知识讲解_解三角形应用举例_提高练习题

解三角形应用举例

编稿：张希勇     审稿：李霞

【学习目标】

1.能够利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题；

2.提高运用所学知识解决实际问题的能力，并初步掌握数学建模的思想方法；

3.掌握运用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题的方法.

【学习策略】

解斜三角形的知识主要用于测量及航海两大类型问题.实际应用中，首先要弄清题意，画出直观示意图，将实际问题转化为解三角形的问题，再确定是哪类解三角形问题，即应用哪个定理来解决.

【要点梳理】

要点一、解三角形应用题的步骤

解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确.其解题的一般步骤是：

(1)准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；

(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；

(3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；

(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题.

要点二、解三角形应用题的基本思路

实际问题     画图     数学问题     解三角形    数学问题的解     检验     实际问题的解

要点三、实际问题中的一些名词、术语

仰角和俯角

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：

坡角和坡度

坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。

方位角与方向角：

方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。方位角的取值范围为0°～360°。

如图，点的方位角是。

方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度。

如图为南偏西方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转）；

如图为北偏东方向（指从正北开始向正东方向旋转）.

东南方向：指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等；

要点四、解三角形应用中的常见题型

正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：

1.测量距离问题：这类问题的情景一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”，在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度.

2.测量高度问题：这类问题的情景属于“测量底（顶）部不能到达的物体的高度”.测量过程中，要注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度.

3.测量角度问题：这类问题的情景属于“根据需要，对某些物体定位”.测量数据越精确，定位精度越高

【典型例题】

类型一：距离问题

例1．如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．

(1)设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)？

(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α＝38.12°，β＝18.45°，求CD的长(结果精确到0.01米)．

【答案】(1) 28.28米.(2) 26.93米.

【思路点拨】

(1)这是一道关于求两点之间的距离问题。题目条件告诉了边AC、CB的长以及以A、C为顶点的两个角，根据正切函数的定义及性质得到一个关于x的不等式，解之得到CD的长度。（2）根据三角形的内角和定理和正弦定理，解得CD的长。

【解析】(1)设CD的长为x米，则tanα＝，tanβ＝，

∵，

∴tanα≥tan2β，

∴，

即，

解得0，

即CD的长至多为28.28米．

(2)设DB＝a，DA＝b，CD＝m，

则∠ADB＝180°－α－β＝123.43°，

由正弦定理得，

即，

∴，

答：CD的长为26.93米．

【总结升华】

1. 此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来.

2. 解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：

（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。

（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。

3. 在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。

举一反三：

【变式1】如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°．已知山高BC＝100m，则山高MN＝　　m．

【答案】△ABC中，∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，BC＝100，

∴AC＝＝100．

△AMC中，∵∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，

∴∠AMC＝45°，由正弦定理可得，

即 ，解得AM＝100．

Rt△AMN中，MN＝AM•sin∠MAN＝100×sin60°＝150(m)，

故答案为：150．

　【变式2】为了开凿隧道，要测量隧道上D、E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，如图，测得CA=400m，CB=600m， ∠ACB=60°，又测得A、B两点到隧道口的距离AD=80m，BE=40m(A、D、E、B在一条直线上)，计算隧道DE的长.

【答案】在△ABC中，CA=400m，CB=600m， ∠ACB=60°，

由余弦定理得

∴

∴

答：隧道长约为409.2m.

【变式3】（2016春  邢台校级期中）张晓华同学骑电动自行车以24 km／h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（    ）

A．km    B．km    C．km    D．km

【答案】如图，由已知可得，

在△ABS中，∠BAS=30°，AB=6，∠ABS=180°－75°=105°，∠ASB=45°

由正弦定理可得

故选B

类型二：测量高度问题

【高清课堂：解三角形应用举例377493 例2】

例2 某人在塔的正东沿着南偏西的方向前进40米后，望见 塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为，求塔高.

【思路点拨】

画出空间图形后，先寻找可解的三角形，进而解目标所在三角形。

【解析】由上图所示，过B做于点E,由题意知在E点测得塔的最大仰角，在

.由正弦定理，得

∴

在中，

∴

在中，∴（米）

故所求塔高为米

【总结升华】 测量高度是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，在依条件结合正弦定理和余弦定理来解，解决测量高度的问题时，常出现仰角与俯角的问题，要注意它们的区别与联系.

举一反三：

【变式1】（2016  绵阳校级模拟）如图，无人机在离地面高200 m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°，已知∠MCN=60°，则山的高度MN为________m。

【答案】在Rt△ABC中，∠ACB=∠DAC=45°，∠ABC=90°，AB=200，

∴，

∵∠MCN=60°，∴∠ACM=180°－∠MCN－∠ACN=75°，

∵∠MAC=15°+45°=60°，∴∠AMC=180°－∠MAC－∠ACM=45°。

在△MAC中，由正弦定理得，即

解得。

∵，

∴。

故答案为：300。

【变式2】在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。

【答案】所求角，建筑物高度为15m。

类型三：方位角问题

例3 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在西偏北的方向上,行驶后到达B处,测得此山顶在西偏北的方向上,仰角为,求此山的高度CD.

【思路点拨】

欲求出CD，只需在BCD中求出BD或BC，而在BCD中先求BC边比较适合；或设CD=x,列方程解答.

【解析】方法一：在ABC中, ，，,

根据正弦定理： = ,有，

∴ .

方法二：设CD=x，则，

根据正弦定理： = ,有，

∴，解得，即.

【总结升华】正确地画出其空间示意图是解题的关键.

举一反三：

【变式1】两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏西30，灯塔B在观察站C南偏西60，则A、B之间的距离为        ；

【答案】；

如图，，，。

【变式2】如图示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(       )

A.          B.       C.        D.

【答案】B    

类型四：航海问题

【高清课堂：解三角形的应用举例377493 例3】

例4如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为()km的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A为2 km的C处的缉私船奉命以km/h的速度追截走私船.此时走私船正以10km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间.

【思路点拨】这里必须弄清楚三个概念：

(1)方位角；

(2)沿什么方向追，即按什么方位角航行；

(3)最快追上，即应理解为按直线航行，且两船所用时间相等，画出示意图，即可求出CD的方位角及由C到D所需航行的时间.

【解析】设缉私船追上走私船需，则，.

由余弦定理，得

    ，

由正弦定理，得，

∴，而，

∴

∴，.

∴，即，∴

答：缉私船向东偏北方向，只需便能追上走私船.

【总结升华】航海问题中关键是方向角的表示，最好要参照方向坐标，准确的画出图形.

举一反三：

【变式1】如图A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，求该救援船到达D点需要多长时间？

【答案】　由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，

∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，

在△DAB中，由正弦定理得

∴DB

＝

＝

＝10 (海里)

又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°

BC＝20海里

在△DBC中，由余弦定理得

CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC

＝300＋1 200－2×10×20×＝900

∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)

答：救援船到达D点需要1小时．

【高清课堂：解三角形应用举例377493 变式演练3】

【变式2】如图所示，海中小岛A的周围38海里内有暗礁，某船正由北向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？

【答案】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小.于是，只要先算出AC(或AB)，再算出A到BC所在直线的距离，将它与38海里比较即得问题的解.

在中，，，，

∴，

由正弦定理知：，∴

∴

于是A到BC所在直线的距离为(海里)

它大于38海里，所以继续向南航行无触礁危险.