巩固练习_解三角形应用举例_基础

【巩固练习】

一、选择题

1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4米,,则其跨度AB的长为(  )

A.12米                  B.8米                

 C.米                D. 米 

2.某人向正东方向走了x 千米后，他向右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值为(  )

A.             B.或          　C.          　D.3

3.（2016  河南模拟）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=40 m，并在点C测得塔顶A的仰角为30°。则塔高AB为（    ）m。

A．20       B．       C．    D．40

4.若在测量中，某渠道斜坡的坡度，设为坡角，那么为(　)

A. 　      　B. 　          　C.　　　        D.

5．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)

A． m　　　　　　　　 B． m

C． m   D. m

6．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于(　　)

A．240(－1)m   B.180(－1)m C． 120(－1)m D． 30(＋1)m

填空题

7.（2016  宜宾模拟）如图所示，在海岛A上有一座海拔千米的山峰上，山顶上设有一座观察站P，一般轮船沿一固定方向匀速航行，上午10∶00时，测得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的B处，到10∶10时，又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处，则该船的航行速度为________千米／时。

8. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于　  　m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73)

9. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°．已知山高BC＝100m，则山高MN＝　　m．

解答题

10．如图所示，已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°处，甲船自A以50海里/小时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时，两船之间的距离最短？

11．我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知DC=6000米，∠ACD=45°，∠ADC=75°，目标出现于地面点B处时，测得∠BCD=30°，∠BDC=15°(如图所示)．求炮兵阵地到目标的距离(结果保留根号)．

12．一辑私艇发现在北偏东45°方向，距离12海里的海里上有一走私船正以10海里/小时的速度沿南偏东75°方向逃窜，若辑私艇的速度为14海里，辑私艇沿北偏东 的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需的时间和角的正弦值．

13.（2016  武汉校级模拟）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测。如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC=60°在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒。在A地测得该仪器至最高点H的仰角为30°。

    （1）求A，C两地的距离；

    （2）求这种仪器的垂直弹射高度HC（已知声音的传播速度为340米／秒）

14.如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东的方向航行后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?

15.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？(角度精确到1°，sin 41°＝)

【答案与解析】

1. 【答案】D 

【解析】

2. 【答案】B

【解析】如图所示，设，由余弦定理可得，解之得，故选B

3. 【答案】　B

【解析】∵∠BCD=75°，∠BDC=60°，∴∠CBD=45°，

在△BCD中，由正弦定理得：，即，

解得，又，∴。

故选B。

4.【答案】B

【解析】由坡度为3：4知，由同角的三角函数关系可求.故选B

5．【答案】　A

【解析】　在△ABC中，AC＝50，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°

∴∠ABC＝30°，由正弦定理：

∴AB＝＝m．故选A.

6. 【答案】C

【解析】如图，

由图可知，∠DAB＝15°，

∵

在Rt△ADB中，又AD＝60，

∴DB＝AD•tan15°＝60×(2－)＝120－60．

在Rt△ADB中，∠DAC＝60°，AD＝60，

∴DC＝AD•tan60°＝60．

∴BC＝DC－DB＝60－(120－60)＝120()(m)．

∴河流的宽度BC等于120()m．

故选：C．

7.【答案】

【解析】在Rt△PAB中，∠APB=30°，，∴AB=1。

在Rt△PAC中，∠APC=60°，∴AC=3。

在Rt△ACB中，∠CAB=20°+40°=60°，

∴。

则船的航行速度。

故答案为。

8.【答案】；

【解析】

过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，

则Rt△ACD中，∠C＝30°，AD＝46m

∴．

又∵Rt△ABD中，∠ABD＝67°，可得

∴BC＝CD－BD＝79.58－19.5＝60.08≈60m

故答案为：60m

9. 【答案】150．

【解析】△ABC中，∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，BC＝100，

∴AC＝＝100．

△AMC中，∵∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，

∴∠AMC＝45°，由正弦定理可得，

即 ，解得AM＝100．

Rt△AMN中，MN＝AM•sin∠MAN＝100×sin60°＝150(m)，

故答案为：150．

10.【解析】设航行x小时后甲船到达C点，乙船到达D点，在△BCD中，BC=(100-50x)海里，BD=30x海里()， ∠CBD=60°，由余弦定理得：

∴当(小时)时，CD2最小，从而得CD最小

∴航行小时，两船之间距离最近．

11．【解析】在△ACD中，∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=60°

CD=6000，∠ACD=45°

根据正弦定理有，

同理，在△BCD 中，∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°

CD=6000，∠BCD=30°

根据正弦定理有，

又在△ABD中，∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°，

根据勾股定理有

所以炮兵阵地到目标的距离为 米．

12. 【解析】如图所示，A、C分别表示辑私艇，走私船的位置，设经x小时后在B处追上．

则AB=14x，BC=10x，∠ACB=120°

由得x=2.

故AB=28，BC=20

即所需时间2小时，为.

13. 【解析】（1）由题意，设AC=x，则

∵在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒

∴，

在△ABC内，由余弦定理：BC2=BA2+CA2－2BA·CA·cos∠BAC，

即(x―40)2=x2+10000―100x，解得x=420。

答：A，C两地的距离为420米。

（2）在△ACH中，AC=420，∠CAH=30°，

∴米。

答：该仪器的垂直弹射高度CH为米。

14、【解析】在中， ，

根据余弦定理，

 根据正弦定理, ，

有，

∵  ∴

所以 ，

答:此船应该沿北偏东的方向航行,需要航行

15.【解析】　连结BC，由余弦定理得

BC2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700.

于是，BC＝

∵，∴sin∠ACB＝，

∵∠ACB<90°，∴∠ACB≈41°，

∴乙船应朝北偏东约41°＋30°＝71°的方向沿直线前往B处救援．