知识讲解_数列的概念与简单表示法_提高练习题

数列的概念与简单表示法

 编稿：张希勇   审稿：李霞

【学习目标】

1.掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题.

2.掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系.

3.了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项.

4.理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系.

【学习策略】

数列是自变量为正整数的一类特殊的离散函数，因此，学习数列，可类比函数来理解。关于数列的一些问题也常通过函数的相关知识和方法来解决.

【要点梳理】

要点一、数列的概念

 数列概念：

按照一定顺序排列着的一列数称为数列.

要点诠释：

⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；

⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.

数列的项：

数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项.其中数列的第1项也叫作首项.

要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.

类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质：

（1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的；

（2）可重复性：数列中的数可以重复；

（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的.

数列的一般形式：

数列的一般形式可以写成：，或简记为.其中是数列的第项.

要点诠释：与的含义完全不同，表示一个数列，表示数列的第项.

要点二、数列的分类

根据数列项数的多少分：

有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列

无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列

根据数列项的大小分：

递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。

递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。

常数数列：各项相等的数列。

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.

要点三、数列的通项公式与前n项和

数列的通项公式

如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

如数列：的通项公式为（）；

           的通项公式为（）；

           的通项公式为（）；

要点诠释：

⑴并不是所有数列都能写出其通项公式；

⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的。

如数列：1，0，1，0，1，0，…

它的通项公式可以是，也可以是.

⑶数列通项公式的作用：

①求数列中任意一项；

②检验某数是否是该数列中的一项.

（4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．

数列的前n项和

数列的前项和：指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即；

与的关系

当时；

当时，

故.

要点四、数列的表示方法

通项公式法（解析式法）：

数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系。给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项。

列表法

相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第二项，……，用表示第项，……，依次写出得数列．

图象法：

数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形．

具体方法：以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点。所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．

递推公式法

递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

递推公式也是给出数列的一种方法。如：

数列：-3，1，5，9，13，…，

可用递推公式：表示。

数列：3，5，8，13，21，34，55，89，…，

可用递推公式：表示。

要点五、数列与函数

（1）数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上。

数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数,如果（）有意义，那么我们可以得到一个数列，，，…，，…；

（2）数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式。

数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式。

数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系。给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项。

（3）数列的图象是落在轴右侧的一群孤立的点

数列的图象是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标的一系列孤立的点，这些点都落在函数的图象上。因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．

（4）跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式.

【典型例题】

类型一：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式

例1．写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是:

(1) 0, ,,,…；

(2) 1, ,,,…；

(3) 9, 99,999, 9999,…；

(4) 6, 1, 6,1,….

【解析】

（1）将数列改写为，，，，…，

故.

（2）此数列奇数项为正，偶数项为负，可用来表示；

其绝对值中分子为奇数数列，分母是自然数的平方数列，

故.

（3）将数列改写为, , , ，…，

故.

（4）将数列每一项减去6与1的平均值得新数列, -,, -,…，

故或

【总结升华】写通项时注意以下常用思路：

①若数列中的项均为分数，则先观察分母的规律再观察分子的规律，如(1)；特别注意有时分数是约分后的结果，要根据观察还原分数；

②注意(－1)n在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现，如(2)；(-1)n作指数，让数列中隔项出现倒数；

③（4）可视为周期数列，故想到找一个周期为2的函数为背景。

④归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的变形，使规律明朗化.

⑤熟练掌握一些基本数列的通项公式，例如：

数列-1，1，-1，1，…的通项公式为；

数列1，2，3，4，…的通项公式为；

数列1，3，5，7，…的通项公式为；

数列2，4，6，8，…的通项公式为；

数列1，4，9，16，…的通项公式为；

数列1，，，，…的通项公式为。

举一反三：

【高清课堂：数列的概念与简单表示法379271 数列知识的讲解及配套练习】

【变式】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：

(1) 1, 1, 1, 1,…；    

(2) -1, 1, -1, 1, …；

(3) 1, -1, 1, -1, …；    

(4), …；

(5) 2，0，2，0，….

【答案】

(1)； 

(2) ；

(3)；

(4) ；

(5)；

类型二：通项公式的应用

例2．已知数列的通项公式, 试问下列各数是否为数列的项，若是，是第几项？

(1) 94；(2) 71.

【思路点拨】

先假设是数列中的项，可以列方程求解，若求解得到的脚标，那么是数列中的项，否则，不是.

【解析】

（1）设, 解得.

故94是数列的第32项.

（2）设，解得.

故71不是数列的项.

【总结升华】方程思想是解决数列中未知量的主要方法，中知三求二，就是采用了方程的思想.

举一反三：

【变式1】数列的通项公式为它的前8项依次为     

【答案】

【变式2】已知数列的通项公式,

（1）若，试问是第几项？

（2）56和28是否为数列的项？

【答案】（1）98项；（2）56是，28不是.

类型三：递推公式的应用

【高清课堂：数列的概念与简单表示法379271 例2】

例3. 设数列满足：，，写出这个数列的前五项。

【思路点拨】

题中已给出的第1项和递推公式：，故可以依次写出下列各项.

【解析】据题意可知：，，，，

故数列的前5项为:1，2，，，.

【总结升华】递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项。

举一反三：

【变式1】已知数列满足：，，写出前5项，并猜想．

【答案】

法一：，，，观察可得

法二：由，∴即

     ∴

∴

【变式2】已知两个等比数列，，满足，，，.

若，求数列的通项公式；

【答案】

【高清课堂：数列的概念与简单表示法379271 例3】

例4.（1）已知数列满足写出这个数列的通项公式.

（2）已知数列满足写出这个数列的通项公式.

【解析】（1）由递推式可得，

把以上n-1个式子相加得，

∴，显然n=1，也适用，

∴数列的通项为

（2）由递推式可得

把以上n-1个式子相乘得，

；

∴，

∴数列的通项为

【总结升华】一般递推关系为时，可用累乘法求通项公式；递推关系为时可考虑累加法，有时需要将递推关系化简，再灵活求通项.

举一反三：

【变式1】（2014 新课标Ⅱ）数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝　　．

【答案】由题意得，an＋1＝，a8＝2，

令n＝7代入上式得，a8＝，解得a7＝；

令n＝6代入得，a7＝，解得a6＝－1；

令n＝5代入得，a6＝，解得a5＝2；

…

根据以上结果发现，求得结果按2，，－1循环，

∵8÷3＝2…2，故a1＝

【变式2】已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，则a2 009＝________；a2 014＝________.

【答案】1　0

【解析】

　依题意得a2 009＝a4×503－3＝1，a2 014＝a2×1 007＝a1 007＝a4×252－1＝0.故分别填1,0.

类型四：前项和公式与通项的关系

【例5】（2015秋  通渭县校级期末）已知数列{an}的前n项和，求an．

【思路点拨】利用公式可求出数列{an}的通项an．

【解析】a1=S1=3+2=5，

an=Sn﹣Sn﹣1=（3+2n）﹣（3+2n﹣1）=2n﹣1，

当n=1时，2n﹣1=1≠a1，

∴．

【思路点拨】已知Sn，求an的类型，解答本题的关键是利用an=Sn﹣Sn﹣1求出数列的通项公式，要特别注意n=1的检验．

举一反三：

【变式1】（2015春  迪庆州校级月考）数列的前n项的和 Sn=2n2+n+1，求数列的通项公式．

【解析】当n≥2时，有an=Sn﹣Sn﹣1=2n2+n+1﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）+1]=4n﹣1；，

而a1=S1=4不适合上式，

所以．

【变式2】已知数列的前项积，求通项

【答案】当时，，

当时，，

∴.

类型五：数列与函数

例6.已知函数数列满足，

（1）   求数列的通项公式；

（2）   证明数列是递减数列.

【思路点拨】证明一个数列是递减数列，或者证或者证。

【解析】（1）

(2)证明：

=

又∴数列是递减数列

【总结升华】数列是一个特殊的函数，数列的通项公式就是相应的函数解析式，即

举一反三：

【变式1】已知数列中,判断数列的单调性，并给以证明.

【答案】∵，

∴（）

∴数列是递增数列.

【变式2】数列中：,（）

（1）写出它的前五项，并归纳出通项公式；

（2）判断它的单调性.

【答案】

（1）,,, , ,∴ ；

（2）方法一：∵，

∴ 数列是递减数列.

方法二：∵函数在上单调递减，

∴数列是递减数列.