

例3.求值：

（1）；   （2）.

【思路点拨】 题目中涉及到的角并非特殊角，而从式子的结构出发应逆用和角公式等先化简再计算．

（1）利用将视为,将视为，则式子恰为两角和的正切.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）原式；

（2）原式=

.

【总结升华】

（1）把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式”．

（2）辅助角公式：，其中角在公式变形过程中自然确定.

举一反三：

【变式1】化简：

（1）；

（2）；

（3）.

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）原式＝；

（2）原式＝；

（3）原式＝

【变式2】已知，那么的值为（    ）

A．    B．　 C．    D．

【答案】A；  

【解析】∵，

∴.

例4. 求值：

（1）；（2）

【思路点拨】问题的特征是角存在倍角关系，且都是余弦的乘积．方法是分子分母（分母视为1）同乘以最小角的正弦．

 【答案】（1）1/4 （2）1/8　

【解析】

（1）原式=；

（2）原式=

【总结升华】此种类型题比较特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一个角是前一个角的2倍；③最大角的2倍与最小角的和与差是．三个条件缺一不可．另外需要注意2的个数．应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法．

举一反三：

【变式】求值：．

【答案】1/8

【解析】

原式=

=

=．

类型三：变用公式

例5．在中，求值：

【答案】1

【解析】∵，∴，∴

∴原式=

例6. 化简：

（1）；(2）

【思路点拨】

（1）题中首先“化切为弦”，同时用好“”和“”的互余关系，注意逆用和角公式化简；

（2）题初看有“化切为弦”，“降幂”等诸多想法，但首先应注意到这个关系．

【答案】（1）1（2）1

【解析】

（1）原式

=

（2）原式=

【总结升华】

（1）三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系．因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察．

（2）三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式：，.

举一反三：

【变式1】化简：

（1）；（2）； （3）

【答案】（1）4（2）4（3）

【解析】

（1）原式=；

（2）原式=；

（3）原式=

=.

【变式2】若，且，则___________.

【答案】

【解析】由，，得，

.

例7．已知，，求的值．

【思路点拨】 先分析所求式 ,分子、分母均为已知条件中和差角的展开式的项．

【答案】

【解析】∵，

，

解得, ，

∴.

举一反三：

【变式1】若、是方程的两根，求的值．

【答案】

【解析】由已知 ，因而应将所求式转化成已知的结构，

        ∴=．

类型四：三角函数知识的综合应用

例8．函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形.

(Ⅰ)求的值及函数的值域;

(Ⅱ)若,且,求的值.

【答案】(Ⅰ)   (Ⅱ)

【解析】(Ⅰ)由已知可得:

=3cosωx+

又由于正三角形ABC的高为2,则BC=4

所以,函数

所以,函数  

(Ⅱ)因为(Ⅰ)有

由x0

所以,

故

【总结升华】本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想.

举一反三：

【变式1】（2015 湖南岳阳模拟）已知函数（ω＞0，m＞0）的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π．

（1）求ω和m的值；

（2）若，，求的值．

【答案】（1）ω=2，；（2）

【解析】（1）函数（ω＞0，m＞0）

，

所以，

∴

又由已知函数f（x）的最小正周期为π，

所以，

∴ω=2

（2）由（1）得，

所以，

∴，∵，

∴，

∴

∴，

∴

．

【变式2】已知向量,函数的最大值为6.

(Ⅰ)求;

(Ⅱ)将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象.求在上的值域.

【答案】(Ⅰ) 6 (Ⅱ)

【解析】(Ⅰ),

则;

(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移个单位得到函数的图象,

再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数.

当时,,.

故函数在上的值域为.

另解:由可得,令,  

则,而,则,

于是,

故,即函数在上的值域为.