知识讲解_等比数列及其前n项和_基础练习题

等比数列及其前n项和

编稿：张希勇      审稿：李霞 

【学习目标】

1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念；掌握等比数列的通项公式及推导；

2.掌握等比数列的性质和前n项和公式及公式证明思路；会用它们灵活解决有关等比数列的问题；

3.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；

4.了解等比数列与指数函数的关系.

【要点梳理】

要点一、等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：.

要点诠释：

①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q可不能是0；

②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；

③隐含条件：任一项且；“”是数列成等比数列的必要非充分条件；

④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列。不为0的常数列是公比为1的等比数列；

⑤证明一个数列为等比数列，其依据.利用这种形式来判定，就便于操作了.

要点二、等比中项

如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项.其中。

要点诠释：

①只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项. 当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项。

②任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一. 但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一。

③当时，、、成等比数列。

④是、、成等比数列的必要不充分条件。

要点三、等比数列的通项公式

等比数列的通项公式

首相为，公比为的等比数列的通项公式为：

推导过程：

（1）归纳法：

根据等比数列的定义可得：

∴；

；

；

……

当n=1时，上式也成立

∴归纳得出：

（2）叠乘法：

根据等比数列的定义可得：

，

，

，

……

，

 把以上个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），并化简得：，即

又a1也符合上式

∴.

(3)迭代法：

∴.

要点诠释：

①通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了.

②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量.

等比数列的通项公式的推广

已知等比数列中，第项为，公比为，则：

证明：∵，

      ∴

      ∴

由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况。

要点四、等比数列的前n项和公式

1等比数列的前n项和公式

推导过程：

（1）利用等比性质

由等比数列的定义，有

根据等比性质，有

∴当时，或.

（2）错位相减法

等比数列的前n项和，

①当时，，；

②当时，由得：

∴或.

即

要点诠释：  

①错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，适用于一个等差数列和一个等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法.

②在求等比数列前项和时，要注意区分和.

③当时，等比数列的两个求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量.

要点五、等比数列的性质

设等比数列的公比为

①若，且,则，

特别地，当时.

②下标成等差数列且公差为的项,,,…组成的新数列仍为等比数列，公比为.

③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、(,是常数)、、也是等比数列；

④连续项和（不为零）仍是等比数列.即,,，…成等比数列.

要点六、等比数列中的函数关系

等比数列中，，若设,则：

（1）当时，，等比数列是非零常数列。它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点.

（2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线（）上的一些孤立的点.

①当且时，等比数列是递增数列；

②当且时，等比数列是递减数列；

③当且时，等比数列是递减数列；

④当且时，等比数列是递增数列。

（3）当时，等比数列是摆动数列。

要点诠释：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列.

【典型例题】

类型一：等比数列的定义

【高清课堂：等比数列及其前n项和381054 典型例题例1】

例1．设是公比为的等比数列，，

令    ，

若数列有连续四项在集合中，

则

【答案】9

【解析】由题知有连续的四项在集合中，则必有-54，-24为相隔两项，

又∵

∴，

∴

【总结升华】此例中要注意等比数列项的特征，找到关键的两项，问题就可迎刃而解了.

举一反三：

【变式】如果成等比数列，那么（   ）

A.                        B.

C.                       D.

【答案】B

例2.已知数列的首项为……，

【思路点拨】本题的变形中要有极强的目标意识。

证明：数列是等比数列.

【解析】由得，

∴又

∴数列是首项为，公比为的等比数列.

【总结升华】证明一个数列为等比数列，要紧扣定义，这里是采用了转化与化归的策略.

举一反三：

【变式】已知数列中

判断数列是等比数列，并说明理由

【答案】是等比数列

∵

∴，

∴数列是首项为2，公比为-2的等比数列

类型二：等比数列通项公式的应用

例3．已知等比数列，若，，求.

【思路点拨】等比数列的计算，一般优先考虑使用性质，使计算简捷。

【解析】或；

法一：∵，∴，∴

从而解之得，或，

当时，；当时，。

故或。

法二：由等比数列的定义知，

代入已知得

将代入（1）得，

解得或

由（2）得或  ，以下同方法一

【总结升华】

①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；

②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.

举一反三：

【变式1】{an}为等比数列，a1=3，a9=768，求a6。

【答案】±96

法一：设公比为q，则768=a1q8，q8=256，∴q=±2，∴a6=±96；

法二：a52=a1a9a5=±48q=±2，∴a6=±96。

【变式2】{an}为等比数列，an＞0，且a1a89=16，求a44a45a46的值。

【答案】64；

∵，又an＞0，∴a45=4

∴。

类型三：等比数列的前n项和公式

例4．求等比数列的前6项和。

【答案】；

【解析】∵，，

∴

【总结升华】等比数列中中的“知三求二”主要还是运用方程的思想解决.

举一反三：

【变式1】（2015  安徽卷）已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a4＝9，a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于________．

【答案】

由②式得代入①式

得a1＝1，q＝2

∴ 

【变式2】在等比数列中，，，，求和。

【答案】或2，；

∵，∴

解方程组，得  或

①将代入，得，

由，解得；

②将代入，得，

由，解得。

∴或2，。

【变式3】（2016  新课标Ⅰ文）已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足.

（1）求{an}的通项公式；

（2）求{bn}的前n项和.

【答案】（1）由已知，a1b2+b2=b1，b1=1，，得a1=2，所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an=3n－1。

    （2）由（1）和anbn+1+bn+1=nbn得，因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列。记{bn}的前n项和为Sn，则。

类型四：灵活运用等比数列的性质

例5.在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________。

【答案】216；

【思路点拨】等比数列的计算，一般优先考虑使用性质，如果不宜用性质，则回归为基本量a1、q的问题，列出a1、q的方程组。

【解析】

法一：设这个等比数列为，其公比为，

∵，，∴，

∴。

法二：设这个等比数列为，公比为，则，，

加入的三项分别为，，，

由题意，，也成等比数列，∴，故，

∴

【总结升华】法一注重了等比数列中的特征量q的求解，；法二中注重了等比中项的特征.

举一反三：

【变式1】等比数列中，若,求.

【答案】 10

∵是等比数列，∴

∴

【变式2】若等比数列满足，则公比为（  ）

（A）2            （B）4         （C）8          （D）16

【答案】B

类型五：等比数列前n项和公式的性质

例6．已知等比数列的前n项和为Sn, 且S10=10, S20=40,求：S30=？

【思路点拨】

等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，……，第n个k项和仍然成等比数列。

【答案】130；

【解析】

法一：S10，S20-S10，S30-S20构成等比数列，∴(S20-S10)2=S10·(S30-S20)

即302=10(S30-40),∴S30=130.

法二：∵2S10≠S20，∴,

∵,,

∴∴,∴

∴ .

【总结升华】性质的应用有些时候会更方便快捷.

举一反三：

【变式1】等比数列中，公比q=2, S4=1,则S8=___________.

【答案】17；

S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1×(1+24)=17

【变式2】在等比数列中，已知，，求。

【答案】63

【变式3】等比数列中，若a1+a2=324, a3+a4=36, 则a5+a6=_____________.

【答案】4；

令b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q),

易知：b1, b2, b3成等比数列，∴b3===4,即a5+a6=4.

【变式4】等比数列中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。

【答案】448；

∵{an}是等比数列，∴(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,∴q3=8, 

∴a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=56×8=448.

类型五：等差等比数列的综合应用

例7．已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.

【思路点拨】

恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.

【解析】

法一：设成等差数列的三数为a-d, a,a+d.

则a-d, a, a+d+32成等比数列，a-d, a-4, a+d成等比数列.

∴

由(2)得a=...........(3)

由(1)得32a=d2+32d ..........(4)

(3)代(4)消a，解得或d=8.

∴当时,；当d=8时,a=10

∴原来三个数为,,或2,10,50.

法二：设原来三个数为a, aq, aq2，则a, aq,aq2-32成等差数列，a, aq-4, aq2-32成等比数列

∴

由(2)得，代入(1)解得q=5或q=13

当q=5时a=2；当q=13时.

∴原来三个数为2，10，50或，,.

【总结升华】选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d, a, a+d；若三数成等比数列，可设此三数为，x, xy。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比q来解决问题反而简便。

举一反三：

【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.

【答案】为2，6，18或；

【变式2】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.

【答案】0，4，8，16或15，9，3，1；

设四个数分别是x,y,12-y,16-x

∴

由(1)得x=3y-12，代入(2)得144-24y+y2=y(16-3y+12)

∴144-24y+y2=-3y2+28y, ∴4y2-52y+144=0,

∴y2-13y+36=0, ∴ y=4或9，

∴ x=0或15，

∴四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.

【高清课堂：等比数列及其前n项和381054 典型例题例2】

【变式3】已知是各项均为正数的等比数列，且，

，

(1)求的通项公式.

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)由题中条件可得

解得：

∴数列的通项为

（2）由（1）知数列的通项为，

∴

∴

例8. (2015  北京)已知等差数列{an}满足，．

（Ⅰ）求{}的通项公式；

（Ⅱ）设等比数列{}满足，，问：与数列{}的第几项相等？

【思路点拨】第一问，利用等差数列的通项公式，将转化成和，解方程得到和的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到和的值，再利用等比数列的通项公式，将和转化为b1和q，解出b1和q的值，得到的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n的值，即项数．

【答案】（1）an=4+2(n－1)=2n+2；（2）与数列{}的第63项相等．

【解析】（Ⅰ）设等差数列{}的公差为d．

因为，所以d=2．

又因为，所以，故=4．

所以an=4+2(n－1)=2n+2(n=1，2，…)．

（Ⅱ）设等比数列{}的公比为q．

因为，，

所以q=2，b1=4．

所以=4×26－1=128．

由128=2n+2，得n=63．

所以与数列{}的第63项相等．