巩固练习_一元二次不等式及其解法_提高

【巩固练习】

一、选择题

1．（2016  四川模拟）若不等式x2+ax+b＜0的解集为（―1，2），则ab的值为（    ）

A．―1         B．1          C．―2         D．2

2．若0＜t＜1，则不等式的解集为(　　)

A.   B.

C.   D.

3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是(　　)

A．(2,3)   B．(－∞，2)∪(3，＋∞)

C.   D.

4．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，则(　　)

A．－1＜a＜1   B．0＜a＜2

C．  D．

5．不等式x2－ax－b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则bx2－ax－1＞0的解集是（    ）

A．   B．     C．    D．

6.（2015  天津校级模拟）设0<b<1+a,若关于x的不等式的解集中的整数解恰有3个，则（    ）。

A. -1<a<0            B.0<a<1         C.1<a<3      D.3<a<6

二、填空题

7．若函数是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x＞0，y＞0都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，则不等式f(x＋6)＋f(x)＜2f(4)的解集为________．

8．如果关于x的方程x2－(m－1)x+2－m=0的两根为正实数，则m的取值范围是________.

9.（2016  杭州校级模拟）正实数x，y满足：，则x2+y2－10xy的最小值为________。

10. 已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是　　．

三、解答题

11.解下列不等式

(1)2x2＋7x＋3＞0；　　　(2)－x2＋8x－3＞0；

12. 不等式mx2+1＞mx 的解集为实数集R，求实数m的取值范围．

13. 解关于x的不等式m2x2＋2mx－3＜0(其中m∈R)．

14．已知，

(1)如果对一切x∈R，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；

(2)如果对x∈[-3，1]，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围.

15. 已知a为实数，A为不等式x2－(2a＋1)x＋(a＋2)(a－1)≥0的解集，B为不等式x2－a(a＋1)x＋a3＜0的解集．

(1)用区间表示A和B；

(2)是否存在实数a，使A∪B＝R？并证明你的结论．

16. (2015  辽宁)设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1．记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N．

(Ⅰ)求M；

(Ⅱ)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤．

【答案与解析】

1.【答案】D

【解析】不等式x2+ax+b＜0的解集为（―1，2），

所以方程x2+ax+b=0的实数根为―1和2，

所以，解得a=―1，b=―2，

所以ab=―1×(－2)=2。

故选D。

2．【答案】　D

【解析】　∵0＜t＜1，∴，∴

∴.

3. 【答案】　A

【解析】　由题意知，是ax2－bx－1＝0的两实根，

∴.解得.

∴x2－bx－a＜0⇔x2－5x＋6＜0⇔2＜x＜3.

4. 【答案】　C

【解析】　因为(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，又不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，所以(x－a)(1－x－a)＜1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1＞0对任意实数x恒成立，所以Δ＝(－1)2－4(－a2＋a＋1)＜0，解得，故选C.

5.【答案】C

【解析】由题意得，方程x2－ax－b=0的两根为x=2,x=3,由韦达定理得，，求得

，从而解得bx2－ax－1＞0的解集为

6. 【答案】C

【解析】关于x的不等式，即，∵0<b<1+a，

[(a+1)x-b][(a-1)x+b]<0的解集中的整数恰有3个，所以a>1,

∴不等式的解集为，所以解集里的整数是-2，-1,0三个。

∴

∴

∵b<1+a, ∴2a-2<1+a, ∴a<3,

综上,1<a<3,故选C。

7．【答案】　{x|0＜x＜2}

【解析】　由已知得f(x＋6)＋f(x)＝f[x(x＋6)]，

2f(4)＝f(4)＋f(4)＝f(4×4)＝f(16)，

∴原不等式等价于.

8．【答案】

【解析】由题意得：

，解得

9. 【答案】　―36

【解析】由得x+y=xy，

平方得x2+y2+2xy=(xy)2，

即x2+y2=―2xy+(xy)2，

则x2+y2―10xy=(xy)2―2xy―10xy=(xy)2―12xy=(xy―6)2―36，

当xy=6时，有最小值，即最小值为―36，

故答案为：―36。

10. 【答案】

【解析】∵a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，

∴b＋c＝－a，b2＋c2＝1－a2，

∴bc•(2bc)

[(b＋c)2－(b2＋c2)]

＝a2

∴b、c是方程：x2＋ax＋a2＝0的两个实数根，

∴△≥0

∴a2－4(a2)≥0，即a2≤

∴，即a的最大值为

故答案为：．

11．【解析】　

(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，

所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，.

又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，

所以原不等式的解集为.

(2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0，

所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根

，.

又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，

所以原不等式的解集为．

12.【答案】{m|0≤m<4}

【解析】

当m＝0时，不等式即为1＞0，满足条件．

当m≠0时，若不等式的解集为R，则应有， 解得0＜m＜4．

综上，m的取值范围是{m|0≤m<4}.

13.【解析】　当m＝0时，原不等式可化为－3＜0，其对一切x∈R都成立，

所以原不等式的解集为R.

当m≠0时，m2＞0，

由m2x2＋2mx－3＜0，得(mx－1)(mx＋3)＜0，

即，

若m＞0，则，

所以原不等式的解集为；

若m＜0，则，

所以原不等式的解集为.

综上所述，当m＝0时，原不等式的解集为R；

当m＞0时，原不等式的解集为；

当m＜0时，原不等式的解集为.

14．【解析】

(1)由题意得：△=，即0<a<4；

(2)由x∈[-3，1]，f(x)>0得，有如下两种情况：

或 

综上所述：.

15. 【解析】　不等式x2－(2a＋1)x＋(a＋2)(a－1)≥0可以转化为[x－(a＋2)][x－(a－1)]≥0，不等式x2－a(a＋1)x＋a3＜0可以转化为(x－a)(x－a2)＜0.

(1)因为对任意实数a都有a－1＜a＋2，

所以A＝(－∞，a－1]∪[a＋2，＋∞)．

当a2≥a，即a≥1或a≤0时，B＝(a，a2)；

当a2＜a，即0＜a＜1时，B＝(a2，a)．

(2)要使A∪B＝R，则

当a≥1或a≤0时，需，该不等式组无解；

当0＜a＜1时，需，该不等式组无解．

所以不存在实数a，使得A∪B＝R.

16. 【解析】(Ⅰ)由f(x)＝2|x－1|＋x－1≤1 可得 ①，或 ②．

解①求得1≤x≤，解②求得 0≤x＜1．

综上，原不等式的解集为[0，]．

(Ⅱ)由g(x)＝16x2－8x＋1≤4，求得－≤x≤，∴N＝[－，]，∴M∩N＝[0，]．

∵当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，x2f(x)＋x[f(x)]2 ＝xf(x)[x＋f(x)]

＝－≤，

故要证的不等式成立．