巩固练习_直线与圆的方程的应用_提高

【巩固练习】

1．自点A（－1，4）作圆(x－2)2+(y－3)2=1的切线，则切线长为（    ）．

    A．    B．3    C．  D．5

2．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（    ）．

    A．0.5小时    B．1小时    C．1.5小时    D．2小时

3．已知点A（－2，0），B（0，2），点C是圆x2+y2－2x=0上任意一点，则△ABC面积的最大值是（    ）．

    A．6    B．8    C．    D．

4．（2015春 辽宁沈阳期中）设圆C：，直线l：y=x+b．若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则b的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

5．已知圆的方程为x2+y2－6x－8y=0．设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（    ）．

    A．    B．    C．    D．

6．已知圆C与直线x－y=0及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（    ）．

    A．(x+1)2+(y－1)2=2     B．(x－1)2+(y+1)2=2

    C．(x－1)2+(y－1)2=2    D．(x+1)2+(y+1)2=2

7．（2016春 兰州期末）若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my－4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+2y=0对称，则实数k+m=（    ）

A．－1    B．1    C．0    D．2

8．已知三角形的三边长分别为3、4、5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（    ）．

    A．3    B．4    C．5    D．6

9．以直线2x+y－4=0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为________．

10．过原点的直线与圆x2+y2－2x－4y+4=0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．

11．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=        ．

12．若不同两点P、Q的坐标分别为（a，b）、（3－b，3－a），则线段PQ的垂直平分线的斜率为________；圆(x－2)2+(y－3)2=1关于直线对称的圆的方程为________．

13．（2016 河南郑州一模）已知点M（－1，0），N（1，0），曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍．

（1）求曲线E的方程；

（2）已知m≠0，设直线l：x－my－1=0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx+y－m=0交曲线E于B，D两点，若CD的斜率为－1时，求直线CD的方程．

14．在沿海城市M的东南方向225 km处，有一气象观测站A，在该站的正东方向450 km的B处有一热带风暴中心，这一热带风暴中心以90 km／h的速度向西北方向匀速移动，且在距中心360 km的范围内均会受到风暴的影响．问：

    （1）从现在起多长时间后，气象观测站A就会受到风暴的影响？影响会持续多长时间？

    （2）M城是否会受到该热带风暴的影响？若不会，请说明理由；若会受影响，请计算从现在起多长时间后开始受到影响，影响持续多长时间？

    （以上两问所求时间都要求精确到0.1 h，且取1.414，取3.742）

15．已知点P（x，y）在圆x2+y2－6x－6y+14=0上．

    （1）求的最大值和最小值；

    （2）求x2+y2+2x+3的最大值与最小值；

    （3）求x+y的最大值与最小值．

【答案与解析】

1．【答案】B 

【解析】 圆心C（2，3），，∴切线长．

2．【答案】B 

【解析】如图所示，以A地为原点，正东方向为x轴正方向建立直角坐标系，则A（0，0），B（40，0）．设台风的移动方向是射OC，则射线OC的方程是y=x（x≥0），以B为圆心，30为半径长的圆与射线OC交于M和N两点，则当台风中心在线段MN上移动时，B城市处于危险区内．点B到直线OC的距离是，则有（千米），因此B城市处于危险区内的时间为（小时）．故选B．

3．【答案】D 

【解析】直线AB的方程是，，则当△ABC面积取最大值时，边AB上的高即点C到直线AB的距离d取最大值．又圆心M（1，0），半径r=1，点M到直线的距离是，由圆的几何性质得d的最大值是，所以△ABC面积的最大值是．故选D．

4．【分析】若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则O到直线l：y=x+b的距离d小于1，代入点到直线的距离公式，可得答案．

【答案】D

【解析】由圆C的方程：，可得

圆C的圆心为原点O（0，0），半径为2

若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，

则O到直线l：y=x+b的距离d小于1

直线l的一般方程为：x－y+b=0

∴

解得

故选D．

【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，其中分析出圆心O到直线l：y=x+b的距离d小于1是解答的关键．

5．【答案】B 

【解析】圆心坐标是（3，4），半径是5，圆心到点（3，5）的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦（即圆的直径）AC垂直，故最短弦的长为，所以四边形ABCD的面积为 ．

6．【答案】B 

【解析】因为两条切线x―y=0与x―y―4=0平行，故它们之间的距离即为圆的直径，所以，所以．设圆心坐标为P（a，―a），则点P到两条切线的距离都等于半径，所以，，解得a=1，故圆心为（1，―1），所以圆的标准方程为(x―1)2+(y+1)2=2，故选B．

7．【答案】B

【解析】由题意，可得

∵直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my－4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+2y=0对称，

∴直线x+2y=0是线段MN的中垂线，得，解之得k=2，

所以圆方程为x2+y2+2x+mh－4=0，圆心坐标为，

将代入x+2y=0，解得m=－1，得k+m=1．

故选：B．

8．【答案】B 

【解析】因为三角形的三边长分别为3、4、5，所以该三角形是直角三角形，其图为如图所示的Rt△ABC．

圆O是△ABC的内切圆，可计算得其半径为1，过O点作三条直线EF、GH、MN，分别与△ABC三边平行，此三条直线将△ABC分割成6个部分．记半径为1的圆O1的圆心到三条边AB、BC、CA的距离分别为d1、d2、d3．而圆心O1在这6个区域时，有（Ⅰ）（最多4个公共点）；（Ⅱ）（最多2个公共点）；（Ⅲ）（最多2个公共点）；（Ⅳ）（最多4个公共点）．而圆心O1在线段EF、GH、MN上时，最多有4个公共点，故选B．

9．【答案】或．

【解析】令x=0，得y=4，令y=0，得x=2，

∴直线与两轴交点坐标为A（0，4）和B（2，0），

以A为圆心过B的圆的半径为，

∴以A为圆心过B的圆的方程为；

以B为圆心过A的圆的半径为，

∴以B为圆心过A的圆方程为，

故过另一个交点的圆的方程为：

或．

故答案为：或．

10．【答案】2x―y=0

【解析】设所求直线方程为y=kx，即kx―y=0．由于直线kx―y=0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，由此得圆心到直线距离等于，即圆心位于直线kx―y=0上，于是有k―2=0，即k=2，因此所求直线方程为2x―y=0．

11．【答案】8

【解析】依题意，可设圆心坐标为（a，a）、圆半径为r，其中r=a＞0，因此圆方程是(x―a)2+(y―a)2=a2，由圆过点（4，1）得(4―a)2+(1―a)2=a2，即a2―10a+17=0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，．

12．【答案】―1  x2+(y―1)2=1 

【解析】由题可知，又k1kPQ=―1k1=―1，圆关于直线对称，找到圆心（2，3）的对称点（0，1），又圆的半径不变，易得x2+(y―1)2=1．

13．【解析】（1）设曲线E上任意一点坐标为（x，y），

由题意，，

整理得x2+y2－4x+1=0，即(x－2)2+y2=3，

∴曲线E的方程为(x－2)2+y2=3．

（2）由题知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N（1，0），

设曲线E的圆心为E，则E（2，0），线段CD的中点为P，

则直线EP：y=x－2，设直线CD：y=－x+t，

由，解得点，

由圆的几何性质，，

而，|ED|2=3，，

解之得t=0，或t=3，

∴直线CD的方程为y=―x，或y=―x+3．

14．【答案】（1）1.7 h后观测站受到影响，影响时间是3.7h (2) M城4.2 h后受到影响, 影响时间是3.7h

【解析】（1）设风暴中心到C处A开始受到影响，到D处A结束影响，由题意有AC=360，AB=450，∠ABC=45°，设BC=x，则．

即，故．

∴，故149.76÷90≈1.7，即约1.7 h后观测站受到影响，影响时间是（h）.

（2）而MA∥BC，∴M城比A气象观测站迟（h）受到影响，故M城4.2 h后受到影响，影响的时间是3.7 h．

15．【答案】（1）最大值为 ，最小值为（2）最大值为51 ，最小值为11（3）最大值为，最小值为

【解析】方程x2+y2―6x―6y+14=0，变形为(x―3)2+(y―3)2=4．

（1）表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然PO与圆相切时，斜率最大或最小．

设切线方程为y=kx，即kx―y=0，由圆心C（3，3）到切线的距离等于半径长2，可得，解得，所以，的最大值为，最小值为．

（2）x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2，它表示圆上的点P到E（―1，0）的距离的平方再加2，所以，当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，显然点P与点E距离的最大值为|CE|+2，点P与点E距离的最小值为|CE|―2，又，所以x2+y2+2x+3的最大值为(5+2)2+2=51，最小值为(5―2)2+2=11．

（3）设x+y=b，则b表示动直线y=―x+b与圆(x―3)2+(y―3)2=4相切时，b取最大值或最小值．圆心C（3，3）到切线x+y=b的距离等于圆的半径长2，则，即，解得，所以x+y的最大值为，最小值为．