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知识讲解_函数y=Asin(ωx+φ)的图象_提高练习题
展开的图象与性质
编稿:丁会敏 审稿:王静伟
【学习目标】
1.了解对函数图象变化的影响,并会由的图象得到的图象;
2.明确函数(、、为常数,)中常数、、的物理意义,理解振幅、频率、相位、初相的概念。
【要点梳理】
要点一:用五点法作函数的图象
用“五点法”作的简图,主要是通过变量代换,设,由z取来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.
要点诠释:用“五点法”作图象的关键是点的选取,其中横坐标成等差数列,公差为.
要点二:函数中有关概念
表示一个振动量时,A叫做振幅,叫做周期,叫做频率,叫做相位,x=0时的相位称为初相.
要点三:由得图象通过变换得到的图象
1.振幅变换:
(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到的(横坐标不变),它的值域[-A,A],最大值是A,最小值是-A.若A<0可先作y=-Asinx的图象,再以x轴为对称轴翻折.A称为振幅.
2.周期变换:
函数的图象,可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍(纵坐标不变).若则可用诱导公式将符号“提出”再作图.决定了函数的周期.
3.相位变换:
函数(其中)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点向左(当>0时)或向右(当<0时)平行移动个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向:“左加右减”).
要点诠释:一般地,函数的图象可以看作是用下面的方法得到的:
(1)先把y=sinx的图象上所有的点向左(>0)或右(<0)平行移动个单位;
(2) 再把所得各点的横坐标缩短或伸长到原来的倍(纵坐标不变);
(3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变).
【典型例题】
类型一:三角函数的图象
例1(2015 佛山一模)已知函数f(x)=sin(ωx﹣)(ω>0,x∈R)的最小正周期为π.
(1)求f().
(2)在图3给定的平面直角坐标系中,画出函数y=f(x)在区间[﹣,]上的图象,并根据图象写出其在(﹣,)上的单调递减区间.
【思路点拨】(1)依题意先解得ω=2,可得解析式f(x)=sin(2x﹣),从而可求f()的值.
(2)先求范围2x﹣∈[﹣,],列表,描点,连线即可五点法作图象,并根据图象写出其在(﹣,)上的单调递减区间.
【解析】(1)依题意得=π,解得ω=2,
∴f(x)=sin(2x﹣),
∴f()=sin()=sincos﹣cossin==
(2)∵x∈[﹣,]
∴2x﹣∈[﹣,],
列表如下:
2x﹣ | ﹣ | ﹣π | ﹣ | 0 | ||
x | ﹣ | ﹣ | ﹣ | |||
f(x) | 0 | ﹣1 | 0 | 1 |
画出函数y=f(x)在区间[﹣,]上的图象如下:
由图象可知函数y=f(x)在(﹣,)上的单调递减区间为(﹣,﹣),(,)
【总结升华】“五点法”作图时,五点的确定应先令分别为0、、、、,解出x,从而确定这五点。
例2.画出函数y=3sin(2x+),x∈R的简图.
【解析】(五点法)由,得,列表:
x | |||||
2x+ | 0 | ||||
3sin(2x+) | 0 | 3 | 0 | -3 | 0 |
描点画图:
这种曲线也可由图象变换得到:
【总结升华】由y=sinx的图象变换出的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换.
途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换).
先将y=sinx的图象向左(>0)或向右(<0)平移个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍,便得的图象.
途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换.
先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍,再沿x轴向左(>0)或向右(<0)平移个单位,便得的图象.
举一反三:
【变式1】(2015 湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:
ωx+φ | 0 | π | 2π | ||
x |
|
|
| ||
Asin(ωx+φ) | 0 | 5 |
| ﹣5 | 0 |
(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(,0),求θ的最小值.
【解析】(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=﹣.数据补全如下表:
ωx+φ | 0 | π | 2π | ||
x | |||||
Asin(ωx+φ) | 0 | 5 | 0 | ﹣5 | 0 |
且函数表达式为f(x)=5sin(2x﹣).
(2)由(Ⅰ)知f(x)=5sin(2x﹣),得g(x)=5sin(2x+2θ﹣).
因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z.
令2x+2θ﹣=kπ,解得x=,k∈Z.
由于函数y=g(x)的图象关于点(,0)成中心对称,令=,
解得θ=,k∈Z.由θ>0可知,当K=1时,θ取得最小值.
【变式2】如何由y=sin x的图象变化到的图象?
【解析】
解法一:
。
解法二:
。
【总结升华】本题用了由函数y=sin x(x∈R)的图象变换到函数(x∈R)的两种方法,要注意这两种方法的区别与联系。
类型二:三角函数的解析式
例3.如图,它是函数,的图象,由图中条件,写出该函数解析式.
【思路点拨】由图可以确定图象的振幅、周期,由此求出,再由题意知,点(,5)在此函数的图象上,由此求出.
【解析】 A=5,
由点(,5)在此函数的图象上,则
法一:(单调性法)
∵点在递减的那段曲线上
∴
由得
∴
∵.
法二:(最值点法)
将最高点坐标(,5)代入得
∴
∴取.
法三:(起始点法)
函数的图象一般由“五点法”作出,而起始点的横坐标x正是由解得的,故只要找出起始点横坐标x0,就可以迅速求得角.由图象求得,∴
法四:(平移法)
由图象知,将的图象沿x轴向左平移个单位,就得到本题图象,故所求函数为,即.
【总结升华】错解:
将代入该式得:,
由,得
∵或
∴或.
代入点坐标时,通常利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标带入解析式,再结合图形的上升、下降趋势变化求出.
举一反三:
【变式1】函数的图象如下图,确定A、ω、的值,确定其一个函数解析。
【思路点拨】 本题主要考查正弦型函数解析式的求法及识图能力,由图知A=3,,则,可由点或或确定。
【解析】
方法一:(逐一定参法)
由图象知,振幅A=3,又,
∴。由点,令,得。
∴。
方法二:(待定系数法)
由图象知A=3,又图过点和,根据五点作图法原来(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点),有,解得ω=2,。
∴。
【总结升华】如果从图象可确定振幅和周期,则可直接确定函数式中的参数A和ω,再选取“第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得。
【变式2】(1)已知函数的图象如下图①所示,求解析式:
(2)函数的图象如下图②所示,确定A、ω、的值,确定其一个函数解析式。
【解析】 (1)∵T=(2+1)×4=12,∴。
∵C点为第四点,∴,∴。
∵,∴。
又∵点在图象上,∴。
∴A=2,∴。
(2)由题图知,振幅A=3,又,
∴。
由点,令,得。
∴。
【总结升华】(1)若已知“五点”之外的某点坐标,可将其代入方程中求出,但必须判断出该点坐标是在“五点”当中的哪两点之间。若在第一、二两点之间,则;若在第二、三两点之间,则;若在第三、四两点之间,则或;若第四、五两点之间,则或。
(2)如果从图象可确定振幅和周期,则可直接确定函数式中的参数A和ω,再选取“第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得。
类型三:函数的性质的综合运用
例4.函数的图象如图所示,试依图推出:
(1)的最小正周期;
(2)时x的取值集合;
(3)使的x的取值集合;
(4)的单调递增区间和递减区间;
(5)使取最小值时的x的取值集合;
(6)图象的对称轴方程;
(7)图象的对称中心;
(8)要使成为偶函数,应对的图象作怎样的平移变换?
【思路点拨】先由图象得到函数的最小正周期,后面的问题可迎刃而解。
【解析】 (1)。
(2)在一个周期中,使的x是,π,。
故所求的x的取值集合是。
(3)使的x的取值集合是。
(4)的单调递增区间是;
单调递减区间是。
(5)取最小值时x的取值集合是。
(6)对称轴方程是。
(7)对称中心是。
(8)要使成为偶函数,可以把其图象向左平移个单位长度。
【总结升华】 较强的作图、识图能力是一项重要的数学能力,为数形结合解题提供了可能,在利用的性质解题时,一定要与y=sin x的性质结合,更离不开对定义的理解和掌握。
举一反三:
【变式1】已知函数,,其中,。若的最小正周期为6π,且当时,取得最大值,则( )
A.在区间[―2π,0]上是增函数
B.在区间[―3π,―π]上是增函数
C.在区间[3π,5π]上是减函数
D.在区间[4π,6π]上是减函数
【答案】A
【变式2】已知函数的图象过点,图象上与点最近的一个最高点是。
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的递增区间。
【解析】(1)依题意得:,周期,
,故,又图象过点,
,解得:,即
。
(2)由
得:
故函数的递增区间为:。
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