知识讲解_基本不等式_提高练习题

基本不等式

编稿：张希勇     审稿：李霞

【学习目标】

1. 理解基本不等式的内容及其证明.

2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题.

【要点梳理】

要点一：基本不等式

1.对公式及的理解.

（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；

（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.

2.由公式和可以引申出常用的常用结论

①（同号）；

②（异号）；

③或

要点诠释： 可以变形为：，可以变形为：.

要点二：基本不等式的证明

方法一：几何面积法

如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.

设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.

得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）

特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：

如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.

通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）

方法二：代数法

   ∵，

当时，；

当时，.

所以，（当且仅当时取等号“=”）.

要点诠释：

特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：

如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.

通常我们把上式写作：

如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.

要点三：基本不等式的几何意义

如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.

易证，那么，即.

这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.

要点诠释：

1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

要点四：用基本不等式求最大（小）值

在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.

① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；

② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.

要点诠释：

1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.如是成立的，而是不成立的.

2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.

当a=b取等号，其含义是；

仅当a=b取等号，其含义是.

综合上述两条，a=b是的充要条件.

3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.

4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：

①各项都是正数；

②和（或积）为定值；

③各项能取得相等的值.

5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：

①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

③在定义域内，求出函数的最大或最小值；

④写出正确答案.

【典型例题】

类型一：对公式及的理解

例1. ，，给出下列推导，其中正确的有       .

（1）的最小值为；

（2）的最小值为；

（3）的最小值为.

【思路点拨】

利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）∵，，∴（当且仅当时取等号）.

（2）∵，，∴（当且仅当时取等号）.

（3）∵，∴，

（当且仅当即时取等号）

∵，与矛盾，∴上式不能取等号，即

【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一“正”二“定”三“取等”，缺一不可.

举一反三：

【变式1】下列结论正确的是(　　)

A．当x>0且x≠1时，

B．当x>0时，

C．当x≥2时，的最小值为2

D．当0<x≤2时，无最大值

【答案】　B

【变式2】（2016  上海模拟）已知函数，（a＞0），x∈（0，b），则下列判断正确的是（    ）

    A．当时，f（x）的最小值为

B．当时，f（x）的最小值为

C．当时，f（x）的最小值为

D．对任意的b＞0，f（x）的最小值均为

【答案】∵，

∴当时，，

当且仅当，即时取等号；

当，y=f（x）在（0，b）上单调递减，

∴，故f（x）不存在最小值；

故选A。

类型二：利用基本不等式证明不等式

例2. 已知、、都是正数，求证：

【思路点拨】要把基本不等式和不等式左右两边的结构形式一起来考虑。

【解析】∵、、都是正数

∴ （当且仅当时，取等号）

（当且仅当时，取等号）

（当且仅当时，取等号）

∴（当且仅当时，取等号）

即.

【总结升华】

1. 在运用时，注意条件、均为正数，结合不等式的性质，进行变形.

2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.

3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.

举一反三：

【变式】已知、都是正数，求证：.

【答案】∵、都是正数，∴，，，，，

（当且仅当时，取等号）

（当且仅当时，取等号）

（当且仅当时，取等号）

∴

（当且仅当时，取等号）

即.

例3.已知，求证:

【思路点拨】

对于“和”式求最小值时，要设法配凑得“积”为定值，常采用“配分母”的办法.

【解析】

（当且仅当即,等号成立）.

【总结升华】注意凑出条件，再利用基本不等式证明.

举一反三：

【变式1】已知、都是正数，求证：.

【答案】∵、都是正数 ，∴，，

∴（当且仅当即时,等号成立）

故.

【高清课堂：基本不等式392186 例题3】

【变式2】已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：.

【答案】证明：　∵a＞0，b＞0，c＞0，

∴，

，

.

∴.

类型三：利用基本不等式求最值

例4.  求函数()的最小值.

【思路点拨】

本题采用“配分母”的办法，所以整式部分一定应为（x-5）的倍数.

【解析】∵，∴

∴

（当且仅当即时，取等号）

故当时，函数()的最小值为32.

【总结升华】

1. 形如（，，）的函数的最值可以用基本不等式求最值；

2. 利用基本不等式求最值时,应注意“一正”，“二定”，“三相等”的条件.

举一反三：

【变式1】已知，当取什么值时，函数的值最小？最小值是多少？

【答案】∵，∴，∴

（当且仅当即时，取等号）

 故当时，的值最小为18.

【变式2】已知，求的最大值.

【答案】∵，∴，

       ∴（当且仅当，即时，等号成立）

∴（当且仅当，即时，等号成立）

故当时，的最大值为4.

例5. 已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值.

【思路点拨】

要求的最小值，根据基本不等式，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请认真体会.

【解析】

方法一：∵，∴

∵x＞0，y＞0，∴

（当且仅当，即y=3x时，取等号）

又，∴x=4，y=12

∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16.

方法二：由，得

∵x＞0，y＞0，∴y＞9

∵y＞9，∴y－9＞0，

∴

（当且仅当，即y=12时，取等号，此时x=4）

∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16.

【总结升华】方法一是求条件最值时常用的方法，方法二用了消元的方式化为函数的最值来求.

举一反三：

【高清课堂：基本不等式392186 例题1】

【变式1】已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则的最小值为________；

【答案】

【变式2】(2015  福建文)若直线过点(1，1)，则a+b的最小值等于(    )

A．2    B．3   C．4   D．5

【答案】 由已知得，

则，

因为a＞0，b＞0，所以

因为a＞0，b＞0，所以

故a+b≥4，当，即a=b=2时取等号．

例6.已知，

（1）若,求的最小值；

（2）若,求的最大值.

【解析】（1）

方法一：∵且,

∴，即（当且仅当时取等号）

∴，的最小值为4.

方法二：∵且,

∴，即（当且仅当时取等号）

∴，的最小值为4.

（2）

方法一：∵，∴，即（当且仅当时取等号）

∴，的最大值为4.

方法二：∵，∴，（当且仅当时取等号）

∴，的最大值为4.

方法三：∵，，

∴（当且仅当时取等号）

∴，的最大值为4.

【总结升华】

1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若，且，为定值，则，等号当且仅当时成立.

2. 两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若，且，为定值，则，等号当且仅当时成立.

举一反三：

【变式1】已知，，，求的最小值.

【答案】∵，，，

∴由（等号当且仅当时成立）

故当时，的最小值为6.

【变式2】已知，，，求的最大值.

【答案】

解法一：∵，，，

∴

（当且仅当即时，等号成立）

故当时，的最大值为16.

解法二：∵，，，

即，可得，（当且仅当时，等号成立）

故当时，的最大值为16.

类型四：利用基本不等式解应用题

例7. 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为、(单位：)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为. 问、分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?

【解析】由题意可得，

∴.

于是，框架用料长度为

.

当，即时等号成立.

此时，，.

故当约为2.343 m，约为2.828 m时用料最省.

【总结升华】

用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案.

举一反三：

【变式1】如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四周，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．

(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？

【解析】　

(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.

由于，

∴，得，

即，当且仅当2x＝3y时等号成立．

由，解得

故每间虎笼长为4.5 m、宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．

(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.

∵，

∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，

当且仅当2x＝3y时等号成立．

由，解得.

故每间虎笼长为6 m、宽为4 m时，可使钢筋网总长最小．

【变式2】(2014   湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长(单位：米)的值有关，其公式为F＝．

(Ⅰ)如果不限定车型，＝6.05，则最大车流量为　　辆/小时；

(Ⅱ)如果限定车型，＝5，则最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加　　辆/小时．

【答案】(Ⅰ)F＝，

∵v＋≥2＝22，当v＝11时取最小值，

∴，

故最大车流量为：1900辆/小时；

(Ⅱ)F＝＝＝，

∵v＋≥2＝20，

∴F≤2000，

2000－1900＝100(辆/小时)

故最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加100辆/小时．