知识讲解_直线、平面垂直的判定_提高练习题

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直线、平面垂直的判定

【学习目标】
1．了解空间直线和平面的位置关系；
2．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理；
3．理解直线与平面所成的角的概念。会求直线与平面所成的角；
4．理解二面角及二面角的平面角的概念，会求一些简单的二面角的大小；
3．能利用直线与平面、平面与平面垂直的定义、判定定理解决与其相关的问题。
【要点梳理】
要点一、直线和平面垂直的定义与判定
1.直线和平面垂直的定义
如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.
要点诠释：
(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，注意区别.
(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式.
(3)若，则.
2.直线和平面垂直的判定定理
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
图形语言：



符号语言：
特征：线线垂直线面垂直
要点诠释：
(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视.
(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.
相关的重要结论
①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条．
②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直．
③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直．

要点二、直线与平面所成的角
1．直线与平面所成角的定义
一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
要点诠释：
(1)直线与平面平行，直线在平面上的射影是一条直线.
(2)直线与平面垂直时射影是点.
(3)斜线上任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.
2．直线与平面所成的角的范围：
直线和平面相交
不垂直时，0°＜＜90°
垂直时，=90°


直线和平面平行或直线在平面内，=0°。．
直线和平面所成角的范围是0°≤≤90°．
3．求斜线与平面所成角的一般步骤：
(1)确定斜线与平面的交点即斜足；
(2)经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影；
(3)解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形，求出线面角．

要点三、二面角
1.二面角定义
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或.

2.二面角的平面角
(1) 二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做二面角的平面角.
(2)二面角的平面角的范围：0°≤≤180°．当两个半平面重合时，=0°；当两个半平面相交时，0°＜＜180°；当两个半平面合成一个平面时，=180°．

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
(3) 二面角与平面角的对比

角
二面角
图形


定义
从半面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形
从空间内二直线出发的两个半平面所组成的图形
表示法
由射线、点（顶点）、射线构成，表示为∠AOB
由半平面、线（棱）、半平面构成，表示为二面角
(4) 二面角的平面角的确定方法
方法1：（定义法）在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．
如右图，在二面角的棱a上任取一点O，在平面内过点O作OA⊥a，在平面内过点O作BO⊥a，则∠AOB为二面角的平面角．
方法2：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．
如下图（左），已知二面角，
过棱上一点O作一平面，使，且，。
∴，，且⊥OA，⊥OB，
∴∠AOB为二面角的平面角．

方法3：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通常用于求二面角的所有题目，具体步骤：一找，二证，三求．
如上图（右），已知二面角A-BC-D，求作其平面角．
过点A作AE⊥平面BCD于E，过E在平面BCD中作EF⊥BC于F，连接AF．
∵AE⊥平面BCD，BC平面BCD，∴AE⊥BC．
又EF⊥BC，AE∩EF=E，
∴BC⊥平面AEF，∴BC⊥AF
由垂面法可知，∠AFE为二面角A-BC-D的平面角。

要点四、平面与平面垂直的定义与判定
1.平面与平面垂直定义
定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.
表示方法：平面与垂直，记作.
画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：

2.平面与平面垂直的判定定理
文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
符号语言：
图形语言：

特征：线面垂直面面垂直
要点诠释：
平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可.
【经典例题】
类型一、直线和平面垂直的定义
例1．下列命题中正确的个数是( )
①如果直线与平面内的无数条直线垂直，则；
②如果直线与平面内的一条直线垂直，则；
③如果直线不垂直于，则内没有与垂直的直线；
④如果直线不垂直于，则内也可以有无数条直线与垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】当直线与平面平行或在平面内时，在平面内都有直线与直线垂直，故在平面内存在一组平行线（无数条）与垂直，因此①②③均错，④正确。
【总结升华】“无数条直线”只说明直线的条数有无穷多，而“任意条直线”除能说明直线无穷多条外，还说明直线的位置关系是任意的，是不受限制的。解题时一定要加以区别。
举一反三：
【变式1】设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ）
A．在平面内有且只有一条直线与直线垂直
B．过直线有且只有一个平面与平面垂直
C．与直线垂直的直线不可能与平面平行
D．与直线平行的平面不可能与垂直
【答案】B
【解析】可以通过观察正方体进行判断，取为直线，平面为平面，由均与垂直知，选项错；由与垂直且与平行知，选项错；由平面与平行且与垂直知，选项错，故选B。
类型二、直线与平面垂直的判定
例2．如图，已知空间四边形ABDC的边BC=AC，AD=BD，作BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H，求证：AH⊥平面BCD。
【思路点拨】要证AH⊥平面BCD，只需利用直线和平面垂直的判定定理，证AH垂直平面BCD中两条相交直线即可。
【解析】
证明：取AB中点F，连CF，DF，
∵AB=BD，∴CF⊥AB。
又∵AD=BD，∴DF⊥AB，
∴AB⊥平面CDF，∴AB⊥CD。
又BE⊥CD，且AB∩BE=B，
根据直线与平面垂直的判定定理，直线CD⊥平面ABE。
∴CD⊥AH。
而AH⊥BE，CD∩BE=E，∴AH⊥平面BCD。
【总结升华】本题主要考查线面垂直的判定，关键是找到平面BCD内与AH垂直的两条相交直线，要证线面垂直，需证线线垂直；要证线线垂直，需证线面垂直，即通过判定定理实现线线垂直与线面垂直的互相转化。
例3．（2016 西城区一模）如图，在四棱住ABCD—A1B1C1D1中，BB1⊥底面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD．

（1）求证：B1C∥平面ADD1A1；
（2）求证：AC⊥B1D；
【答案】（1）略（2）略
【思路点拨】（1）先证明BC∥平面ADD1A1，CC1∥平面ADD1A1，又B∩CC1=C，即可证明平面BCC1B1∥平面ADD1A1，从而可证B1C∥平面ADD1A1．
（2）先证明BB1⊥AC，又AC⊥BD，BB1∩BD=B，即可证明AC⊥平面BB1D，从而可证AC⊥B1D
【证明】（1）∵AD∥BC，BC平面ADD1A1，AD平面ADD1A1，
∴BC∥平面ADD1A1，
∵CC1∥DD1，CC1平面ADD1A1，DD1平面ADD1A1，
∴CC1∥平面ADD1A1，
又∵BC∩CC1=C，
∴平面BCC1B1∥平面ADD1A1，
又∵B1C平面BCC1B1，
∴B1C∥平面ADD1A1．
（2）∵BB1⊥平面ABCD，AC底面ABCD，
∴BB1⊥AC，
又∵AC⊥BD，BB1∩BD=B，
∴AC⊥平面BB1D，
又∵B1D底面BB1D，
∴AC⊥B1D．
【总结升华】（1）判定线面垂直的方法：
①利用线面垂直定义：一直线垂直于平面内的任意直线，则这条直线垂直于该平面．
②用线面垂直判定定理：一直线与平面内的两相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直．
③用线面垂直性质：两平行线之一垂直于平面，则另一条也必垂直于这个平面．
（2）证明线线（或线面）垂直有时需多次运用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，实现线线垂直与线面垂直的相互转化．
举一反三：
【变式1】（2015年 陕西）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC， ，是的中点，O是OC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图2中△的位置，得到四棱锥．
（I）证明：CD⊥平面；
（II）当平面⊥平面BCDE时，四棱锥的体积为，求a的值．

【答案】（I）证明详见解析；（II）a=6．
【证明】（I）在图1中，因为AB=AC=，E是AD的中点，，所以四边形ABCE是正方形，故BE⊥AC，又在图2中，从而BE⊥，又DE∥BC且DE=BC，所以CD∥BE,即可证得CD⊥平面；
（II）由已知，平面⊥平面BCDE，
且平面∩平面BCDE=BE
又由（I）知，，所以平面BCDE，
即是四棱锥的高，
由图1可知，，平行四边形BCDE面积，
从而四棱锥的为
，
由，得a=6．
例4．在正△ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE∶EB=CF∶FA=CP∶PB=1∶2 [如图（1）]。将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连接A1B、A1P [如图（2）]。求证：A1E⊥平面BEP。

【思路点拨】 如图（1），由平面几何的知识可得EF⊥AE，EF⊥BE。如图（2），这两个位置关系没有变化，而点A、B、E的相对位置关系发生了变化，翻折前这三点共线，但是翻折后不共线。证明A1E⊥平面BEP转化为证明A1E垂直于平面BEP内的两条相交直线BE和EF即可。由于EF⊥BE在翻折前后没有变化，所以只需证明A1E⊥BE即可。
证明：不妨设正三角形ABC的边长为3，则在图（3）中，取BE的中点D，连接DF。
∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2。
而∠A=60°，∴△ADF为正三角形。
又AE=DE=1，∴EF⊥AD。
则在图（2）中，A1E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的一个平面角。
由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE。
又BE∩EF=E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP。
【总结升华】解决本题的关键是翻折前EF⊥BE，并且在翻折后没有变化，而点A、B、E的相对位置关系发生了变化。由此可见，解决翻折问题的关键是对翻折前的平面图形与翻折后的立体图形进行对比，有哪些位置关系和相关量发生了变化，如果发生变化，那么发生了怎样的变化？哪些没有发生变化？切不可混淆不清。
举一反三：
【变式1】 如图①，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体（如图②），使G1、G2、G3三点重合于点G，这样，下面结论成立的是（ ）

A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFG C．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF
【答案】A
类型三、直线和平面所成的角
例5．如图，三棱锥A-SBC中，∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC。
求直线AS与平面SBC所成的角。
【思路点拨】确定AS在平面SBC上的射影是关键，即找过点A的平面SBC的垂线。因为∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC，所以△ASB与△ASC都是等边三角形。
因此，AB=AC。
【解析】
取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC。
设SA=a，则在Rt△SBC中，，。
在Rt△ADC中，，则AD2+SD2=SA2，所以AD⊥SD。
又BC∩SD=D，所以AD⊥平面SBC。因此，∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角。
在Rt△ASD中，，所以∠ASD=45°，即直线AS与平面SBC所成的角为45°。
【总结升华】求直线与平面所成的角的步骤：作角，即作出或找到斜线与它的射影所成的角；证角，即证明所作的角即为所求；求角，求角或角的三角函数值。其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的突破口。
举一反三：
【变式1】 （1）正方体ABCD—A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
（2）已知三棱锥S—ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）D（2）D
类型四、二面角
例6．已知Rt△ABC，斜边BC，点，AO⊥，O为垂足，∠ABO=30°，∠ACO=45°，求二面角A-BC-O的大小。
【答案】60°
【解析】 如图所示，在平面内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD。
设OC=a，∵AO⊥，BC，∴AO⊥BC。
又∵AO∩OD=O，∴BC⊥平面AOD。
而AD平面AOD，
∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A-BC-O的平面角。
由AO⊥，OB，OC知AO⊥OB，AO⊥OC。
又∠ABO=30°，∠ACO=45°，∴AO=a，，AB=2a。
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴，
∴。
在Rt△AOD中，。
∴∠ADO=60°，即二面角A-BC-O的大小是60°。
【总结升华】本题是用垂线法作二面角的平面角，求二面角的平面角关键是找出（或作出）平面角，再把平面角放到三角形中求解。
举一反三：
【变式1】 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，，∠BAD=∠CDA=45°。
（1）求异面直线CE与AF所成角的余弦值；
（2）证明：CD⊥平面ABF；
（3）求二面角B—EF—A的正切值。
【答案】（1）（2）略（3）
【解析】（1）因为，所以所成的角就是异面直线AF所成角，余弦值为。
（2）如右图，过点B作BG∥CD，交AD于点G，
则∠BGA=∠CDA=45°。由∠BAD=45°，可得BG⊥AB。
从而CD⊥AB。又CD⊥FA，FA∩AB=A，所以CD⊥平面ABF。
（3）如图，与所成的角即为二面角B—EF—A的平面角，所以
二面角B—EF—A的正切值为。
类型五、平面与平面垂直的判定
例7．（2015年 天津）如图，已知⊥平面ABC，∥，AB=AC=3，，点E和F分别为BC和的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的大小．
【答案】（Ⅰ）略（Ⅱ）略（Ⅲ）30°
【思路点拨】本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．
【证明】（Ⅰ）证明：如图，连接．
在△中，因为E和F分别是BC和的中点，
所以EF∥．
又因为平面，
所以EF∥平面．
（Ⅱ）证明：因为AB=AC，E为BC中点，
所以AE⊥BC．
因为⊥平面ABC，∥，
所以⊥平面ABC，从而⊥AE．
又因为BC∩=B，
所以AE⊥平面，
又因为AE平面，
所以平面⊥平面．
（Ⅲ）取的中点M和的中点N，连接，，NE．
因为N和E分别为和BC的中点，
所以NE∥，，
故NE∥且NE=，
所以∥AE，且=AE．
又因为AE⊥平面，
所以⊥平面，
从而为直线与平面所成的角．
在△ABC中，可得AE=2，所以=AE=2．
因为BM∥，BM=，
所以∥AB，=AB，
又由AB⊥，有⊥．
在Rt△中，可得，
在Rt△中，，因此．
所以，直线与平面所成的角为30°．
举一反三：
高清：空间的面面垂直 399110 典型例题1
【变式1】已知是圆的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于、的任一点．求证：平面平面．
证明：是圆的直径，∴．
又∵垂直于所在的平面，
∴．
∴平面．
又平面，
∴平面平面．
【变式2】 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD=PD=2MA。
（1）求证：平面EFG⊥平面PDC；
（2）求三棱锥P—MAB与四棱锥P—ABCD的体积之比。


【解析】（1）由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，
∴PD⊥平面ABCD。
又BC平面ABCD，∴PD⊥BC。
∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC。
又PD∩DC=D，因此BC⊥平面PDC。
在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，
∴GF∥BC，因此GF⊥平面PDC。
又GF平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC。
（2）VP—MAB∶VP—ABCD=1∶4。
【变式3】 如图（左），在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°，如图（右）。

（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（2）若BD=1，求三棱锥D—ABC的表面积。
【解析】（1）∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，
又DB∩DC=D，∴AD⊥平面BDC，
∵AD平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC。
（2）由（1）知，DA⊥DB，DC⊥DA，
∵DB=DA=DC=1，DB⊥DC，，
从而，，
∴表面积。