高二数学寒假作业同步练习题专题13导数的图像和利用导数求范围小题专项练习含解析

专题13  导数的图像和利用导数求范围小题专项练习

一、巩固基础知识

1．已知的图像如图，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】由图可知，，，故选A。

2．已知函数的图像如图所示，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】由图像可知的图像过点、、，、是函数的极值点，

∴，，解得，，∴，

，、是的两根，∴，，

∴，故选C。

3．函数的图像如图所示，则下列结论成立的是(  )。

A、，，，

B、，，，

C、，，，

D、，，，

【答案】C

【解析】∵函数的图像在轴上的截距为正值，∴，

∵，

且在内递增，内递减，内递增，

∴的解集为，∴，又、均为正数，

∴，，可得，，故选C。

4．已知函数()，则函数的图像可能是(  )。

A、    B、    C、    D、

【答案】B

【解析】设，是奇函数，其图像关于原点对称，∵，

∴的图像是的图像向上或向下平移得到的，∴排除A项，

由，知当，时，，函数单调递增，又，∴，

即，∴排除D项，

当，时，，函数单调递减，又，∴，

即，∴排除C项，

故选B。

5．函数为定义在内的单调函数，则实数的取值范围是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】，

(1)若，不符合题意，

(2)若，时，，即函数在上单调递增，且，

要使在上为单调函数，则时，，∵，∴解得，

并且，∴，不符合，∴这种情况不存在，

(3)若，时，，即函数在上单调递减，且，

要使在上为单调函数，则时，，解得，并且，

∴，∴，

综上得的取值范围为，故选C。

6．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】令，则，故在上单调递增，

又，故当时，，即，故选D。

7．已知函数，则的极大值为       。

【答案】

【解析】∵，∴，，故，

∴，易知当时，当时，

∴是其极大值点，故。

8．已知，对任意的都有，则的取值范围为       。

【答案】

【解析】由得或，又，，，

∴，又，∴。

二、扩展思维视野

9．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是(  )。

A、函数有极大值和极小值

B、函数有极大值和极小值

C、函数有极大值和极小值

D、函数有极大值和极小值

【答案】B

【解析】由的图像知：，，

且当时，，当时，，

故在处取得极大值；

当时，，当时，，

故在处取得极小值，故选B。

10．己知函数是定义域为的奇函数，且，的导函数的图像如图所示。若正数满足，则的取值范围是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】在上恒成立，在上恒增，得，

则，，解得，

又，∴，则，故选A。

11．已知函数(其中为自然对数的底数)，则图像大致为(  )。

A、           B、          C、          D、

【答案】C

【解析】依题意得的定义域为，，

当时，，是减函数，，

当时，，

当时，，是增函数，

因此对比各选项知，选C。

12．设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】由题意可知存在唯一的整数，使得，设、，

①由可知在上单调递减，在上单调递增，

②作出与的大致图像如图所示，

③故，即，∴，故选D。

13．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是          。

【答案】B

【解析】的定义域为，，

令，则有两个极值点，等价于有两个不等的实数根，

又等价于与图像有两个交点，

作图，的图像为标准图像，可直接作出，

为一次函数，必过点，

则的图像围绕着点旋转，当与相切时两图像有唯一一个交点，

此时：设切点，，

能列出三个方程：，

则，∴，，则，当时直线与曲线相切，

由图像知当时与的图像有两个交点，则实数的取值范围是。

14．函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是          。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】作的图像，函数恒过定点，

设过点与函数的图像相切的直线为，切点坐标为，

∵的导函数，∴图中的切线的斜率为，

则，解得，∴，

又的斜率为，方程恰有四个不相等实数根时，范围是。

三、提升综合素质

15．已知直线与抛物线相交于、两点，是坐标原点，为抛物线的弧上任意点，则当的面积最大时，点坐标为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】设，过点与平行的直线为，如图：

∵直线与抛物线相交于、两点，

∴为定值，要使的面积最大，

只要到的距离最大，而点是抛物线的弧上的一点，

∴点是抛物线上平行于直线的切线的切点，

由图知点在轴上方，，，由题意知，

∴，即，∴，∴，故选B。

16．已知函数，且对于任意的，恒成立，则的取值范围为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】的定义域为，，∴为奇函数。

又，

∵在内单调递增，∴在内单调递增，

∴，

∴，

又，则，，∴，

设，

则，当时，

∴在内单调递减，的最小值为，∴，故选A。

17．已知函数，且对于任意的，恒成立，则的取值范围为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】的定义域为，，

∴为奇函数，又在上单调递增，

∴，∴，

又，则，，∴恒成立，

设，

则，当时，

∴在内单调递减，的最大值为从负数无限接近于，，

∴，，故选B。

18．已知函数，且对于任意的，恒成立，则的取值范围为        。

【答案】

【解析】的定义域为，，∴为奇函数，又在上单调递增，

∴由得在恒成立，

又，，∴在上恒成立；

设，

则，

当时恒，∴为递增函数，

，∴，综上的取值范围为。