八年级数学秘籍——全等三角形中的动态问题（解析版）学案

这是一份八年级数学秘籍——全等三角形中的动态问题（解析版）学案，共45页。学案主要包含了典例解析，例1－1，例1－2，变式1－1，变式1－2，变式2－1，变式2－2，变式2－3等内容，欢迎下载使用。
全等三角形中的动态问题


初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。
解决动点问题常见的答题思路是：
1. 注意分类讨论；
2. 仔细探究全等三角形对应边与对应角的变化；
3. 利用时间表示出相应线段或边的长度，列出方程求解.
【典例解析】
【例1－1】（2020·周口市月考）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E离开点A后，运动______ 秒时，△DEB与△BCA全等．

【答案】0，2，6，8.
【解析】解：①当E在线段AB上，AC=BE时，△ACB≌△BED，
∵AC=4，
∴BE=4，
∴AE=8−4=4，
∴点E的运动时间为4÷2=2(秒)；
②当E在BN上，AC=BE时，
∵AC=4，
∴BE=4，
∴AE=8+4=12，
∴点E的运动时间为12÷2=6(秒)；
③当E在线段AB上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在BN上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，
AE=8+8=16，
点E的运动时间为16÷2=8(秒)，
故答案为0，2，6，8.
【例1－2】（2020·江阴市月考）已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC－CD－DA向终点A运动，设点P的运动时间为秒，当的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．

A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7
【答案】C
【解析】解：AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，
由题意得：BP=2t=2，
即t=1，
同理，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，
由题意得：AP=16－2t=2，
即t=7．
当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．
故答案为C．
【变式1－1】（2020·无锡市月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高．点E从点B出发沿直线BC以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F.
(1)试说明：∠A＝∠BCD；
(2)当点E运动多长时间时，CF＝AB.请说明理由．

【答案】见解析.
【解析】解：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠A＋∠ACD＝90°，∠BCD＋∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD.

(2)①当点E在射线BC上移动5s时，CF＝AB.
可知BE＝2×5＝10，
∴CE＝BE－BC＝10－3＝7，
∴CE＝AC
∵∠A＝∠BCD，∠ECF＝∠BCD，
∴∠A＝∠ECF
在△CFE与△ABC中，
∴△CFE≌△ABC，
∴CF＝AB
②当点E在射线CB上移动2s时，CF＝AB.
可知BE′＝2×2＝4，CE′＝BE′＋BC＝4＋3＝7，
∴CE′＝AC.
在△CF′E′与△ABC中
∴△CF′E′≌△ABC，
∴CF′＝AB.
综上，当点E运动5s或2s时，CF＝AB.
【变式1－2】（2020·河北灵寿期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A(0，m)、B(n，0)，且|m﹣n﹣3|+＝0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．
(1)求OA、OB的长；
(2)连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；
(3)过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析．
【解析】解：(1)∵|m﹣n﹣3|+＝0，
∴|m﹣n﹣3|＝＝0，
∴n＝3，m＝6，
∴点A(0，6)，点B(3，0)；
(2)连接PB，

t秒后，AP＝t，OP＝|6﹣t|，
∴S＝OP•OB＝|6﹣t|；(t≥0)
(3)

∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠OAB+∠APD＝90°，∠OPE＝∠APD，
∴∠OBA＝∠OPE，
只要OP＝OB，可证△EOP≌△AOB，
∴AP＝AO﹣OP＝3，或AP′＝OA+OP′＝9
∴t＝3或9．
【例2】（2020·惠州市月考）如图，点 C在线段 BD上，AB⊥BD于 B，ED⊥BD于 D．∠ACE＝90°，且 AC＝5cm，CE＝6cm，点 P以 2cm/s的速度沿 A→C→E向终点 E运动，同时点 Q以 3cm/s的速度从 E 开始，在线段 EC上往返运动（即沿 E→C→E→C→…运动），当点 P到达终点时，P，Q同时停止运动．过 P，Q分别作 BD的垂线，垂足为 M，N．设运动时间为 ts，当以 P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为_____．

【答案】1或或.
【解析】解：①当点P在AC上，点Q在CE上时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5﹣2t＝6﹣3t，解得：t＝1；

②当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5﹣2t＝3t﹣6，解得：t＝；
③当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴2t﹣5＝18﹣3t，解得：t＝；
综上所述：t的值为1或或．
故答案为：1或或．
【变式2－1】（2020·江阴市月考）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．
（1）试证明：AD∥BC．
（2）在移动过程中，小芹发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．

【答案】见解析．
【解析】解：（1）证明：在△ABD和△CDB中，
∴△ABD≌△CDB，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）解：设运动时间为t，点G的运动速度为v，
①当0＜t≤时，若△DEG≌△BFG，则，
∴ ，解得：，v＝3；
②若△DEG≌△BGF，则，
∴，解得： （舍去）；
③当＜t≤时，若△DEG≌△BFG，则，
∴，解得：，v＝1.5；
④若△DEG≌△BGF，则，
∴，解得：，v＝1．
综上，点G的速度为1.5或3或1．
【变式2－2】（2020·重庆巴南月考）如图（1），AB＝4，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3．点 P 在线段 AB 上以 1的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．它们运动的时间为 （s）．
（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当＝1 时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由， 并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点 Q 的运动速度为，是否存在实数，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析.
【解析】解：(1)当t=1时，AP= BQ=1， BP= AC=3，
又∠A=∠B= 90°，
∴△ACP≌△BPQ(SAS).
∴∠ACP=∠BPQ ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*.
∴∠CPQ= 90°，
即线段PC与线段PQ垂直；
(2)①若△ACP≌△BPQ，
则AC= BP，AP= BQ，
得：，解得;
②若△ACP≌△BQP，
则AC= BQ，AP= BP，
，解得：
综上所述，存在或使得△ACP与△BPQ全等.
【变式2－3】（2020·江苏兴化月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC—CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）：
（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；
（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；
（3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）由题意得：t＋3t＝6＋8，
解得：t＝（秒），
当P、Q两点相遇时，t的值为秒；
（2）由题意可知AP＝t，
则CP=；
（3）①当P在AC上，Q在BC上时，
∵∠ACB＝90，
∴∠PCE＋∠QCF＝90°，
∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．
∴∠EPC＋∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°，
∴∠EPC＝∠QCF，
∴△PCE≌△CQF，
∴PC＝CQ，
∴6﹣t＝8﹣3t，解得t＝1，
∴CQ＝8﹣3t＝5；
②当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，
由题意得，6﹣t＝3t﹣8，
解得：t＝3.5，
∴CQ＝3t﹣8＝2.5，
③当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6，
综上，当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6．
【例3】（2020·惠州市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，∠B=∠C，AD＝2BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）若点 Q的运动速度与点 P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点 Q的运动速度与点 P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

【答案】见解析．
【解析】解：（1）①△BPD与△CQP全等，理由如下：
∵AB＝AC＝18cm，AD＝2BD，
∴AD＝12cm，BD＝6cm，
经过2s后，BP＝4cm，CQ＝4cm，
∴BP＝CQ，CP＝6cm＝BD，
在△BPD和△CQP中，
∵BD=CP，∠B＝∠C，BP＝CQ，
∴△BPD≌△CQP（SAS），
②∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
∵△BPD与△CQP全等，∠B＝∠C，
∴BP＝PC＝BC＝5cm，BD＝CQ＝6cm，
∴t＝，
∴点Q的运动速度＝cm/s，
∴当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等；
（2）设经过x秒，点P与点Q第一次相遇，
由题意可得：x﹣2x＝36，解得：x＝90，
∴90﹣×3＝21（s），
∴经过90s点P与点Q第一次在△ABC的边AB上相遇．
【变式3－1】（2019·山西太原月考）如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=5 cm， BC=12 cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．

（1）PC=___cm；(用含t的式子表示)
（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？．
（3）如图2，当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得某时刻△ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）当点P以2cm/s的速度沿BC向点C运动时间为ts时，BP=2t
∵BC=12
∴PC=12－2t
故答案为：12－2t.
（2）∵△ABP≌△DCP
∴BP=CP
∴2t=12－2t
解得：t=3．
（3）存在，理由如下：
①当BP=CQ ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ，
∴PC=AB=5
∴BP=BC－PC=12－5=7
∴2t=7
解得t=3.5
∴CQ=BP=7，则3.5v=7
解得v=2．
②当AB=CQ，PB=PC时，△ABP≌△QCP
∴2t=6
解得t=3
∴CQ=3v=5，
解得v=．
综上所述，当v=2或时，△ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等．
【变式3－2】（2020·四川成都）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．

【答案】3或.
【解析】解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t，
∵∠B＝∠C，
①当BE＝CP＝6，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，
此时，6＝8﹣3t，解得t＝，
∴BP＝CQ＝2，
此时，点Q的运动速度为2÷＝3厘米/秒；
②当BE＝CQ＝6，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，
此时，3t＝8﹣3t，
解得t＝，
∴点Q的运动速度为6÷＝厘米/秒；
故答案为3或．
【习题精练】
1．（2020·江苏东台月考）如图，有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC，BC，线段PQAB，点Q在过点A且垂直于AC的射线AX上来回运动，点P从C点出发，沿射线CA以2cm/s的速度运动，问P点运动___________  秒时t，才能使△ABC≌△QPA全等．

【答案】2或8.
【解析】解：∵△ABC≌△QPA，
∴BC＝PA＝6，
①当点P在线段CA上时，
CP＝AC－AP＝10－6＝4，
∴P点运动时间为：（秒），
②当点P在线段CA的延长线上时，
CP＝AC＋AP＝10＋6＝16，

∴P点运动时间为：（秒），
综上所述，P点运动时间为：2秒或8秒.
2.（2020·江苏泰州月考）如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动_______分钟后△CAP与△PQB全等．

【答案】4.
【解析】解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；
则BP=x，BQ=2x，则AP=（12－x），
分两种情况：
①若BP=AC，则x=4，
AP=12－4=8，BQ=8，AP=BQ，
∴△CAP≌△PBQ；
②若BP=AP，则12－x=x，
解得：x=6，BQ=12≠AC，
此时△CAP与△PQB不全等；
综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；
故答案为：4．
3．（2020·常州市月考）如图，ADC中．∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm．AD⊥AC，AB＝PQ，P、Q两点分别在AC、AD上运动，当AQ＝_____时，△ABC才能和△APQ全等．

【答案】5cm或10cm.
【解析】解：∵AD⊥AC，
∴∠C＝∠PAQ＝90°，
当BC＝AQ＝5cm时，且AB＝PQ，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA，
当AQ＝AC＝10cm时，且AB＝PQ，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA．
故答案为：5cm或10cm．
4.（2020·江西新余期末）如图，中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点和分别以每秒和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过和作于，于.设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为______.

【答案】或7或8.
【解析】解：①当0≤t＜4时，点M在AC上，点N在BC上，

此时AM＝2t，BN＝3t，AC＝8，BC＝15．
当MC＝NC即8−2t＝15−3t时全等，
解得t＝7，舍去；
②当4≤t＜5时，点M在BC上，点N也在BC上，

若MC＝NC，则点M与点N重合，即2t−8＝15−3t，
解得t＝；
当5≤t＜时，点M在BC上，点N在AC上，

当MC＝NC即2t−8＝3t−15时全等，
解得t＝7；
④当≤t＜时，点N停在点A处，点M在BC上，如图④，

当MC＝NC即2t−8＝8，
解得t＝8；
故答案为：或7或8．
5.（2020·武城县月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等？

【答案】3厘米/秒或厘米/秒
【解析】解：设点P运动的时间为t秒，则BP=3t，CP=8－3t，
∵∠B=∠C，
①当BE=CP=6，BP=CQ时，△BPE与△CQP全等，
此时，6=8－3t，解得t=，
∴BP=CQ=2，
此时，点Q的运动速度为2÷=3厘米/秒；
②当BE=CQ=6，BP=CP时，△BPE与△CQP全等，
此时，3t=8－3t，解得t=，
∴点Q的运动速度为6÷=厘米/秒.
6.（2020·盐城市盐都区月考）如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP=________时，才能使以点P、A、Q为顶点的三角形与△ABC全等．

【答案】3或6.
【解析】解：AC中点或C点时，△ABC和△PQA全等，
①当AP=3=BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中，
∴Rt△ACB≌Rt△QAP
②当AP=6=AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中，
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ
故答案为3或6.
7.（2020·四川青羊期中）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，AH是△ABC的高，AH＝4 cm，BC＝8 cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接AD、AE，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）请直接写出CD、CE的长度（用含有t的代数式表示）：CD＝　 　cm，CE＝　 　cm；
（2）当t为多少时，△ABD的面积为12 cm2？
（3）请利用备用图探究，当t为多少时，△ABD≌△ACE？并简要说明理由．

【答案】（1）3t，t；（2）t为s或s；（3）见解析.
【解析】解：（1）根据题意得：CD＝3t，CE＝t；
故答案为3t，t；
（2）∵S△ABDBD•AH＝12，AH＝4，
∴AH×BD＝24，
∴BD＝6．
若D在B点右侧，则CD＝BC﹣BD＝2，t；
若D在B点左侧，则CD＝BC+BD＝14，t；
综上所述：当t为s或s时，△ABD的面积为12 cm2；
（3）①当E在射线CM上时，D在CB上，则需满足BD＝CE，△ABD≌△ACE.

∵CE＝t，BD＝8﹣3t
∴t＝8﹣3t，
∴t＝2，
②当E在CM的反向延长线上时，D在CB延长线上，则需满足BD＝CE，△ABD≌△ACE.

∵CE＝t，BD＝3t﹣8，
∴t＝3t﹣8，
∴t＝4
8．（2020·郑州市月考）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点 A、B 两点的坐标分别 A（m，0），B（0，n），且|m - n -3|+ = 0 ，点 P 从 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线 AO 匀速运动，设点 P 运动时间为 t 秒．

（1）求 OA、OB 的长；
（2）连接 PB，若△POB 的面积不大于 3 且不等于 0，求 t 的范围；
（3）过 P 作直线 AB 的垂线，垂足为 D，直线 PD 与 y 轴交于点 E，在点 P 运动的过程中， 是否存在这样的点 P，使△EOP≌△AOB?若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵，
∴m－n－3=0，2n－6=0
∴m=6，n=3
∴OA=6，OB=3；
（2）①当P在线段AO上时，AP=t，OP=6－t

此时，S△BOP=9－1.5t
∵△BPO的面积不大于3且不等于0，
∴0