巩固练习_正余弦定理在解三角形中的应用_提高

【巩固练习】

一、选择题

1．（2016  新课标Ⅲ文）在中，，BC边上的高等于,则(      )

A.           B.         C.         D.

2．在△ABC中，A＝120°，b＝1，S△ABC＝，则角A的对边的长为(　　)

A.   B.

C.    D.

3. 在中,, ，，则等于 ( )

4. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)

A． B． C． D． 3

5．中，三边a、b、c与面积S的关系式为，则C=（ ）。

 A、         B、        C、         D、

6.在中,的对边分别为,且,，则角的取值范围为(   )  

A.   B.   C.   D.

二、填空题

7.锐角△ABC的面积为，BC＝4，CA＝3，则AB＝________.

8.在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，则角A为________．

9.（2016  抚顺一模）已知的周长为，面积为 ，且，则角C的值为              

10．中三边分别为a,b,c,若则角A的大小________．

11．若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是　　．

三、解答题

12.已知的三角内角、、有2B=A+C，三边、、满足，

求证：.

13.（2015  四川高考文）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA、tanB是关于方程x2＋px－p＋1＝0(p∈R)两个实根.

(I)求C的大小

(II)若AB＝1，AC＝，求p的值

14．在△ABC中，a＋b＝10，cos C的值是方程2x2－3x－2＝0的一个根，求三角形周长的最小值．

15. （2015  北京西城二模数学理）在锐角中，角 所对的边分别为，已知  

（1）求角A的大小；

（2）求的面积。

【答案与解析】

1. 答案：　D

解析：设边上的高线为，则，所以．由正弦定理，知，即，解得  ，故选D.

2. 答案：　C

解析：　由S△ABC＝bcsin A得＝×1×c·sin 120°

∴c＝4

由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A

∴a2＝12＋42－2×1×4cos 120°＝21

∴a＝，故选C.

3. 答案：　B；

解析：∵, ，，   ∴

由余弦定理有，   ∴

由正弦定理有，且，

∴.

4. 答案：C

解析：由题意得，c2＝a2＋b2－2ab＋6，

又由余弦定理可知，c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab，

∴－2ab＋6＝－ab，即ab＝6．

∴S△ABC＝．

故选：C．

5. 答案：　B；

解析：∵ ，∴，

即，  ∴ ， 故

6. 答案：　C ；

解析：∵，∴，∴，即，

又∵，  ∴，∴

故

7. 答案：　

解析：　由三角形面积公式得

×3×4·sin C＝，sin C＝.

又∵△ABC为锐角三角形

∴C＝60°.

根据余弦定理

AB2＝16＋9－2×4×3×＝13.

AB＝.

8. 答案：　45°

 解析：　a2＝b2＋c2－2bccos A，又已知a2＋4S＝b2＋c2，故S＝bccos A＝bcsin A，从而sin A＝cos A，tan A＝1，A＝45°.

9. 答案：

解析：

解得， 

10. 答案：　

解析：由

可得　

∴，由正弦定理得：

又∵

11. 答案：

解析：由正弦定理得a＋b＝2c，

≥，

当且仅当时，取等号，

故答案为：．

12. 解析：

∵且，∴，，

∵, ∴，即，

   又∵， ∴ ，

即 ，

∴，

  ∵ , ∴，即，

故.

13. 解析：

(I)由已知，方程x2＋px－p＋1＝0的判别式

△＝(p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0

所以p≤－2或p≥

由韦达定理，有tanA＋tanB＝－p，tanAtanB＝1－p

于是1－tanAtanB＝1－(1－p)＝p≠0

从而tan(A＋B)＝

所以tanC＝－tan(A＋B)＝

所以C＝60°

(II)由正弦定理，得

sinB＝

解得B＝45°或B＝135°(舍去)

于是A＝180°－B－C＝75°

则tanA＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝

所以p＝－(tanA＋tanB)＝－(2＋＋1)＝－1－

14.解析：　设三角形的另一边是c，

方程2x2－3x－2＝0的根是x＝－或x＝2.

∵cos C≤1，∴cos C＝－.

由余弦定理得

c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－2ab＝(a＋b)2－ab

＝100－ab＝100－a·(10－a)＝100＋a2－10a＝75＋(a－5)2.

要使三角形的周长最小，只要c最小．

∴当a＝5时，c2最小，

∴c最小，c的最小值是＝

∴三角形周长的最小值是10＋.

15. 解析：（1）在中，由正弦定理，

得 即

又因为

解得 因为为锐角三角形，

所以

（2）在中，由余弦定理

得 即

解得 或

当时，因为

所以角B为钝角，不符合题意，舍去；

当时，因为，且

所以为锐角三角形，符合题意。

所以的面积