巩固练习_等比数列及其前n项和_基础

【巩固练习】

一、选择题

1．1．和的等比中项是(　　)

A．1   B．－1

C．±1   D．2

2．（2015 新课标Ⅱ）已知等比数列{an}满足,,则=（   ）

A．2    B．1    C．    D．

3．等比数列{an}中，a3＝12，a2＋a4＝30，则a10的值为(　　)

A．3×10－5   B．3×29

C．128   D．3×2－5或3×29

4．等比数列{an}中，a2=9，a5=243，则{an}的前4项和为(     )

A．81    B．120    C．168    D．192

5．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4=10，S8=110，则S16=(     )

A．10000    B．11110    C．1110    D．111110

6．设等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.   D.

二、填空题

7．(2015  广东)若三个正数a，b，c成等比数列，其中，，则b=        ．

8．（2016  房山区一模）设为等比数列的前项之积，且，则公比=     ，当最大时，的值为        。     

9.在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m＝________.

10．等比数列中Sn＝48，S2n＝60，则S3n等于________．

三、解答题

11.在等比数列{an}中，已知：a1=2, S3=26,求q与a3

12.已知：对任意自然数n都有a1+a2+……+an=2n-1，求+……+.

13．有四个数，前三个成等比数列，且和为19；后三个成等差数列，且和为12.求这四个数.

14．已知{an}为等比数列，若a1+a2+a3=2，a7+a8+a9=8，求a1+a2+a3+…+a3m-2+a3m-1+a3m.

15．（2016  全国III高考）已知数列的前n项和，其中．

（I）证明是等比数列，并求其通项公式；

（II）若 ，求．

16．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1．

（Ⅰ）证明{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；

（Ⅱ）证明：＋＋…＋＜．

【答案与解析】

1. 【答案】　C

【解析】　等比中项.

2. 【答案】C

【解析】由题意可得,所以 ,故 ,选C.

3. 【答案】　D

【解析】　∵，a4＝a3q，

∴，a4＝12q.

∴.即2q2－5q＋2＝0，

∴或q＝2.

或a10＝12×27＝3×29.故选D.

4．【答案】B

【解析】设公比为q，则，∴q=3，则前4项的和为：3+9+27+81=120，故选B.

5．【答案】B

【解析】S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12，……是等比数列，首项为S4=10，公比，

所以S16=10+100+1000+10000=11110，故选B.

6. 【答案】　D

【解析】　由于.故选D.

7．【答案】1

【解析】因为三个正数a，b，c成等比数列，所以，因为b＞0，所以b=1。

8．【答案】，.4

【解析】

9. 【答案】　11

【解析】　am＝a1·a2·a3·a4·a5

＝a15· q1＋2＋3＋4＝a15q10＝a1·q10

∴m＝11.

10. 【答案】　63

【解析】　∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．

又Sn＝48，S2n＝60，∴S3n－S2n＝S3n－60

∴122＝48(S3n－60)

∴S3n＝63.

11.【解析】2(1+q+q2)=26, 解得q=3或q=-4.当q=3时a3=18；当q=-4时, a3=32.

12.【解析】依题意Sn=2n-1,易求得an=2n-1, a1=1且公比为2，可知，，……成等比数列，公比为4.∴++……+==.

13．【解析】依题意设这四个数为y, x-d, x,x+d，

∵后三个数和为12，∴(x-d)+x+(x+d)=12，解得x=4.

又前三个数成等比且和为19，

∴, 解得或，

∴这四个数为9，6，4，2或25，-10，4，18.

14.【解析】

∴，

由A1=a1+a2+a3=2a1(1+q+q2)=2，A2=a4+a5+a6=a1q3(1+q+q2)，

A3=a1q6(1+q+q2)，A1，A2，A3成等比数列，且首项为A1公比为q3，

由前面得q3=±2，

则或.

15．【解析】 （1）由题意得a1=S1=1+λa1，故λ≠1，，a1≠0。

由Sn=1+λan，Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1－λan，即an+1(λ－1)= λan。由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以。

因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是。

（2）由（1）得，由得，即，

解得λ=－1。

16. 证明：（Ⅰ）＝3，

∵≠0，

∴数列{an＋}是以首项为，公比为3的等比数列；

∴an＋＝，即；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

当n≥2时，＜，

∴当n＝1时，成立，

当n≥2时，＋＋…＋＜1＋＝＝．

∴对n∈N＋时，＋＋…＋＜．