三角函数模型的简单应用_巩固练习_提高

【巩固练习】

1. 02年北京国际数学家大会会标是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积为1,小正方形的面积是,

则sin2θ-cos2θ的值是             (    )                                                   

(A) 1              (B)                 (C)             (D) -

2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为：，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（    ）

A．2πs    B．πs    C．0.5 s    D．1 s

3．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为

的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为

（A）；   （B）

（C）；  （D）

4．电流强度I（A）随时间t（s）变化的关系式是，则当s时，电流强度I为（    ）

A．5 A    B．2.5 A    C．2 A    D．－5 A

5．（2015秋 湖北江岸区期末）夏季来临，人们注意避暑．如图是成都市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则成都市这一天中午12时天气的温度大约是（    ）

A．25℃    B．26℃    C．27℃    D．28℃

6．2008年北京奥运会的帆船比赛在青岛奥林匹克帆船中心举行，已知该中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y（米）可看作是时间t（0≤t≤24，单位：时）的函数，记作，经长期观测，的曲线可近似地看成是函数，下表是某日各时的浪高数据：

则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是（    ）

A．    B．

C．    D．

7．如图所示，有一广告气球，直径为6 m，放在公司大楼上方，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC=30°时，测得气球的视角为=1°，若很小时，可取sin≈，试估算该气球的高BC约为（    ）

A．70 m    B．86 m    C．102 m    D．118 m

8．设是某港口水的深度y（m）关于时间t（h）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0至24 h记录的时间t与水深y的关系：

经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象．下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是（    ）

A．，t∈[0，24]

B．，t∈[0，24]

C．，t∈[0，24]

D．，t∈[0，24]

9．如图，是一弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．

10．甲、乙两楼相距60米，从乙楼望甲楼顶的仰角为45°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高度分别为________．

11．（2015春 山东威海期末）一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O距离水面3米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为________秒．

12．某昆虫种群数量在1月1日时低至700只，而在当年7月1日时高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线呈规律性变化．

    （1）求出种群数量关于时间t的函数解析式，t以月为单位；

    （2）画出种群数量关于时间t的简图．

13．（2014秋 武汉期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天时间与水深（单位：米）的关系表：

    （1）请用一个函数来近似描述这个港口的水深y与时间t的函数关系；

（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米．

Ⅰ）如果该船是旅游船，1∶00进港希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？

Ⅱ）如果该船是货船，在2∶00开始卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于台风等天气原因该船必须在10∶00之间离开该港口，为了使卸下的货物尽可能多而且能安全驶离该港口，那么该船在什么整点时刻必须停止卸货（忽略出港所需时间）？

【答案与解析】

1. 【答案】D

【解析】由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为，设所对的直角边为

则由勾股定理得：，解得，，，进一步求得，所以，故选D.

2．【答案】D

 【解析】周期（s）．

3．【答案】A

【解析】八边形的面积=

4．【答案】B 

【解析】

5．【答案】C

【解析】由题意以及函数的图象可知，A+B=30，－A+B=10，所以A=10，B=20

∵，∴T=16

∵，∴

∴

∵图象经过点（14，30）

∴

∴

∴可以取

∴

当x=12时，

故选C．

6．【答案】B

 【解析】由周期T=12，得，，．

7．【答案】B 

【解析】由已知CD=3 m，，又，

∴，∴BC=AC·sin30°≈86（m）．故选B．

8．【答案】A 

【解析】在中，．

，，而T=12，，显然．

9．【答案】 

【解析】A=2，T=2(0.5－0.1)=0.8，∴，

    将点（0.1，2）代入，得．

10．【答案】60米，米 

【解析】 如图甲楼的高度AC=AB=60米，

在Rt△CDE中，．

∴乙楼的高度为米．

11．【答案】5

【解析】过O作水平的垂线，垂足为Q，如下图所示：

由已知可得：OQ=3，OP=6，

    则，即∠POQ=60°，

则水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转120°，即个周期，

又由水轮每分钟转动4圈，可知周期是15秒，

故水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为5秒，

故答案为：5

12．【解析】（1）设所求的函数解析式为，则，A=100，且，所以．又．所以．因此所求的函数解析式为．

（2）图象（简图）如图．

13．【解析】（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图．如图．

根据图象，可考虑用函数刻画水深与时间之间的对应关系．

从数据和图象可以得出A=3，h=10，T=12，φ=0，

由，得，所以这个港口水深与时间的关系可用近似描述．

（2）Ⅰ）由题意，y≥11.5就可以进出港，令，如图，在区间[0，12]内，

函数与直线y=11.5有两个交点，由或，

得，，由周期性得，，

由于该船从1∶00进港，可以17∶00离港，所以在同一天安全出港，在港内停留的最多时间是16小时

Ⅱ）设在时刻x货船航行的安全水深为y，那么y=11.5―0.5(x―2)（x≥2）．

设，x∈[2，10]，

g（x）=11.5―0.5(x―2)（x≥2）

由f（6）=10＞g（6）=9.5且f（7）=8.5＜g（7）=9知，

为了安全，货船最好在整点时刻6点之前停止卸货