八年级数学秘籍——巧作辅助线，构造全等形（解析版）学案

这是一份八年级数学秘籍——巧作辅助线，构造全等形（解析版）学案，共49页。学案主要包含了典例解析，变式1-1，变式1-2，例2-1，例2-2，变式2-1，变式2-2，例3-1等内容，欢迎下载使用。
巧作辅助线，构造全等形

【典例解析】
【例1】（2020·江苏江都月考）问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　 　；

探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】见解析.
【解析】解：问题背景：
EF=BE+DF，证明如下：
在△ABE和△ADG中，，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
故答案为 EF=BE+DF．
探索延伸：
上述结论EF＝BE+FD成立，
理由：延长FD到点G，使得DG＝BE，连接AG，

∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠DAF+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠EAF，
又∵AG＝AE，AF＝AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF＝GF，
∵GF＝DF+DG＝DF+BE，
∴EF＝BE+FD；
实际应用：
连接EF，延长AE、BF相交于点C，

在四边形AOBC中，
∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠FOE＝70°＝∠AOB，
又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝60°+120°＝180°，
∴EF＝AE+FB＝1.5×（60+80）＝210（海里），
即此时两舰艇之间的距离210海里．
【变式1-1】（2020·重庆巴南月考）
(1)问题背景：
如图 1，在四边形 ABCD 中，AB = AD，∠BAD= 120°，∠B =∠ADC= 90°，E，F 分别是 BC, CD 上的点，且∠EAF = 60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

小明同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG=BE， 连结AG，先证明ΔΔADG，再证明ΔΔAGF，可得出结论，他的结论应是 ．
(2)探索延伸：
如图 2，在四边形ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF=∠BAD，上述结论是否依然成立？并说明理由．
【答案】（1）EF=BE+DF；（2）成立，见解析.
【解析】解：（1）EF=BE+DF，证明如下：
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG
∵∠EAF=∠BAD
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠EAF
∴∠EAF=∠GAF
∴△AEF≌△AGF
∴EF=GF
∴EF=BE+DF
故答案为：EF=BE+DF．
（2）结论EF=BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G，使DG=BE．连结AG，

易证△ABE≌△ADG
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF.
【变式1-2】（2019·山东嘉祥·初二期中）现阅读下面的材料，然后解答问题：
截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段．
请用截长法解决问题（1）
（1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：．

图1
请用补短法解决问题（2）
（2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：．

图2
【答案】见解析．
【解析】解：（1）证明：在AC上截取AE=AB，连接DE，

∵AD是角平分线，
∴∠BAD=∠EAD
在△ADB和△ADE中，
∴△ADB≌△ADE
∴∠AED=∠B=90°，DE=BD
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∴ED=CE，
∴AC=AE+CE=AB+BD
（2）延长AB到F，使AF=AC，连接DF，

∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠FAD=∠CAD
在△FAD和△CAD中，
∴△FAD≌△CAD，
∴∠C=∠F
∵∠ABC=2∠C，∠ABC=∠F+∠BDF，
∴∠F=∠BDF，
∴BD=BF，
∴AC=AF=AB+BD．
【例2-1】（2020·唐山市丰南区）如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是( )

A． B．
C． D．
【答案】D.
【解析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE

在△ADC和△EDB中，
AD=DE,∠ADC=∠BDE,CD=BD
∴△ADC≌△EDB
∴AC=BE
∵AC=5，AD=7
∴BE=5，AE=14
在△ABE中，AE-BE＜AB＜AE+BE
∴AB边的取值范围是：9＜AB＜19
故答案为：D.
【例2-2】（2020·余干县月考）（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
在△ABC中，AB＝9，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：
①延长AD到Q，使得DQ＝AD；
②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；
③利用三角形的三边关系可得4