知识讲解_一元二次不等式及其解法_基础练习题

一元二次不等式及其解法

编稿：张希勇       审稿：李霞

【学习目标】

1.掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想；

2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系；

3.能利用一元二次不等式解决简单的实际问题.

【要点梳理】

要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：.一元二次不等式的一般形式：或.

设一元二次方程的两根为且，则不等式的解集为，不等式的解集为

要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证成立.

要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系

对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.

要点诠释：

（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；

（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；

（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.

要点三、解一元二次不等式的步骤

（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；

（2）写出相应的方程，计算判别式：

①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；

②时，求根；

③时，方程无解

（3）根据不等式，写出解集.

用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的过程

要点诠释：

1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；

2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；

3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；

4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；

5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数.

【典型例题】

类型一：一元二次不等式的解法

例1. 解下列一元二次不等式

（1）；    （2）；    （3）

【思路点拨】转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.

【解析】

（1）方法一：

因为

所以方程的两个实数根为：，

函数的简图为：

因而不等式的解集是.

方法二： 或

解得 或 ，即或.

因而不等式的解集是.

（2）方法一：

因为，

方程的解为.

函数的简图为：

所以，原不等式的解集是

方法二：（当时，）

所以原不等式的解集是

（3）方法一：

原不等式整理得.

因为，方程无实数解，

函数的简图为：

所以不等式的解集是.

所以原不等式的解集是.

方法二：∵

∴原不等式的解集是.

【总结升华】

1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；

2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.

3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.

举一反三：

【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型一 一元二次不等式的解法】

【变式1】已知函数 解不等式f(x)＞3.

【答案】由题意知或

解得：x＞1.

故原不等式的解集为{x|x＞1}．

【变式2】（2015  重庆）函数的定义域是（    ）

A.[-3,1]       B.(-3,1)       C.(-∞，-3]∪[1.+ ∞)     D. (-∞，-3)∪(1.+ ∞)

【答案】由题意得：，即

解得x>1或x<-3,

所以定义域为(-∞，-3)∪(1.+ ∞)，

故选D。

类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法

例2．解下列关于x的不等式

（1）x2-2ax≤-a2+1；  

（2）x2-ax+1>0；       

（3）x2-(a+1)x+a<0；    

【思路点拨】

解不等式时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；

【解析】

(1)

∴原不等式的解集为.

(2) Δ=a2-4

当Δ>0，即a>2或a<-2时，原不等式的解集为

当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为.

当Δ<0，即-2<a<2时，原不等式的解集为R.

（3）(x-1)(x-a)<0

 当a>1时，原不等式的解集为{x|1<x<a}

 当a<1时，原不等式的解集为{x|a<x<1}

 当a=1时，原不等式的解集为.

【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：

①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；

②求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；

③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论.

举一反三：

【变式1】解关于x的不等式：

【答案】原不等式化为

①a=1或a=-1时，解集为；

②当0<a<1 或a<-1时，，解集为：；

③当a>1或 -1<a<0时，，解集为：.

【变式2】解关于的不等式：（）

【答案】

当a＜0或a＞1时，解集为；

当a=0时，解集为；

当0＜a＜1时，解集为；

当a=1时，解集为；

【变式3】（2015春  房山区校级期中）解关于x的不等式56x2+ax－a2＜0。

【答案】

∵56x2+ax－a2＜0，∴(7x+a)(8x－a)＜0，即。

①当a=0时，，不等式化为x2＜0，解得x∈。

②当a＞0时，，不等式解集为。

当a＜0时，，不等式解集为

例3．解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0.

【解析】若a=0，原不等式－x+1＜0x＞1；

若a＜0，原不等式或x＞1；

若a＞0，原不等式，

其解的情况应由与1的大小关系决定，故

（1）当a=1时，原不等式；

（2）当a＞1时，原不等式；

（3）当0＜a＜1时，原不等式

综上所述：

当a＜0，解集为；

当a=0时，解集为{x|x＞1}；

当0＜a＜1时，解集为；

当a=1时，解集为；

当a＞1时，解集为.

【总结升华】熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”.

举一反三：

【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0；

【答案】当a=0时，x∈(-,2].

当a≠0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为

①当a>0时，

若， 即时，；

若， 即时，x∈R；

若， 即时，.

②当a<0时，则有：，  ∴ .

【变式2】解关于x的不等式：ax2＋2x-1<0；

【答案】当a=0时，.

当a≠0时，Δ=4+4a=4(a+1)，

①a>0时，则Δ>0，.

②a<0时，

若a<0，△<0， 即a<-1时，x∈R；

若a<0，△=0， 即a=-1时，x∈R且x≠1；

若a<0，△>0， 即 -1<a<0时， .

【高清课堂：一元二次不等式及其解法  387159 题型二 含参数的一元二次不等式的解法】

【变式3】求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．

【答案】

当a＞0时，不等式的解集为；

当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；

当a＜0时，不等式的解集为.

类型三：一元二次不等式的逆向运用

例4. 不等式的解集为，求关于的不等式的解集.

【思路点拨】

由二次不等式的解集为可知：4、5是方程的二根，故由韦达定理可求出、的值，从而解得.

【解析】由题意可知方程的两根为和

由韦达定理有，

∴，

∴化为，即

，解得，

故不等式的解集为.

【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键.

举一反三：

【变式1】（2015 浙江校级模拟）设关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0(a∈R)的解集为{x|-1<x<1},则a的值是（   ）

 A.-2          B.-1           C.0          D.1

【答案】∵关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0(a∈R)的解集为{x|-1<x<1}，

∴对应一元二次方程(ax-1)(x+1)=0的两个实数根为-1和1，

∴或x=-1,

即a的值是1，故选D。

【变式2】已知的解为,试求、,并解不等式.

【答案】由韦达定理有：，，∴,.

∴代入不等式得，

即，，解得，

故不等式的解集为：.

【变式3】已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.

【答案】由韦达定理有：，解得, 代入不等式得

，即，解得或.

∴的解集为：.

类型四：不等式的恒成立问题

【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型三 不等式恒成立的问题】

例5.已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，

求实数a的取值范围．

【思路点拨】

不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。

【解析】原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数恒成立，

显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，

从而有

整理，得

解得a＞2.

故a的取值范围是(2，＋∞)．

【总结升华】当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论.

举一反三：

【变式1】已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】

(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5

若m=1，则不等式化为3>0, 对一切实数x成立，符合题意.

若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去.

(2)当m2+4m-5≠0即 m≠1且m≠-5时，

由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，

所以，

    即， ∴ 1<m<19.

    综上所述，实数m的取值范围是{m|1≤m<19}.