巩固练习_直线、平面平行的性质_提高

【巩固练习】

1．有以下三个命题：①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②过直线外一点，有且只有一个平面和已知直线平行；③如果直线∥平面，那么过平面内一点和直线平行的直线在内。其中正确的命题的个数为（    ）

A．0    B．1    C．2    D．3

2．设a，b是两条直线，、是两个平面，若，，，则内与b相交的直线与a的位置关系是（    ）

A．平行    B．相交    C．异面    D．平行或异面

3．下列说法正确的个数为（    ）

①若点A不在平面内，则过点A只能作一条直线与平行；②若直线a与平面平行，则a与内的直线的位置关系有平行和异面两种；③若直线a与平面平行，且a与直线b平行，则b也一定平行于；④若直线a与平面平行，且a与直线b垂直，则b不可能与平行。

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

4．已知平面∥平面，直线a，直线b，则①a∥b；②a，b为异面直线；③a，b一定不相交；④a∥b或a，b异面。其中正确的是（    ）

A．①②    B．②③    C．③④    D．①②③④

5．已知E，F分别为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，AA1上的点，且，，M，N分别为线段D1E和线段C1F上的点，则与平面ABCD平行的直线MN有（    ）

A．1条    B．2条    C．6条    D．无数条

6．若平面∥平面，直线a，点B∈，过点B的所有直线中（    ）

A．不一定存在与a平行的直线    B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线    D．有且只有一条与a平行的直线

7．如图，若Ω是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（    ）

A．EH∥FG     B．四边形EFGH是矩形

C．Ω是棱柱    D．Ω是棱台

8．设，，，C是AB的中点，当A、B分别在平面、内运动时，那么，所有的动点C（    ）

A．不共面

B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面

C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面

D．不论A、B如何移动，都共面

9．在长方体中，过点的两条直线分别交于相交于两点，则四边形的形状为         。

10．已知直线m、n及平面、有下列关系：①m、n；②；③；④m∥n，现把其中一些关系看作条件，另一些看作结论，组成一个真命题________。

11．（2016 湖北枣阳市模拟）一个正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，将截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为________．

12．平面∥平面，A，C∈，点B，D∈，直线AB，CD相交于P，已知AP=8，BP=9，CP=16，则CD=________．

13．如图，三角形ABC中，，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．

求证：GF∥底面ABC．

14．（2016 河南模拟）如图，在三棱柱ABC—中，⊥平面ABC，AC⊥BC，E、F分别在线段和AC上，，AC=BC==4，试探究满足EF∥平面的点F的位置，并给出证明．

15．如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。

（1）证明直线BC∥EF；

（2）求棱锥F—OBED的体积。

【答案与解析】

1．【答案】C

【解析】 由直线与平面平行的性质定理易知①、③正确。过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，但过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行，故②错。

2．【答案】C

【解析】 因为，则a与内的直线没有公共点，所以a与内的直线的位置关系是异面或平行，又a∥b，所以内与b平行的直线与a平行，内与b相交的直线与a异面。

3．【答案】A

【解析】 ①错，过点A可以作无数条直线平行于；②对，a与平行，所以，a与内的所有直线没有公共点；③错，b与的位置关系有平行和b在平面内两种；④错，b可以与相交，可以在内，也可以与平行。

4．【答案】C

【解析】 若两个平面平行，则两个平面没有公共点，∴a∥b或a，b异面，即a，b一定不相交。

5．【分析】取，连接FH，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作MG平行于HO，其中O满足线段，再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，根据线面平行的判定定理，得到GM∥平面ABCD，NG∥平面ABCD，再根据面面平行的判断定理得到平面MNG∥平面ABCD，由面面平行的性质得到，MN∥平面ABCD，由于M是任意的，故MN有无数条．

【答案】选D

【解析】取，连接FH，则FH∥C1D

连接HE，在D1E上任取一点M，

过M在面D1HE中，作MG∥HO，交D1H于G，

其中O为线段三等分点，

再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，

由于GM∥HO，HO∥KB，KB平面ABCD，

GM平面ABCD，所以GM∥平面ABCD，

同理由NG∥FH，可推得NG∥平面ABCD，

由面面平行的判定定理得，平面MNG∥平面ABCD，

则MN∥平面ABCD．

由于M为D1E上任一点，故这样的直线MN有无数条，故选D．

6．【答案】D

【解析】 由直线a和点B可以确定一个平面，，则b就是唯一的一条满足条件的直线。

7．【答案】D

【解析】 根据棱台的定义（侧棱延长之后，必交于一点，即棱台可以还原成棱锥）。因此，几何体Ω不是棱台，应选D。

8．【答案】D

【解析】 所有的动点C都在同一平面内且这个平面与、平行。如右图。A、B两点在、内运动后的两点为A＇、B＇，此时AB的中点C变成的中点C＇，连接，取的中点E，连接CE、、，则CE∥AA＇，∴CE∥。，∴。又∵，∴。∵，∴平面。∴，∴不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与、平行的平面上。

9．【答案】平行四边形

10．【答案】①②③④ 

【解析】联想线面平行的性质定理。

11．【答案】

【解析】在平面VAC内作直线PD∥AC，交VC于D，

在平面VBA内作直线PF∥VB，交AB于F，

过点D作直线DE∥AC，交BC于E，

∵PE∥DE，

∴P，D，E，F四点共面，且面PDEF与VB和AC都平行，

则四边形PDEF为边长为的正方形，

故其面积为．

故答案为：．

12．【分析】用面面平行的性质，可得AC∥BD，根据比例关系即可求出CD．

【解析】∵平面，A，C∈，点B，D∈，

直线AB与CD交于点P，

∴AB，CD共面，且AC∥BD，

①若点P在平面，的外部，

∴，

∵AP=8，BP=9，CP=16，

∴，解得PD=18，

∴CD=PD－PC=18－16=2．

②点P在平面，的之间，

则，即，解得PD=18，

则CD=CP+PD=18+16=34，

故答案为：2或34．

13．【解析】证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）

∵G、F分别是EC和BD的中点

∴HG∥BC，HF∥DE，

又∵ADEB为正方形  ∴DE∥AB，从而HF∥AB

∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，

∴平面HGF∥平面ABC

∴GF∥平面ABC

证法二：取BC的中点M，AB的中点N连接GM、FN、MN（如图）

∵G、F分别是EC和BD的中点

∴GM∥BE，且，

NF∥DA，且

又∵ADEB为正方形，∴BE∥AD，BE=AD

∴GM∥NF且GM=NF

∴MNFG为平行四边形

∴GF∥MN，又MN平面ABC，

∴GF∥平面ABC

证法三：连接AE，

∵ADEB为正方形，∴AE∩BD=F，且F是AE中点，

∴GF∥AC，

又AC平面ABC，

∴GF∥平面ABC

14．【解析】当AF=3FC时，EF∥平面．

证明如下：在平面内过E作EG∥交于G，连接AG．

∵ ，∴，

又AF∥且，

∴AF∥EG且AF=EG，

∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥GA，

又∵EF面，AG平面，

∴EF∥平面．

15．【解析】（1）如图，设G是线段DA与EB延长线的交点。由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以，OG=OD=2。同理，设G＇是线段DA与FC延长线的交点，有。又由于G和G＇都在线段AD的延长线上，所以G与G＇重点。在△GED和△GFD中，由和，可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF。

   （2）由OB=1，OE=2，∠EOB=60°，知。而△OED是边长为2的正三角形，故。所以。

   过点作，交于点，如图，由平面平面知就是四棱锥的高，且，所以。