知识讲解_余弦定理_提高练习题

余弦定理

编稿：张希勇　　　审稿：李霞

【学习目标】

1.掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法；

2.熟记余弦定理及其变形形式，会用余弦定理解决两类基本解三角形问题；

3.通过三角函数，余弦定理，向量的数量积等知识间的联系，理解事件之间的联系与辨证统一的关系.         

【要点梳理】

要点一、学过的三角形知识

1.中

（1）一般约定：中角A、B、C所对的边分别为、、；

（2）；

（3）大边对大角，大角对大边，即；

     等边对等角，等角对等边，即；

（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，.

2.中，，

（1），

（2）

（3），，；

，，

要点诠释：初中讨论的三角形的边角关系是解三角形的基本依据

要点二、余弦定理及其证明

三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即：

余弦定理的推导

已知：中，，及角，求角的对应边.

证明：

方法一：向量法

（1）锐角中（如图），

 ∵，

∴

即：        (*)

同理可得：,

要点诠释：

（1）推导（*）中，与的夹角应通过平移后得到，即向量的起点应重合，因此与的夹角应为，而不是.

（2）钝角三角形情况与锐角三角形相同。

（3）对于直角三角形中时，, ，也满足余弦定理。

方法二：几何法

（1）当为锐角三角形时

如图，作边上的高

根据勾股定理有：，，

∵中，，

∴

      =

    即：.

（2）当为钝角三角形且C为钝角时

如图，作边上的高   

根据勾股定理有：，.

∵中，，

∴

即：仍然成立。

（3）在直角中，当时，, ，也满足余弦定理。

方法三：解析几何方法——利用两点间距离公式

这里我们只讨论锐角三角形的情形，对于直角三角形和钝角三角形的情形的讨论相同。

如图所示建立坐标系.

则点，，

由、两点间的距离可知，

即

整理得到.

余弦定理的变形公式：

要点三、利用余弦定理解三角形

1.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：

    ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；

    ②已知三角形的三条边，求其三个角。

要点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.

2.解斜三角形的基本问题：

要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解。

4、判断三角形形状

余弦定理、正弦定理与三角形中的三角变换结合在一起，运用三角函数的变换公式进行三角函数式的变形转化，在三角形中，解决有关含有边角关系的问题时，可以运用余弦定理完成边角互化，通过变形转化成三角形三边之间的关系，判断三角形的形状.

判断三角形形状有两条思考路线：其一是化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式；其二是化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式，两种转化主要应用正弦定理和余弦定理.

【典型例题】

类型一：余弦定理的简单应用：

例1．（2016  凉山州模拟改编）在中，角所对的三边长分别为，若，求中最大的角．

【思路点拨】已知三角形三边或三边的比例，一般首先考虑用余弦定理。

【解析】设，，，，边c对应的角最大

根据余弦定理得：，

∵，

【总结升华】

1.中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；

2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.

举一反三：

【变式1】已知中, , , 求角.

【答案】根据余弦定理：，

∵，    ∴

【变式2】（2016  兰州模拟）已知中，角A,B,C的对边分别是,若，则   

=          

【答案】

，则

【高清课堂：余弦定理 题一】

【变式3】在中，若，则角等于（  ）.

A.    B.     C.    D. 或 

【答案】∵， ∴

∵，   ∴

类型二：余弦定理的综合应用

例2．（2015  天津高考文）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为，b－c=2，.

（Ⅰ）求a和sinC的值；

（Ⅱ）求的值.

【答案】（Ⅰ）8  （Ⅱ）

【思路点拨】本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.

【解析】

（Ⅰ）在△ABC中，由，可得.由，得bc=24，又b－c=2，解得b=6，c=4.

由a2=b2+c2－2bc cosA，可得a=8.

由，得.

（Ⅱ）

【总结升华】熟练掌握正余弦定理，综合运用正弦定理和余弦定理实现边角之间的转化。

举一反三：

【变式1】(2015  安徽高考理) △ABC中，，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长。

【答案】设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c；

由余弦定理得

＝18+36-(-36)＝90，

所以．

又由正弦定理得，由题设知，

所以．

在△ABD中，由正弦定理得．

【变式2】在中，已知，，，求及.

【答案】

⑴由余弦定理得：

=

=

=

∴

⑵求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

（法一：余弦定理）

∵，

∴

（法二：正弦定理）

∵

又∵，

∴＜，即＜＜

∴

【变式3】在中，已知角所对的三边长分别为，若，，，求角和

【答案】根据余弦定理可得：

 ∵，   ∴   ；

∴由正弦定理得：.

类型三：判断三角形的形状

例3．在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC,  试判断该三角形的形状．

【思路点拨】

本题可以用正弦定理、余弦定理化简成单一的边的关系，然后判断.

【解析】由正弦定理及余弦定理，得

，

所以

整理得，

因为

所以，因此△ABC为等腰三角形

【总结升华】已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式.

举一反三：

【变式1】在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状是______．

【答案】等腰三角形

【解析】　由题设和正、余弦定理得2×＝，

化简得a2－b2＝0，即a＝b.

【高清课堂：余弦定理 题六】

【变式2】 三角形ABC中满足下列条件 ；试判断三角形的形状.

【答案】利用余弦定理得，化简得，所以三角形为等腰三角形.