巩固练习_余弦定理_提高

【巩固练习】

一、选择题

1．(2015  广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，，，且b＜c，则b=（   ）

A．            B．2           C．                   D．3

2．在△ABC中，下列关系式

①asin B＝bsin A　②a＝bcos C＋ccos B　③a2＋b2－c2＝2abcos C

④b＝csin A＋asin C

一定成立的有(　　)

A．1个   B．2个

C．3个   D．4个

3．（2016春  武汉校级期中）在中，，则的取值范围是（      ）

                      D.

4．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝，且∠A＝75°，则b＝(　　)

A．2   B．4＋2

C．4－2   D.

5. △ABC的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角的大小为

A．         B．         C．         D.

6. 锐角三角形ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，如果B＝2A，则的取值范围是(　　)

A．(－2,2)   B．(0,2)

C．(，)   D．(，2)

7．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，则cos C的值为(　　)

A.   B．

C． D.

二、填空题

8. (2015  北京)在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则        ．

9. 在△ABC中，A，B，C是三个内角，C＝30°，则sin2A＋sin2B－2sin Asin Bcos C的值是________．

10. （2015秋 曲阜市期中）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为,若△ABC的面积为S=(a2＋b2－c2)，那么角C＝_______________.

11. 若钝角三角形三边长为、、，则的取值范围是        ．

三、解答题

12．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asin A

＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，求A的大小．

13. 在△ABC中，已知sin C＝，试判断三角形的形状．

14．（2016  新课标I理）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（I）求C；

（II）若的面积为，求的周长．

15. （2015  新课标Ⅱ理）中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．

(Ⅰ) 求；

(Ⅱ)若，，求和的长．

【答案与解析】

1. 答案：B

解析：由余弦定理得：a2=b2+c2－2bccosA，所以，即b2－6b+8=0，解得：b=2或b=4，因为b＜c，所以b=2。

故选：B．

2. 答案：　C

 解析：　由正、余弦定理知①③一定成立，对于②由正弦定理知sin A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)，显然成立．对于④由正弦定理sin B＝sin Csin A＋sin Asin C＝2sin Asin C，则不一定成立．

3. 答案：　B

解析：

利用正弦定理化简得： ，变形得：

，，

又为三角形的内角，A的取值范围是。   

4. 答案：　A

解析：　△ABC中，易知∠B＝30°，由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac·cos 30°，

∴

=4

∴b＝2.

5. 答案：　B

解析：，利用余弦定理可得，即，故选择答案B。

6. 答案：　C

解析：∵，

又∵△ABC是锐角三角形，∴，

∴30°<A<45°，则＝2cos A∈()．

7. 答案：　C

解析：由正弦定理及sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4知，a∶b∶c＝3∶2∶4，令a＝3x，则b＝2x，c＝4x(x>0)，

根据余弦定理得，

＝＝－.

8. 答案：1

解析：由余弦定理可得．

由正弦定理和二倍角公式可得，

．

故答案为：1

9. 答案：

解析：　sin2A＋sin2B－2sin Asin Bcos C＝(a2＋b2－2abcos C)

＝＝sin2C＝.

10. 答案：

解析：　根据三角形面积公式得，

S＝absin C＝(a2＋b2－c2)

∴sin C＝.

又由余弦定理：cos C＝，

∴sin C＝cos C，∴C＝.

11. 答案：

解析：由可得

12.解析：　由已知，根据正弦定理得

2a2＝(2b＋c)·b＋(2c＋b)·c

即a2＝b2＋c2＋bc

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，

∴cos A＝－

∵A∈(0，π)，∴A＝120°.

13. 解析：　∵sin C＝，

由正弦定理得c(cos A＋cos B)＝a＋b，

再由余弦定理得，

c·＋c·＝a＋b，

∴a3＋a2b－ac2－bc2＋b3＋ab2＝0，

∴(a＋b)(c2－a2－b2)＝0，∴c2＝a2＋b2，

故三角形为直角三角形.

14.解析：（I）由已知及正弦定理得，，

．

故．

可得，所以．

（II）由已知，

又 ，所以

由已知及余弦定理得，

故 从而

所以 的周长为

15. 解析：（Ⅰ）

因为S△ABD=2S△ADC，∠BAD=∠CAD，所以AB=2AC.

由正弦定理可得    .

 (Ⅱ)因为，所以．在△ABD和△ADC中，由余弦定理得

，．

．由(Ⅰ)知AB=2AC，所以AC=1．