B 知识讲解练习题

这是一份B 知识讲解练习题，共10页。
正弦定理编稿：张希勇　　　审稿：李霞　　【学习目标】1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题；（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）. 【要点梳理】要点一、学过的三角形知识1.中（1）一般约定：中角A、B、C所对的边分别为、、；（2）；（3）大边对大角，大角对大边，即；     等边对等角，等角对等边，即；（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，.2.中，，（1），（2）（3），，；，，要点二、正弦定理及其证明正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：直角三角形中的正弦定理的推导证明：，  ，  ，即：，，， ∴．斜三角形中的正弦定理的推导证明：法一：向量法（1）当为锐角三角形时过作单位向量垂直于，则+= 两边同乘以单位向量，得(+)=，即∴，∵，，，，，∴，   ∴，同理：若过作垂直于得：  ∴，（2）当为钝角三角形时 设，过作单位向量垂直于向量，同样可证得：．法二：构造直角三角形（1）当为锐角三角形时如图，作边上的高线交于，则:在中, ，即，在中, ,即,∴，即.同理可证∴（2）当为钝角三角形时如图，作边上的高线交于，则:在中, ，即，在中, ,即,∴，即.同理可证∴法三：圆转化法（1）当为锐角三角形时如图，圆O是的外接圆，直径为，则，∴，∴（为的外接圆半径）同理：，故：（2）当为钝角三角形时 如图，.法四：面积法任意斜中，如图作，则同理：，故，两边同除以即得：要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明（为的外接圆半径）；（3）每个等式可视为一个方程：知三求一。  （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。要点三、解三角形的概念一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角.在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角.要点四、正弦定理在解三角形中的应用利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；要点诠释：已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况；(1)若A为锐角时：如图：(2)若A为直角或钝角时：判断三角形形状判断三角形形状的思路通常有以下两种：（1）化边为角；（2）化角为边.对条件实施转化时，考虑角的关系，主要有：(1)两角是否相等？(2)三个角是否相等？（3）有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：（1）两边是否相等？（2）三边是否相等要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解.【典型例题】类型一：正弦定理的简单应用：【高清课堂：正弦定理 例1】例1．已知在中，，，，求和B.【解析】，   ∴，∴ ，又，∴．【总结升华】1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.■举一反三：【变式1】中，，BC＝3，则的周长为（  ）A． B．C．  D．【答案】由正弦定理得：，   得b＋c＝[sinB＋sin(－B)]＝．故三角形的周长为：3＋b＋c＝，故选D．【总结升华】由于本题是选择题也可取△ABC为直角三角形时，即B＝，周长应为3＋3，故排除A、B、C．而选D．【变式2】在中，已知，，，求、.【答案】，根据正弦定理，∴.【变式3】（2016  岳阳校级模拟改编）在中，A:B:C=1:2:3,则a:b:c等于（     ） 【答案】在中，若，又       所以.       由正弦定理可知： 。  . 例2．在，求：和，．【解析】由正弦定理得：，∴，（方法一）∵，  ∴或，当时，，（舍去）；当时，，∴．（方法二）∵，，  ∴，  ∴即为锐角，  ∴，∴．【总结升华】1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。2. 在利用正弦定理求角时，因为，所以要依据题意准确确定角的范围，再求出角.3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.举一反三：【高清课堂：正弦定理 例3】【变式1】在中，， ，，求和．【答案】∵，  ∴，∵，   ∴或∴当时，，；∴当时，，；所以，或．【变式2】在中，，, , 求.【答案】由正弦定理，得.∵,   ∴，即 ∴类型二：正弦定理的综合运用例3. （2015  湖南高考）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且B为钝角。(1)证明：（2）求的取值范围。【答案】（1）详见解析；（2）（，].【思路点拨】（1）利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为sinB=sin（+A），从而得证；（2）利用（1）中的结论，以及三角恒等变形，将转化为只与有关的表达式，再利用三角函数的性质即可求解.【解析】（1）由a=btanA及正弦定理，得,所以sinB=cosA，即sinB=sin（+A）.又B为钝角，因此+A（，A），故B=+A，即B-A=；（2）由（I）知，C=-（A+B）=-(2A+)=-2A>0，所以A，于是sinA+sinC=sinA+sin（-2A）= sinA+cos2A=-2A+sinA+1 =-2（sinA-）+，因为0<A<,所以0<sinA<,因此<-2由此可知sinA+sinC的取值范围是（，].【总结升华】本题主要考查正弦定理、三角恒等变换及三角函数的性质等基础知识，考查综合运用知识解决问题的能力。举一反三：【变式1】（2015  新课标Ⅱ文）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.（I）求 ；（II）若,求.【答案】（Ⅰ）由正弦定理得 因为AD平分∠BAC，BD=2DC，所以    （Ⅱ）因为∠C=180°－(∠BAC+∠B)，∠BAC=60°，    所以 由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，所以，∠B=30°.【变式2】（2016  浙江文）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c=2acos B．（Ⅰ）证明：A=2B；（Ⅱ）若cos B=，求cos C的值．【答案】 （1）由正弦定理得，故，于是，，又，故，所以或，因此，（舍去）或，所以，.（2）由，得，，故，，.【高清课堂：正弦定理 例5】【变式3】 在△ABC中，c= ，∠C=30°,求a+b的最大值。【答案】因为    所以∠A+∠B=180°－∠C=150°，从而所以a+b的最大值为 类型三：利用正弦定理判断三角形的形状例4.在中，若试判断的形状。【解析】由已知条件及正弦定理可得，为三角形的内角，，，或，所以为等腰三角形或直角三角形。【总结升华】已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。【变式】在△ABC中，试判断三角形的形状【答案】利用正弦定理将边转化为角.∵又 ∴∴ ∴∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π∴  即故此三角形是等腰三角形.