巩固练习_余弦定理_基础

【巩固练习】

一、选择题

1．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝＝12，则c的值为(　　)

A．4　　　　　　　　　　　 B．8

C．4或8   D．无解

2．（2016  山东文）中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知,则A=（     ）K]

A.         B.           C.         D.

3．在不等边三角形中，a是最大的边，若a2<b2＋c2，则角A的取值范围是(　　)

A.  B.

C.    D.

4．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝，且∠A＝75°，则b＝(　　)

A．2   B．4＋2

C．4－2   D.

5.在△ABC中，若则△ABC中最大角的度数为（  ）

A．120o   B．90o

C．600  D.150o

6．(2016  衡水校级一模)中三边上的高依次为,则为(       ) 

A.锐角三角形                          B.直角三角形

C.钝角三角形                           D.不存在这样的三角形

二、填空题

7．（2015 重庆文）设的内角A，B，C的对边分别为,且,则c=________.

8．(2015 北京)在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则        ．

9．在中，若，则的大小是___________.

三、解答题

10．在中，若，求.

11. 在中，A=120O ,AB=5,BC=7,求AC

12.（2016  北京理）在ABC中，.

（1）求 的大小；

（2）求 的最大值.

13. 在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cos A＝.若a＝4，b＋c＝6，且b<c，求b、c的值．

14.在△ABC中，已知sin C＝，试判断三角形的形状．

15. (2015  新课标Ⅰ文) 已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC.

（Ⅰ）若a=b，求cosB；

（Ⅱ）若B=90°，且 求△ABC的面积.

【答案与解析】

1. 答案：　C

 解析：　由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.

2. 答案：　C

解析：由余弦定理得:

因为 所以,因为 ,所以,又,所以,故选:C.   

3. 答案：　B

解析：　根据余弦定理：，∴A为锐角．

∵在不等边三角形中，a是最大边，∴A是最大角，

∴△ABC为锐角三角形，∴<A<.

4. 答案：　A

解析：　△ABC中，易知∠B＝30°，由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac·cos 30°，

∴

=4

∴b＝2.

5. 答案：　A

解析：　∵c>a>b,故C最大，cosC=

∴A=120 o

6. 答案：　C

解析：设三边分别为a,b,c,,所以

设

因为，故能构成三角形，取大角A,

所以A为钝角，所以为钝角三角形。

7. 答案：4

解析：由及正弦定理知：3a=2b,又因为a=2,所以b=3；

由余弦定理得：，所以c=4;

故填：4.

8. 答案：1

解析：由余弦定理可得．

由正弦定理和二倍角公式可得，

．

故答案为：1

9.解析：abc＝578设a＝5k，b＝7k，c＝8k，

由余弦定理可解得的大小为.

10.解析：∵，  

∴由余弦定理的推论得：

∵，

∴.

11. 解析：得

即解得，AC=3或AC=-8(舍)

12. 解析：

(1)由余弦定理及题设得

又, ;

(2)由(1)知

，因为，所以当时，取得最大值.

13. 解析：　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，

即a2＝(b＋c)2－2bc－2bccos A，

∴16＝36－bc，∴bc＝8.

由可求得

14. 解析：　∵sin C＝，

由正弦定理得c(cos A＋cos B)＝a＋b，

再由余弦定理得，

c·＋c·＝a＋b，

∴a3＋a2b－ac2－bc2＋b3＋ab2＝0，

∴(a＋b)(c2－a2－b2)＝0，∴c2＝a2＋b2，

故三角形为直角三角形.

15. 解析：

（Ⅰ）由题设及正弦定理可得b2=2ac，

又a=b，可得b=2c，a=2c.

由余弦定理可得. 

（Ⅱ）由（Ⅰ）知b2=2ac，

因为B=90°，由勾股定理得a2+c2=b2.

故a2+c2=2ac，得.

所以△ABC的面积为1.