高二数学寒假作业同步练习题专题05双曲线小题专项练习含解析

专题05  双曲线小题专项练习

一、巩固基础知识

1．双曲线：的顶点到其渐近线的距离等于(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】渐近线方程为，即，又顶点坐标，

则顶点到渐近线的距离为，故选C。

2．已知中心在原点的双曲线的右焦点为，离心率等于，则的方程是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】，，，故选C。

3．已知双曲线：的左、右顶点分别为、，点在双曲线上，若直线斜率的取值范围是，则直线斜率的取值范围是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】、，设，则，则，

则，则，故选B。

4．“”是“方程表示双曲线”的(  )。

A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

C、充要条件

D、既非充分也非必要条件

【答案】A

【解析】当时，，方程表示双曲线，

当时，，方程也表示双曲线，故选A。

5．若双曲线：(，)的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】，，，该双曲线的渐近线方程为，故选A。

6．若，定义使方程“”表示的曲线以为渐近线的角为“等轴角”，则等轴角       。

【答案】或

【解析】由题意可知，又，则或。

7．若双曲线：(，)的一条渐近线的倾斜角为，离心率为，则的最小值为       。

【答案】

【解析】，则，(当且仅当时取等号)，

则最小值为。

二、扩展思维视野

8．已知圆经过双曲线：的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线的中心的距离为(  )。

A、或

B、或

C、

D、

【答案】D

【解析】由双曲线性质可得圆经过双曲线同侧的顶点和焦点，设过右焦点和右顶点，

则圆心的横坐标为，代入双曲线，则解得，

∴点到原点的距离，故选D。

9．已知点是双曲线：(，)的左焦点，点是右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若是锐角三角形，则双曲线的离心率的的取值范围是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】根据对称性中，若是锐角三角形，

则为锐角，即在中，得，

又，，则，

即，两边都除以得，

即，，即，又，则，故选A。

10．设、分别是双曲线：(，)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点，使得，为坐标原点，且，则双曲线的离心率为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】∵，∴，

即，，

∴，在中，∴，

又，∴，，

∴，，故选C。

11．已知双曲线：的离心率为，则实数的值为       。

【答案】

【解析】，，解得。

12．已知双曲线：的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线的左支于、两点，则的最小值为       。

【答案】

【解析】，，两式相加得，

，当且仅当轴时取等号，最小值为。

13．设、是双曲线：(，)的两个焦点，是上一点。若，且的最小内角为，则的离心率为         。

【答案】

【解析】设为双曲线右支上一点，则，又，

则，，，∵的最小内角，

由余弦定理得，

即，∴，∴，。

14．已知双曲线：的左、右焦点分别是、，点(，，…)在其右支上，且满足，，则的值是       。

【答案】

【解析】，，∴，即，又，∴，

即，∴，

又恒成立，则，则数列是以首项为，公差为的等差数列，

即，则。

三、提升综合素质

15．已知是双曲线：()的右焦点，为坐标原点，设是双曲线上一点，则的大小不可能是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】，两条渐近线倾角为、，则或，

故选C。

16．已知点、是双曲线的两个焦点，过点的直线交双曲线的一支与点、两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】为等边三角形，则，设的边长为，则，则，

则，，，故选A。

17．我国著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决。如：与相关的代数问题可以转化为点与点之间距离的几何问题。结合上述观点，可得方程的解为         。

【答案】

【解析】，

其几何意义为动点到定点和的距离之差的绝对值为，

∴动点即为双曲线与的交点，则，即，∴。

18．已知双曲线：(，)离心率为，、分别为左、右顶点，点为双曲线在第一象限内的任意一点，点为坐标原点，若、、的斜率分别为、、，设，则的取值范围为         。

【答案】

【解析】，则，设，则，，

又双曲线的渐近线方程为，∴，∴。

19．已知双曲线：的右焦点为，过的直线与交于、两点，若，则满足条件的的条数为       。

【答案】

【解析】∵，，，则，若、都在右支上，

当垂直于轴时，将代入得，则，满足，

若、分别在两支上，∵，∴两顶点的距离为，

∴满足的直线有条，且关于轴对称，

综上有条。

20．若双曲线：(，)的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线与双曲线的右支相交于、两点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则       。

【答案】

【解析】∵，，

∴，，，，

∵，∴，

∴。

21．如图所示，在半径为的半圆内有一内接梯形，它的下底为圆的直径，上底的端点在圆周上，若双曲线以、为焦点，且过、两点，则当梯形周长最大时，双曲线的实轴长为       。

【答案】

【解析】，设，作于点，

则，，

∴，

则梯形周长

，

当，即时周长有最大值，这时，

，，

∴双曲线的实轴长为。