知识讲解_解三角形应用举例_基础练习题

解三角形应用举例

编稿：张希勇     审稿：李霞

【学习目标】

1.能够利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题；

2.提高运用所学知识解决实际问题的能力，并初步掌握数学建模的思想方法；

3.掌握运用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题的方法.

【要点梳理】

要点一、解三角形应用题的步骤

解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确.其解题的一般步骤是：

(1)准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；

(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；

(3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；

(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题.

要点诠释：

要点二、解三角形应用题的基本思路

实际问题     画图     数学问题     解三角形    数学问题的解     检验     实际问题的解

要点三、实际问题中的一些名词、术语

仰角和俯角

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：

坡角和坡度

坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。

方位角与方向角：

方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。方位角的取值范围为0°～360°。

如图，点的方位角是。

方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度。

如图为南偏西方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转）；

如图为北偏东方向（指从正北开始向正东方向旋转）.

东南方向：指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等；

要点四、解三角形应用中的常见题型

正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：

1.测量距离问题：这类问题的情景一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”，在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度.

2.测量高度问题：这类问题的情景属于“测量底（顶）部不能到达的物体的高度”.测量过程中，要注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度.

3.测量角度问题：这类问题的情景属于“根据需要，对某些物体定位”.测量数据越精确，定位精度越高

【典型例题】

类型一：距离问题

例1. 如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．

(1)设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)？

(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α＝38.12°，β＝18.45°，求CD的长(结果精确到0.01米)．

【答案】(1) 28.28米.(2) 26.93米.

【思路点拨】

(1)这是一道关于求两点之间的距离问题。题目条件告诉了边AC、CB的长以及以A、C为顶点的两个角，根据正切函数的定义及性质得到一个关于x的不等式，解之得到CD的长度。（2）根据三角形的内角和定理和正弦定理，解得CD的长。

【解析】(1)设CD的长为x米，则tanα＝，tanβ＝，

∵，

∴tanα≥tan2β，

∴，

即，

解得0，

即CD的长至多为28.28米．

(2)设DB＝a，DA＝b，CD＝m，

则∠ADB＝180°－α－β＝123.43°，

由正弦定理得，

即，

∴，

答：CD的长为26.93米．

【总结升华】

1. 此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来.

2. 解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：

（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。

（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。

3. 在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。

举一反三：

【变式】为了开凿隧道，要测量隧道上间的距离，为此在山的一侧选取适当点，如图，测得，又测得两点到隧道口的距离，在一条直线上)，计算隧道的长.

【答案】在△中，，由余弦定理得

∴

∴.

答：隧道长约为409.2 m.

类型二：高度问题

【高清课堂：解三角形应用举例377493 例2】

例2.某人在塔的正东沿着南偏西的方向前进40米后，望见 塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为，求塔高.

【思路点拨】画出空间图形后，先寻找可解的三角形，进而解目标所在三角形。

【解析】如图所示，过B做于点E,由题意知在E点测得塔的最大仰角，在

.由正弦定理，得

∴

在中，

∴

在中，∴（米）

故所求塔高为米

【总结升华】 注意仰角的概念。

举一反三：

【变式1】(2015  湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=_________m.

【答案】.

【解析】

在△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=75°－30°=45°，

根据正弦定理知，，

即，

所以，故应填.

【变式2】（2016  中山市模拟）如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC=15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC=45°，根据以上数据可得cosθ=________。

【答案】∵∠DAC=15°，∠DBC=45°，∴∠ADB=30°，

在△ABD中，由正弦定理得，即，

∴。

在△BCD中，由正弦定理得，即，

∴。

∴。

故答案为：。

【变式3】在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。

【答案】

方法一：用正弦定理求解

由已知可得在ACD中，AC=BC=30， AD=DC=10，ADC =，

 因为sin4=2sin2cos2，∴,得

∴在RtADE中，AE=ADsin60=15

答：所求角，建筑物高度为15m。

方法二：设方程来求解

设DE= x，AE=h

在RtACE中,(10+ x) + h=30

在RtADE中,x+h=(10)

两式相减，得x=5,h=15

∴在RtACE中,tan2==

∴

答：所求角，建筑物高度为15m。

方法三：用倍角公式求解

设建筑物高为AE=8，

由题意，得BAC=，CAD=2，

AC=BC=30m ,AD=CD=10m

在RtACE中，sin2=   -------- ①

在RtADE中，sin4=--------- ②

②① 得cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15

答：所求角，建筑物高度为15m。

类型三：角度问题

例3.甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？

【思路点拨】

（1）要弄清方位角的概念，

（2）画出示意图很关键，同时还要设好未知数，标注出来。

【解析】设经过x小时后，甲船和乙船分别到达C,D两点

此时,甲、乙两船相距最近

【总结升华】在解决测量问题的有关题目时，要搞清方位角、俯角、与仰角等的含义，合理构造三角形求解，即把实际问题数学化.

举一反三：

【变式1】（2016  益阳模拟）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处。在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是（    ）

A．海里    B．海里    C．海里    D．海里

【答案】如图，已知可得，∠BAC=30°，∠ABC=105°，

AB=2，从而∠ACB=45°。

在△ABC中，由正弦定理，

得。

故选A。

【变式2】如图示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(       )

A.          B.       C.        D.

【答案】B    

【高清课堂：解三角形的应用举例377493 例3】

【变式3】如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为()km的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A为2 km的C处的缉私船奉命以km/h的速度追截走私船.此时走私船正以10km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间.

【解析】设缉私船追上走私船需，则，.

由余弦定理，得

    ，

由正弦定理，得，

∴，而，

∴

∴，.

∴，即，∴

答：缉私船向东偏北方向，只需便能追上走私船.