知识讲解_简单的线性规划问题_基础

简单的线性规划问题

编稿：张希勇    审稿：李霞

【学习目标】

1.      了解线性规划的意义，了解线性规划的基本概念；
2.      掌握线性规划问题的图解法.
3.      能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，提高学生解决实际问题的能力.

【要点梳理】

要点一、线性规划的有关概念：

 线性约束条件：

如果两个变量、满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量、的约束条件，这组约束条件都是关于、的一次不等式，故又称线性约束条件．

线性目标函数：

关于、的一次式是欲达到最大值或最小值所涉及的变量、的解析式，叫线性目标函数．

线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

可行解、可行域和最优解：

在线性规划问题中，

①满足线性约束条件的解叫可行解；

②由所有可行解组成的集合叫做可行域；

③使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.

要点诠释：线性规划问题，就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题.

要点二、线性规划的应用

1.线性规划也是求值的一种,是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题,其关键是列出所有的限制条件,不能有遗漏的部分,如有时变量要求为正实数或自然数,其次是准确找到目标函数,如果数量关系多而杂,可以用列表等方法把关系理清.

2.线性规划的理论和方法经常被用于两类问题中:一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用其完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的人力、物力、资金等资源来完成这项任务.

要点诠释：在生产和生活中，常用于下料问题；优化安排活动问题；优化运营问题等.

要点三、确定线性规划中的最优解

对于只有两个变量的线性规划(即简单的线性规划)问题，可以用图解法求解．其基本的解决步骤是：

 ① 设变量，建立线性约束条件及线性目标函数；

 ② 画出可行域；

 ③ 求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)；

 ④作答．

要点诠释：

确定最优解的思维过程：

线性目标函数（A,B不全为0）中，当时，，这样线性目标函数可看成斜率为，且随变化的一组平行线，则把求的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当B>0时，的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大；当B<0时，的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断.

对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解，最优解一般在可行域的定点处取得，若要求最优整解，则必须满足x，y均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出最优整解.上述求整点最优解的方法可归纳为三步：

找整点---验证--- 选最优解

【典型例题】

类型一：求目标函数的最大值和最小值.

例1. 若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝(　　)

A．5 B． 6 C． 7 D． 8

【答案】B

【思路点拨】 首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图像可得: 目标函数z=2x+y过点B（2，-1）时取得最大值，过点A（-1，-1）时取得最小值.

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：

由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，

平移直线y＝－2x＋z，由图象可知当直线y＝－2x＋z经过点A，

直线y＝－2x＋z的截距最小，此时z最小，

由，解得，

即A(－1，－1)，此时z＝－2－1＝－3，此时n＝－3，

平移直线y＝－2x＋z，由图象可知当直线y＝－2x＋z经过点，B，

直线y＝－2x＋z的截距最大，此时z最大，

由，解得，

即B(2，－1)，此时z＝2×2－1＝3，即m＝3，

则m－n＝3－(－3)＝6，

故选：B．

【总结升华】

1.本题的切入点是赋予“”恰当的几何意义：纵截距或横截距；

2.线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；

3.线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个，此时目标函数的图象一定与区域中的一条边界直线平行．

举一反三：

【变式1】求的最大值和最小值，使式中的、满足约束条件.

【答案】不等式组所表示的平面区域如图所示：

从图示可知，直线在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，

以经过点的直线所对应的最小，

以经过点的直线所对应的最大.

所以，

.

【变式2】（2015  天津）设变量满足约束条件 ，则目标函数的最大值为

（A）3   （B）4    （C）18    （D）40

【答案】如图所示，阴影部分即为线性规划的可行域，当直线经过点A（0，3）时，z取得最大值18.

故选: C。

【变式3】（2016  新课标Ⅱ文）若x，y满足约束条件，则的最小值为__________

【答案】

由得，点，由得，点，由得，点，分别将，，代入得：，，，所以的最小值为．

类型二：已知目标函数的最值求参数.

【高清课堂：简单的线性规划问题 训练2】

例2.已知变量x，y满足条件

若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是(    )．

A.           B.

C.               D.

【答案】D

【解析】画出x、y满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z＝ax＋y

仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y＝－ax＋z的斜率应小于直线

x＋2y－3＝0的斜率，即，∴.

【总结升华】这是线性规划的逆向思维问题，解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解.同时注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系.

举一反三：

【变式1】若满足约束条件目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则的取值范围（   ）

A.(-1,2)         B.(-4,2)         C(-4,0)         D.(-2,4)

【答案】B

【解析】可行域为△ABC，如图

当a＝0时，显然成立．当a＞0时，直线ax＋2y－z＝0的斜率k＝＞kAC＝－1，a＜2.

当a＜0时，k＝＜kAB＝2，∴a＞－4. 综合得－4＜a＜2.

【变式2】已知实数满足如果目标函数的最小值为-1，则实数m等于

A.7         B.5         C.4         D.3

【答案】B

类型三：实际问题中的线性规划.

【高清课堂：一元二次不等式及其解法 例4】

例3. 某企业生产A、B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表：

已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业生产A、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？

【解析】设生产A、B两种产品各x、y吨，利润为z万元

则，目标函数

作出可行域，如图所示，

作出在一组平行直线7x+12y=t（t为参数）中经过可行域内的点和原点距离最远的直线，

此直线经过点M（20，24）

故z的最优解为（20，24），z的最大值为7×20+12×24=428（万元）.

【总结升华】简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解

举一反三：

【变式】家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子、一小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，试根据以上条件，问怎样安排生产能获得最大利润?

【答案】设制作x把椅子，y张桌子约束条件：， 

目标函数：z=15x+20y.

如图：目标函数经过A点时，z取得最大值

即A(200, 900)

∴ 当x=200, y=900时，zmax=15×200+20×900=21000(元)

答：安排生产200把椅子，900张桌子时，利润最大为21000元.

例4.某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每件要消耗煤9吨，电力4千瓦，使用劳动力3个，获利7000元：生产乙种产品每件要消耗煤4吨，电力5千瓦，使用劳动力10个，获利12000元.有一个生产日，这个厂可动用的煤是360吨，电力是200千瓦，劳动力是300个，问应该如何安排甲、乙两种产品的生产，才能使工厂在当日的获利最大，并问该厂当日的最大获利是多少?

【解析】设生产甲产品x件，乙产品y件 

约束条件：，

目标函数：z=7000x+12000y

如图：目标函数经过A点时，z取得最大值

， 即A（20，24）

∴ 当x=20, y=24时，zmax=7000×20+12000×24=428000（元）.

答：安排甲产品20件，乙产品24件时，利润最大为428000元.

【总结升华】注意本例中变量的取值限制.

举一反三：

【变式】某运输公司有7辆载重量为6 t的A型卡车与4辆载重量为10 t的B型卡车，9名驾驶员，在建筑某段高速公路中，此公司承担了每天至少搬运360 t沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A型卡车160元，B型卡车252元，每天派出A型车与B型车各多少辆，才能使公司所花的成本费最低？

【答案】设派出A型车x辆，B型车y辆，所花成本费为z=160x+252y，且x、y满足给条件如：

，即

如图所示，作出不等式表示的区域，

作直线，即，

作直线的平行线：

当直线经过可行域内A点时，纵截距最小，

可得A点坐标为.

∵z=160x+252y，∴，式中代表该直线的纵截距b，

而直线的纵截距b取最小值时，z也取得最小值，

即过时，，

但此时，

∴z=1220.8到不到，即它不是可行解，调整x、y的值，

当x=5，y=2时，点在直线4x+5y=30上，且在可行域内符合x、y要求.

∴派5辆A型车，2辆B型车时，成本费用最低，

即zmin=160×5+2×252=1304（元）