高二数学寒假作业同步练习题专题15导数大题专项练习含解析

  专题15  导数大题专项练习

一、巩固基础知识

1．已知函数。

(1)求的极值；

(2)求在区间上的最小值。

【解析】(1)，令，则或，

当或时，故在区间或上单调递增，

当时，故在区间上单调递减，

故函数的极大值为，极小值是；

(2)，，由(1)知，，，

比较可知四个数中的最小值为在区间上的最小值，为。

2．函数的图像在点处的切线斜率为。

(1)求、的值；

(2)证明：对任意正实数恒成立。

【解析】(1)解：由题设可知的定义域为，在点处切线的斜率为，

∴，，则，，

(2)证明：由(1)知()，∵，

设，

则，

当时，，当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减。

∴在处有最大值，

∴，即，原命题得证。

3．设函数。

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)求的单调区间与极值；

(3)若方程有实数解，求实数的范围。

【解析】(1)的定义域为，，，又，

∴曲线在处的切线方程为，即；

(2)，令，得，列表如下：

∴的单调递减区间是，单调递增区间是，；

(3)∵在上左减右增，且在处取极小值，无极大值，则，

又∵可化简为，可看作与图象交点，则。

4．已知函数。

(1)若在区间上是增函数，求实数的取值范围；

(2)若是的极值点，求在上的最大值和最小值。

【解析】(1)，在区间上是增函数，

则在恒成立，即在恒成立，

，在为增函数，则，；

(2)，∵是的极值点，

∴解得，

∴，，或，

列表如下：

∴，。

二、扩展思维视野

5．已知函数()。

(1)若，求在上的最小值和最大值；

(2)若在上是增函数，求实数的取值范围。

【解析】(1)的定义域为，∵，由得，解得，

∴，令，即，

解得或，

∴在上的最小值是，最大值是；

(2)由题意得：在区间上恒成立，∴，

又当时，是增函数，其最小值为，∴，

即实数的取值范围是。

6．已知函数()。

(1)若，函数在区间上的最小值为，求的值；

(2)设，若函数有极值，求实数的取值范围。

【解析】(1)的定义域为，，

若，则恒成立，∴在上单调递增，

∴函数在区间上的最小值为，则；

(2)由题意得：()，的定义域为，

则，而，当且仅当时取等号，分两种情况：

①当时，对任意，恒成立，此时无极值，

②当时，令，方程有两根，，，

∴有两个根，，

当时，，在区间上单调递减，

当或时，在区间和上单调递增，

从而在处取极大值，在处取极小值，

综上，若函数有极值，则实数的取值范围为。

7．设函数()在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线。

(1)求、的值；

(2)若函数，讨论的单调性。

【解析】(1)的定义域为，，

又在处取极值，故，

由曲线在点处的切线垂直于直线相互垂直可知，

该切线斜率为，即，有，∴；

(2)由(1)知，()，的定义域为，()，

令，则，，

当即时，对都有恒成立，则在内单调递增，

当即时，方程有两个不同的实根：

，，，

则在和上单调递增，

在是上单调递减。

三、提升综合素质

8．已知。

(1)求函数在区间上的值域；

(2)当时，恒成立，求实数的取值范围。

【解析】(1)的定义域为，，

令得，则在区间上单调递减，

令得，则在区间上单调递增，

而，，，则，

故在区间上的值域为；

(2)，即，即，

令()，则只需证明，

则，，对于时，恒成立，

∴在上单调递减，，

①当时，，在上单调递减，

则，满足，

②当时，，则，，

则存在使得，

∴当时，在上单调递增，

∴当时，在上单调递增减，

又，∴，∴不满足，

综上可得，故实数的取值范围为。

9．已知函数()。

(1)设函数，求函数的单调区间；

(2)若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围。

【解析】(1)，定义域为，

，

①当，即时，令，∵，∴；

令，∵，∴，

②当，即时，恒成立，

综上：当时，在上单调递减，在上单调递增，

当时，在上单调递增；

(2)由题意可知在上存在一点，使得成立，

即在上存在一点，使得，

即函数在上的最小值，由第(1)问可知：

①当，即时，在上单调递减，

∴，∴，又∵，∴，

②当，即时，在上单调递增，

∴，，

③当，即时，∴，

∵，，，此时不存在使成立，

综上可得所求的范围是：或。

10．已知函数。

(1)若函数在处的切线的斜率为，求的值；

(2)若，求的取值范围。

【解析】(1)的定义域为，，

则，解得；

(2)由可得：，

令，则的定义域为，，

令，的定义域为，恒成立，

∴在上单调递增，又，且，

∴存在，使得，即，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴为的极小值，也是最小值，，

令，两边同时取对数得：

，

又由得，

则，则，即，

∴，即，∴，

故，解得，∴的取值范围是。