八年级数学秘籍——探索“一线三等角”模型（解析版）学案

探索“一线三等角”模型

【常见图形】

【典例解析】

【例1】（2020·广东高州期中）如图1，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D、E．（这几何模型具备“一线三直角”）如下图1：

（1）①请你证明：△ACE≌△CBD；②若AE＝3，BD＝5，求DE的长；

（2）迁移：如图2：在等腰Rt△ABC中，且∠C＝90°，CD＝2，BD＝3，D、E分别是边BC，AC上的点，将DE绕点D顺时针旋转90°，点E刚好落在边AB上的点F处，则CE＝　   　．（不要求写过程）

【答案】（1）①见解析；②DE=8；（2）CE=1.

【解析】（1）证明：∵BD⊥DE，AE⊥DE，

∴∠E=∠D=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠1=∠2，

在△ACE与△CBD中，，

∴△ACE≌△CBD；

②解：同（1），得△ACE≌△CBD，

∴CE=BD=5，AE=CD=3，

∴DE=CE+CD=5+3=8．

(2)过F作FM⊥BC于M，

则∠FMB=∠FMD=90°，

∵∠C=90∘，AC=BC，

∴∠B=∠A=45°，

∴∠MFB=∠B=45°，

∴BM=MF，

∵DE⊥DF，

∴∠EDF=∠FMD=∠C=90°，

∴∠CED+∠CDE=90∘,∠CDE+∠FDM=90°，

∴∠CED=∠FDM，

在△CED和△MDF中，，

∴△CED≌△MDF，

∵CD=2，BD=3，

∴DM=CE，CD=FM=2=BM，

∴CE=DM=3−2=1，

故答案为1.

【例2】（2020·四川巴州期末）某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°，若AB=CD=12米，BD=64米，请计算出该居民楼ED的高度．

【答案】见解析.

【解析】解：由题意可知：∠B=∠CDE=∠ACE=90°

∴∠ACB+∠DCE=90°

∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC

∴∠DCE=∠BAC

又AB=CD

∴△ABC≌△CDE

∴DE=BC，

∴BC=DE=BD－CD=64-12=52

故该居民楼ED的高度为52米.

【例3】（2020·潮州市潮安区月考）问题背景：

（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD＋CE．

拓展延伸：

（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系．（不需要证明）

实际应用：

（3）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为(－2，0)，点A的坐标为(－6，3)，请直接写出B点的坐标．

【答案】见解析.

【解析】（1）证明：∵BD⊥m，CE⊥m，

∴∠ADB＝∠CEA＝90°

∵∠BAC＝90°

∴∠BAD＋∠CAE＝90°

∵∠BAD＋∠ABD＝90°

∴∠CAE＝∠ABD

在△ADB和△CEA中，

∴△ADB≌△CEA

∴AE＝BD，AD＝CE

∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE

 即：DE＝BD＋CE

（2）数量关系：DE＝BD＋CE

理由如下：在△ABD中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD，

∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD，∠BDA=∠AEC，

∴∠ABD=∠CAE，

在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AD+AE=BD+CE；

（3）解：过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，

由（1）可知，△AEC≌△CFB，

∴CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，

∴OF=CF-OC=1，

∴点B的坐标为B（1，4）．

【例4】（2020·广东广州月考）如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是___________．

【答案】50.

【解析】解：∵∠EAF+∠BAG=90°，∠EAF+∠AEF=90°，

∴∠BAG=∠AEF，

在△AEF和△BAG中，，

∴△AEF≌△BAG，（AAS）

同理△BCG≌△CDH，

∴AF=BG=3，AG=EF=6，GC=DH=4，BG=CH=3，

∵梯形DEFH的面积=(EF+DH)•FH=80，

S△AEF=S△ABG=AF•AE=9，

S△BCG=S△CDH=CH•DH=6，

图中实线所围成的图形的面积：80-2×9-2×6=50，

故答案为：50．

【例5】（2020·曲阜月考）如图，已知点P(2m－1，6m－5)在第一象限角平分线 OC上，－直角顶点P在OC上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则OA＋BO＝______________

【答案】2

【解析】解：作过PPE⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，

根据题意得：PE=PF，

∴2m-1=6m-5，

∴m=1，

∴P（1，1），

∵∠EPF=90°，

∵∠BPA=90°，PE=PF=1，

∴∠EPB=∠FPA，

在△BEP和△AFP中，，

∴△BEP≌△AFP（ASA），

∴BE=AF，

∴OA+OB=OF+AF+OE-BE=OF+OE，

∵P（1，1），

∴OE=OF=1，

∴OA+OB=2．

故答案为：2．

【习题专练】

1.（2020·广东英德期末）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，，垂足分别为点、．证明：①；②．

图1

（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

图2

（3）如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点．

图3

【答案】见解析

【解析】解：（1）①∵BD⊥l，CE⊥l

∴∠BDA=∠CEA=90°

∵∠BAC=90°

∴∠BAD+∠CAE=90°

∵∠BAD+∠ABD=90°

∴∠CAE=∠ABD

②在△ADB和△CEA中，

∴△ADB≌△CEA

∴AE=BD，AD=CE

∴DE=AE+AD=BD+CE；

（2）成立：DE=BD+CE证明如下：

∵∠BDA=∠BAC=α

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α

∴∠DBA=∠CAE

在△ADB和△CEA中，

∴△ADB≌△CEA

∴AE=BD、AD=CE

∴DE=AE+AD=BD+CE；

（3）过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N

∴∠EMI=GNI=90°

由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN

∴EM=GN

在△EMI和△GNI中，

∴△EMI≌△GNI

∴EI=GI

∴I是EG的中点．

2.（2020·湖北武汉月考）如图，A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（-3.0），D为x轴上的一个动点，AE⊥AD，且AE=AD，连接BE交y轴于点M

（1）若D点的坐标为（-5.0），求E点的坐标:

（2）求证:M为BE的中点

（3）当D点在x轴上运动时，探索:为定值

【答案】见解析.

【解析】解：(1)过E点作EF⊥y轴于F，

∵AD⊥AE ，EF⊥AF

∴∠AOD=∠AFE=90°

∵∠DAO+∠EAF=90°，

∠EAF+∠AEF=90°

∴∠DAO=∠AEF

在△AOD和△EFA中，

∴△AOD≌△EFA(AAS)

∴EF=OA=3  AF=OD=5

∴OF=AF-OA=5-3=2

即E(3,-2)

(2)D点有3个位置

根据题意：AE=AD，∠AEF+∠DAO=90°，

又∵∠AEF+∠EAF=90°，

∴∠AEF=∠DAO

∴△AOD≌△EFA

∴OB=EF，∠BOM=∠EMF=90°

∴△BOM≌△EFM(AAS)

∴BM=EM=BE.

(3)根据(2)可知，D点在可以在3个位置，

当D点如下图的位置时，过D作直线a⊥x轴于D，过A作AG⊥a于G，

由(2)知△BOM≌△EFM，

∴EF=OB，

由(1)知△AOD≌△EFA

即：EF=OA =OB，AF=OD

∴OF=AF-OA=OD-OB ，

∵OM=OF=BD

∴=，

当D在另外两个位置时，同理可证：=.

3.（2019·黑龙江齐齐哈尔期中）观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．

（1）求证：△AEC≌△CDB；

（2）类比探究：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积；

（3）拓展提升：如图3，∠E=60°，EC=EB=4cm，点O在BC上，且OC=3cm，动点P从点E沿射线EC以2cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间．

【答案】见解析.

【解析】解：(1)∵∠ACB=90°，

∴∠ACE+∠DCB=90°，

∵BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC=∠BDC=90°，

∴∠EAC＋∠ACE=90°，

∴∠EAC=∠DCB，

∵AC=BC，

∴△AEC≌△CDB；

(2)过B’作B'D⊥AC于D，

由旋转知，AB’=AB，∠B’AB=90°，

∠B′AC＋∠BAC=90°，

又∠B＋∠CAB=90°，

∴∠B=∠B'AC，

∴△B’AD≌△AB′D，

∴B′D=AC=6，

△A B′C的面积=6×6÷2=18；

(3)由旋转知，OP=OF，

∵△BCE是等边三角形，

∴∠CBE=∠BCE=60°

∴∠OCP=∠FBO=120°，∠CPO＋∠COP=60°，

∵∠POF=120°，

∴∠COP＋∠BOF=60°，

∴∠CPO=∠BOF，

在△BOF和△PCO中，∠OBF=∠PCO=120°,∠BOF=∠CPO，OF=OP

∴△BOF≌△PCO，

∴CP=OB，

∵EC=BC=4cm，OC=3cm，

∴OB=BC-OC=1，

∴CP=1，

∴EP=CE＋CP=5，

点P运动的时间为：5÷2=2.5秒.

4.（2020·三台县月考）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．

【答案】见解析．

【解析】解：由题意得：

AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE

∴∠ADC=∠CEB=90°

∴∠BCE=∠DAC

在△ADC和△BCE中，，

∴△ADC≌△CEB

由题意得：AD=CE=6，CD=BE=14，

∴DE=CD+CE=20

答：两堵木墙之间的距离为20cm．

5．（2019·舞钢市月考）小强为了测量一幢楼的高度AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P（如图）．测得视线PC与地面所成的夹角∠DPC=36°，视线PA与地面所成的夹角∠APB=54°，已知旗杆的高度CD是10米，量得P到楼底距离PB也是10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=25米，小强计算出了楼高，(旗杆与楼都和地面垂直）请问楼高AB是_____________米．

【答案】15.

【解析】解：由题意，得：∠D=90°，∠DPC=36°，

∴∠PCD=180°－90°－36°=54°，

∵∠APB=54°，

∴∠APB=∠PCD，

在△APB和△PCD中，

∵∠APB=∠PCD，PB=CD=10米，∠ABP=∠D=90°，

∴△APB≌△PCD，

∴AB=DP，

∵DB=25米，PB=10米，

∴DP=15米，即AB=15米．

故答案为：15．

6.（2019·海口市月考）在中，，，直线经过点，且于，于．

(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，

①求证：≌；

②求证：；

(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．

【答案】见解析．

【解析】证明：（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE，

又∵AC=BC，

∴△ADC≌△CEB；

②∵△ADC≌△CEB，

∴CD=BE，AD=CE，

∵DE=CE+CD，

∴DE=AD+BE；

（2）DE=AD+BE不成立，DE=AD－BE，

理由如下：

∵BE⊥MN，AD⊥MN，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∴∠EBC+∠ECB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ECB+∠ACE=90°，

∴∠ACD=∠EBC，

又∵AC=BC，

∴△ADC≌△CEB，

∴AD=CE，CD=BE，

∵DE=CE－CD，

∴DE=AD－BE．

7.（2019·齐齐哈尔市期中）综合与探究

如图，等腰直角中，，，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为.

（1）过点作轴，求的长及点的坐标；

（2）连接，若为坐标平面内异于点的点，且以、、为顶点的三角形与全等，请直接写出满足条件的点的坐标；

（3）已知，试探究在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）∵点B坐标为（0，1），点C坐标为（3，0）

∴OB=1，OC=3

∵∠ACB=90°，∠ADC=90°

∴∠CAD=∠BCO

又AC=BC，∠ADC=∠COB=90°

∴△ACD≌△CBO

∴CD=OB=1，AD=OC=3

∴OD=OC+CD=4.

∴点A坐标为（4,3）.

（2）①△OP1C≌△OAC时，此时P1（4，-3）

②△OP2C≌△OAC时，此时P2（-1,3）

③△OP3C≌△OAC时，此时P3（-1,-3）

（3）①当以点A为顶点时，且OA是腰

Q1（8,0），AQ1=AO

②当以点O为顶点时，且OA是腰的锐角三角形时，

即OQ2=OA=5

∴点Q2的坐标为（5,0）；

③当以点O为顶点时，且OA是腰的钝角三角形时，

即OQ3=OA=5

∴点Q3的坐标为（-5,0）.