知识讲解_提高_等差数列及其前n项和练习题

等差数列及其前n项和

编稿：张希勇     审稿：李霞

【学习目标】

1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前项和公式，了解等差数列与一次函数的关系；

2. 理解等差数列的性质，并会用性质灵活解决问题；体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系的联系，能用二次函数的知识解决数列问题.

3. 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.

【学习策略】

数列是特殊的函数，类比一次函数、二次函数等有关知识，研究等差数列的通项公式及前n项和公式的性质特点。

注意方程思想的应用：等差数列的通项公式和前项和公式中，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程或者方程组，便可求出其余两个量。

【要点梳理】

要点一、等差数列的定义

文字语言形式

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。

要点诠释：

⑴公差一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即公差）；

符号语言形式

对于数列,若(，,为常数)或(，为常数)，则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差。

要点诠释：定义中要求“同一个常数”，必须与无关。

等差中项

如果,,成等差数列，那么叫做与的等差中项，即.

要点诠释：

①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数。任意两实数a，b的等差中项存在且唯一.

②三个数,,成等差数列的充要条件是.

要点二、等差数列的通项公式

等差数列的通项公式

首相为，公差为的等差数列的通项公式为：

（）

推导过程：

（1）归纳法：

根据等差数列定义可得：，

∴，

，

，

……

当n=1时，上式也成立

∴归纳得出等差数列的通项公式为：（）。

（2）叠加法：

根据等差数列定义，有：

，

，

，

…

把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得，

∴.

(3)迭代法：

∴.

要点诠释：

①通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了。

②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量。

等差数列通项公式的推广

已知等差数列中，第项为，公差为，则：

证明：∵，

      ∴

      ∴

由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式可以看成是时的特殊情况。

要点三、等差数列的性质

等差数列中，公差为，则

①若，且,则，

特别地，当时.

②下标成公差为的等差数列的项,,,…组成的新数列仍为等差数列，公差为.

③若数列也为等差数列，则，，（k,b为非零常数）也是等差数列.

④仍是等差数列.

⑤数列（为非零常数）也是等差数列.

要点四、等差数列的前项和公式

等差数列的前项和公式

公式一：

证明：倒序相加法

   ①

  ②

①+②：

∵

∴

由此得：

公式二：

证明：将代入可得：

要点诠释：

①倒序相加是数列求和的重要方法之一。

②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量。

要点五、等差数列的前项和的有关性质

等差数列中，公差为，则

①连续项的和依然成等差数列，即,,，…成等差数列，且公差为.

②若项数为2n，则，，

③若项数为2n-1，则，，，，

要点六、等差数列中的函数关系

等差数列的通项公式是关于n的一次函数(或常数函数)

等差数列中，，令,则：

（,是常数且为公差）

（1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点。

（2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点。

①当时，一次函数单调增，为递增数列；

②当＜0时，一次函数单调减，为递减数列。

等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）

由，令，，则：

（,为常数）

（1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点。

（2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点。

①当时有最小值

②当时，有最大值

要点诠释：

1.公差不为0的等差数列的通项公式是关于n的一次函数。

2.（,是常数）是数列成等差数列的充要条件。

3.公差不为0的等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数。

4.(其中,为常数)是数列成等差数列的充要条件.

【典型例题】

类型一：等差数列的定义

例1. -401是不是等差数列……的项？如果是，是第几项？

【思路点拨】

要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数值，使得等于这一数.

【解析】 由  得

      由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得：

             成立

      解得：即是这个数列的第100项.

【总结升华】

1.根据所给数列求得首项和公差，写出通项公式.

2.要注意解题步骤的规范性与准确性.

举一反三：

【变式1】－20是不是等差数列0，，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.

【答案】由题意可知：,，∴此数列的通项公式为：,

令,解得，所以－20不是这个数列的项.

【变式2】求集合的元素的个数，并求这些元素的和

【答案】∵， ∴， ∵，∴中有14个元素符合条件，

又∵满足条件的数7，14，21，…，98成等差数列，即，，，

∴.

例2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan+1＝λSn－1，其中λ为常数．

(Ⅰ)证明：an+2－an＝λ

(Ⅱ)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．

【答案】(Ⅰ)见解析。(Ⅱ)存在.

【解析】(Ⅰ)证明：∵anan+1＝λSn－1，an+1an+2＝λSn+1－1，

∴an+1(an+2－an)＝λan+1

∵an+1≠0，

∴an+2－an＝λ．

(Ⅱ)解：①当λ＝0时，anan+1＝－1，假设{an}为等差数列，设公差为d．

则an+2－an＝0，∴2d＝0，解得d＝0，

∴an＝an+1＝1，

∴12＝－1，矛盾，因此λ＝0时{an}不为等差数列．

②当λ≠0时，假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．

则λ＝an+2－an＝(an+2－an+1)+(an+1－an)＝2d，

∴．

∴，，

∴λSn＝1+＝，

根据{an}为等差数列的充要条件是，解得λ＝4．

此时可得，an＝2n－1．

因此存在λ＝4，使得{an}为等差数列．

【总结升华】 （1）证明三个数成等差数列的方法为：证明，即成等差数列⇔。

（2）（,是常数）是数列成等差数列的充要条件；(其中,为常数)是数列成等差数列的充要条件.

举一反三：

【变式1】已知数列的通项公式为这个数列是等差数列吗？

【答案】因为时，

所以数列是等差数列，且公差为3.

【变式2】已知数列中，，（），求证：是等差数列。

证明：∵，∴

∴，∴是公差为的等差数列。

类型二：等差数列通项公式的应用

例3．已知等差数列中，，，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由。

【思路点拨】等差数列的计算，一般优先考虑使用性质，如果不宜用性质，则回归为基本量a1、d的问题，列出a1、d的方程组。

【解析】

方法一：由通项公式得：，解得，

       ∴（,）,

       ∴,解得.

方法二：由等差数列性质，得,即，解得,

    ∴，  ∴,解得.

方法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列是一些共线的点，

    ∵点、、在同一条直线上，

    ∴ ，解得。

【总结升华】

1. 等差数列的关键是首项与公差；五个基本量、、、、中，已知三个基本量便可求出其余两个量；

2.列方程（组）求等差数列的首项和公差，再求出、，是数列中的基本方法.

举一反三：

【变式1】在等差数列中，已知求首项与公差.

【答案】由 解得；

【变式2】等差数列中, , , ,求的值.

【答案】即，

解得：或.

【变式3】已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．

【答案】

方法一：根据题意，设等差数列的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d，

则，

即，解得或.

因为数列为单调递增数列，因此，从而等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.

方法二：由于数列{an}为等差数列，因此可设前三项分别为a－d，a，a＋d，

于是可得，

即，解得或.

由于数列{an}为单调递增数列，因此，从而an＝4n－1.

类型三：活用等差数列的性质解题

例4. 已知等差数列中，若,,求的通项公式。

【思路点拨】可以直接列方程组求解和；同时留意到脚标，可以用性质：当时解题.

【解析】∵，∴即,

代入已知，有,解得或，

当,时，，∴；

当,时，, ∴.

【总结升华】利用等差数列的性质解题，往往比较简捷.

举一反三：

【变式1】在等差数列中，，则=        

【答案】9

【变式2】在等差数列中，，则=       

【答案】10

【变式3】在等差数列中，若,, 则=      , =       

【答案】∵，，∴，

    ∴，∴.

类型四：前n项和公式及性质的运用

例5．等差数列前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项和.

【思路点拨】

利用等差数列的前n项和公式求解；或利用性质：“等差数列的连续10项和构成一个新的等差数列”和等差中项求解；或利用相关的函数（）等知识求解。

【解析】

方法一：利用等差数列的前n项和公式求解。

由已知得，解得，

∴。

方法二：利用等差数列前n项和公式及性质,则求解。

由已知得

由(3)-(2)及(2)-(1)结合(4), 得S3m=210.

方法三：根据性质：“已知{an}成等差数列，则Sn,S2n-Sn, S3n-S2n,……,Skn-S(k-1)n,……(k≥2)成等差数列”解题。

由上述性质，知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列。

∴Sm+(S3m-S2m)=2(S2m-Sm), ∴ S3m=3(S2m-Sm)=210.

方法四：由的变形式解题，由上式知，

∴数列也成等差数列，即成等差数列，

∵ ，又Sm=30, S2m=100, ∴S3m=210.

方法五：∵{an}为等差数列， ∴设

∴Sm=am2+bm=30,S2m=4m2a+2mb=100, 得，

∴S3m=9m2a+3mb=210.

【总结升华】方程是解决这类问题的重要方法，当然具体题目也要注意数列本身的一些性质，它往往更能起到事半功倍的效果.

举一反三：

【变式1】等差数列{an}中，若a1+a2+a3+a4+a5=30, a6+a7+a8+a9+a10=80, 则a11+a12+a13+a14+a15=___________.

【答案】比较对应项可知后一段中每一项总比前段每一项多5d，故后一段和比前一段和多25d，故三段依然构成等差数列，故由等差中项公式可知:a11+a12+a13+a14+a15=2×80-30=130.

【变式2】等差数列{an}中，Sm=Sn且m≠n, 则Sm+n=_________.

【答案】

方法一：数列{an}成等差数列的充要条件是Sn=an2+bn（其中a，b为常数），

故有

(2)-(1)得a(m2-n2)+b(m-n)=0,

∵m≠n, ∴a(m+n)+b=0,

∴Sm+n=a(m+n)2+b(m+n)=(m+n)[a(m+n)+b]=0.

方法二:

从等差数列Sn=an2+bn去认识它是函数S(x)=ax2+bx图象上的点，

∵Sm=Sn,∴函数图象对称轴为，

故Sm+n=S(0)=a·02＋b·0=0.

【变式3】等差数列前10项和为100，前20项和为10，求它的前30项和.

【答案】

方法一：

由已知，得，解得，，

∴.

方法二：

等差数列中,,，…构成新的等差数列，

∴,  ∴.

方法三：等差数列中，设,则

,解得，

∴.

例6．已知两等差数列、的前项和分别为、，且，试求.

【思路点拨】

利用前项和公式与性质解题，或利用解决，或利用等差数列前项和形式解题.

【解析】

方法一：∵，

    ∴ .

方法二：由得

方法三：由题设，令等差数列前项和, ，则

   ，，

∴.

【总结升华】依据等差数列的性质可以得到，当已知两等差数列、的前项和分别为、时，有，.

举一反三：

【变式1】等差数列中，若, 则=_________.

【答案】由，得.

【变式2】已知两等差数列、的前项和分别为、，且，则=    .

【答案】.

【高清课堂：等差数列及其前n项和379548 练习5】

例7．一等差数列由3个数组成，3个数之和为9，3个数的平方和为35，求这个数列。

【思路点拨】

本题设这三个数时，常规设法为, ，，但不如用对称设法设为, , 。

【解析】设这三个数分别为, , ，则

    ，解得,.

    ∴所求三个数分别为1，3，5或5，3，1。

【总结升华】

1. 三个数成等差数列时，可设其分别为, , ；若四个数成等差数列，可设其分别为,,,.

举一反三：

【变式】已知四个数成等差数列，且其平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四个数。

【答案】-1，2，5，8或8，5，2，-1或-8，-5，-2，1或1，-2，-5，-8

类型五：等差数列前项和的最值问题

例8．已知数列是等差数列，,，试问为何值时，数列的前项和最大？为什么？

【思路点拨】

要研究一个等差数列的前项和的最值问题，有两个基本途径：其一是利用是的二次函数关系来考虑；其二是通过考察数列的单调性来解决。

【解析】

方法一：∵,  ∴即,

∵， ∴，

又，

∵，∴ 当, 有最大值为.

方法二：要使最大，必须使且，

即

解得， ∵，

∴时，最大为.

【总结升华】

对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

1. 利用:

当，时，前项和有最大值。可由，且，求得的值；

当，时，前项和有最小值。可由，且，求得的值.

2.     利用：由利用二次函数配方法求得最值时的值

举一反三：

【变式1】设等差数列的前项和为, 已知,,.

（1）求公差的取值范围；

（2）指出，，…，中哪一个值最大，并说明理由.

【答案】

（1）依题意，有，即，

解得.

（2）法一:由，可知.

设存在自然数,使得就是，，…，中的最大值，只需,,

由，

故是，，…，中的最大值.

法二:

∵, ∴最小时，最大，

∵, ∴，

∴时，最小，

故是，，…，中的最大值.

【变式2】在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为　　　　　．

【答案】∵，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，

∴，即，解得：

综上：d的取值范围为(－1，－)．

【变式3】（2016春  抚州校级期中）等差数列的首项为23，公差为整数，且第6项为正数，从第7项起为负数

（1）求此数列的公差； 

（2）当前项和是正数时，求的最大值。 

 【答案】（1）由题意，得

又

 ；

（2）前n项和为

整理，得

又 的最大值为12.