2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题17二次函数综合之交点问题学案

这是一份2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题17二次函数综合之交点问题学案，共27页。学案主要包含了经典例题1，经典例题2等内容，欢迎下载使用。

二次函数交点问题
【经典例题1】在平面直角坐标系内，已知点A(−1，0)，点B(1，1)都在直线y=x+上，若抛物线y=ax2−x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是( )
A. a⩽−2 B. a< C. 1⩽a<或a⩽−2 D. −2⩽a<
【解析】∵抛物线y=ax2−x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点，
∴令x+=ax2−x+1，则2ax2−3x+1=0
∴△=9−8a>0
∴a<
①当a<0时，a+1+1⩽0；a−1+1⩽1
解得：a⩽−2
∴a⩽−2
②当a>0时，a+1+1⩾0；a−1+1⩾1
解得：a⩾1
∴1⩽a<
综上所述：1⩽a<或a⩽−2
故选：C.
练习1-1已知二次函数y=x2−3x−4的图象，将其函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，结合图象写出当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，n的取值范围为 .

练习1-2如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，0)，C(2，1).若二次函数y=x2+bx+1的图像与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是( ).

A. b≤-2                             B. b<-2                         C. b≥-2                          D. b>-2


练习1-3对于实数a和b，定义一种新的运算“*”， ，计算(2x+1)*(x+1) =________.若 (2x+1)*(x+1)=m恰有三个不相等的实数根x1，x2，x3，记k=x1+x2+x3 ，则k的取值范围是 ________.
练习1-4 如图，直线y=x+2与y轴交于点A，与直线y=−x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y=(x−h)2+k的顶点在直线y=−x上移动。若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是( )
A. −2⩽h⩽ B. −2⩽h⩽1 C. −1⩽h⩽ D. −1⩽h⩽



【经典例题2】如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，4)，点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP=OB=t，0 (1)填空：△AOB≌△___≌△BMC(不需证明);用含t的代数式表示A点纵坐标：A(0，___)；
(2)求点C的坐标，并用含a，t的代数式表示b；
(3)当t=1时，连接OD，若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O，求a的取值范围；

【解析】(1)如图，∵∠DNA=∠AOB=90°，
∴∠NAD=∠OBA(同角的余角相等).
在△AOB与△DNA中，
OB=NA；∠OBA=∠NAD；AB=DA，
∴△AOB≌△DNA(SAS).
同理△DNA≌△BMC.
∵点P(0，4)，AP=t，
∴OA=OP−AP=4−t.
故答案是：DNA或△DPA；4−t；
(2)由题意知，NA=OB=t，则OA=4−t.
∵△AOB≌△BMC，
∴CM=OB=t，
∴OM=OB+BM=t+4−t=4，
∴C(4，t).
又抛物线y=ax2+bx+c过点O、C，
∴c=0；t=16a+4b+c，
解得b=t−4a；
(3)当t=1时，抛物线为y=ax2+(−4a)x，NA=OB=1，OA=3.
∵△AOB≌△DNA，
∴DN=OA=3，
∵D(3，4)，
∴直线OD为：y=x.
联立方程组，得y=ax2+(−4a)x；y=x，
消去y，得
ax2+(−−4a)x=0，
解得x=0或x=4+，
所以，抛物线与直线OD总有两个交点。
讨论：①当a>0时，4+>3，只有交点O，所以a>0符合题意；
②当a<0时，若4+>3，则a<.
又因为a<0
所以a<−.
若4+<0，则得a>−.
又因为a<0，
所以− 综上所述，a的取值范围是a>0或a<−或−

练习2-1如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，且tan.设抛物线的顶点为，对称轴交轴于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）为抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，且.
①当点在线段(含端点)上运动时，求的变化范围；
②当取最大值时，求点到线段的距离；
③当取最大值时，将线段向上平移个单位长度，使得线段与抛物线有两个交点，求的取值范围.



练习2-2如图，抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（-1，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，保留抛物线在x轴上的点和x轴上方图象，得到的新图象与直线y=t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．当以EF为直径的圆过点Q（2，1）时，求t的值；
（3）在抛物线上，当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤7，请直接写出x的取值范围．




练习2-3已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1的顶点为A．点B的坐标为（3，5）．
（1）求抛物线过点B时顶点A的坐标；
（2）点A的坐标记为（x，y），求y与x的函数表达式；
（3）已知C点的坐标为（0，2），当m取何值时，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1与线段BC只有一个交点．




练习2-4如图，抛物线y=mx2−mx−4与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，与y轴交于点C，且x2−x1=.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P(x1，y1)，Q(x2，y2)是抛物线上的两点，当a⩽x1⩽a+2，x2⩾时，均有y1⩽y2，求a的取值范围；
(3) 抛物线上一点D(1，−5)，直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC=∠MCE时，求点M的坐标。




练习2-5已知二次函数y=ax2+bx+t−1，t<0.
(1)当t=−2时，
①若二次函数图象经过点(1，−4)，(−1，0)，求a，b的值；
②若2a−b=1，对于任意不为零的实数a，是否存在一条直线y=kx+p(k≠0)，始终与二次函数图象交于不同的两点?若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由；






练习2-6两条抛物线C2：与的顶点相同。
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）点A是抛物找C2在第四象限内图象上的一动点，过点A作AP⊥x轴，P为垂足，求AP+OP的最大值；
y
O
C
x
（3）设抛物线C2的顶点为点C，点B的坐标为（，），问在C2的对称轴上是否存在点Q，使线段QB绕点Q顺时针旋转90°得到线段QB'，且点B'恰好落在抛物线C2上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。







练习2-7如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，那么，我们称抛物线C1与C2关联。
(1)已知两条抛物线①：y=x2+2x−1，②：y=−x2+2x+1，判断这两条抛物线是否关联，并说明理由。
(2)抛物线C1:y=(x+1)2−2，动点P的坐标为(t，2)，将抛物线C1绕点P(t，2)旋转180°得到抛物线C2，若抛物线C2与C1关联，求抛物线C2的解析式。
(3)若A为抛物线C1:y=(x+1)2−2的顶点，B是与C1关联的抛物线的顶点，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°得到线段AB′，若点B′恰好在y轴上，求点B′的纵坐标。

练习2-8已知，抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1，0)，且a (1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示)；
(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
(3)a=−1时，直线y=−2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0)，若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围。





参考答案
练习1-1【解析】令x2−3x−4=0，
解得：x1=−1，x2=4，
故A，B两点的坐标分别为A(−1，0)，B(4，0).
如图，当直线y=x+n(n<1)，
经过A点时，可得n=1，
当直线y=x+n经过B点时，
可得n=−4，
∴n的取值范围为−4 翻折后的二次函数解析式为二次函数y=−x2+3x+4.
当直线y=x+n与二次函数y=−x2+3x+4的图象只有一个交点时，
x+n=−x2+3x+4，
整理得：x2−2x+n−4=0，
△=4−4(n−4)=20−4n=0，
解得：n=5，
所以n的取值范围为：n>5.
由图可知，符合题意的n的取值范围为：−45.
故答案为：−45.


练习1-2（2019九上·许昌期末）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，0)，C(2，1).若二次函数y=x2+bx+1的图像与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是( ).

A. b≤-2                             B. b<-2                         C. b≥-2                          D. b>-2
【解答】当二次函数y=x2+bx+1的图象经过点B（1，0）时，1+b+1=0.解得b=-2，故排除B、D；
因为y=x2+bx+1与y轴交于点（0，1），所以（0，1）与点C关于直线x=1对称，当对称轴x≤1时，二次函数y=x2+bx+1与阴影部分一定有交点，所以-≤1，解得b≥-2，故答案为：C.
【分析】根据y=x2+bx+1与y轴交于点（0，1），且与点C关于x=1对称，则对称轴x≤1时，二次函数y=x2+bx+1与阴影部分一定有交点，据此可求出b的取值范围.

练习1-3（2020九上·路桥期末）对于实数a和b，定义一种新的运算“*”， ，计算(2x+1)*(x+1) =________.若 (2x+1)*(x+1)=m恰有三个不相等的实数根x1，x2，x3，记k=x1+x2+x3 ，则k的取值范围是 ________.
答案：;-1

练习1-4【解析】∵将y=x+2与y=−x联立得：y=x+2；y=−x，解得：x=−2；y=1.
∴点B的坐标为(−2，1).
由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为(h，k).
∵将x=h，y=k，代入得y=−x得：−h=k，解得k=−h，
∴抛物线的解析式为y=(x−h)2−h.
如图1所示：当抛物线经过点C时。

将C(0，0)代入y=(x−h)2−h得：h2−h=0，解得：h1=0(舍去)，h2=.
如图2所示：当抛物线经过点B时。

将B(−2，1)代入y=(x−h)2−h得：(−2−h)2−h=1，整理得：2h2+7h+6=0，解得：h1=−2，h2=−(舍去).
综上所述，h的范围是−2⩽h⩽.
故选A.

练习2-1【解析】（1）根据题意得：，，
在中
，且，
∴，
，将点坐标代入得：，
故抛物线解析式为：；
（2）①由（1）知，抛物线的对称轴为：x=2，顶点M(2，4)，

设P点坐标为（2，m）（其中0≤m≤4），
则PC2=22+(m-3)2，PQ2=m2+(n-2)2，CQ2=32+n2，
∵PQ⊥PC，
∴在Rt△PCQ中中，由勾股定理得：PC2+PQ2=CQ2，
即22+(m-3)2+ m2+(n-2)2=32+n2，整理得：
n==（0≤m≤4），
∴当时，n取得最小值为；当时，n取得最大值为4，
∴≤n≤4；
②由①知：当n取最大值4时，m=4，

∴P（2，4），Q（4，0）
则PC=，PQ=2，CQ=5，
设点P到线段CQ距离为，
由，
得：
故点到线段距离为；
③由②可知：当取最大值4时，，
线段的解析式为：，
设线段向上平移个单位长度后的解析式为：，
当线段向上平移，使点恰好在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点
此时对应的点的纵坐标为：，
将代入得：，
当线段继续向上平移，线段与抛物线只有一个交点时，

联解
得：，化简得：
，
由，得，
当线段与抛物线有两个交点时，.

练习2-2
【解析】（1）抛物线的对称轴是x=2，且过点A(-1，0)点，∴，解得：，
∴抛物线的函数表达式为：；
（2）解：∵，∴x轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为：=(-1＜x＜5)，其顶点为(2，9)．
∵新图象与直线y=t恒有四个交点，∴0＜t＜9．
设E(x1，y1)，F(x2，y2)．
由得，
解得，
∵以EF为直径的圆过点Q(2，1)，∴，
即，解得．
又∵0＜t＜9，∴t的值为；

（3）x的取值范围是：或．


练习2-3【解析】（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1过点B（3，5），
∴把B（3，5）代入y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1，整理得，m2﹣4m+3＝0，
解，得m1＝1，m2＝3，
当m＝1时，y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
其顶点A的坐标为（1，1）；
当m＝3时，y＝x2﹣6x+m2+14＝（x﹣3）2+5，
其顶点A的坐标为（3，5）；
综上，顶点A的坐标为（1，1）或（3，5）；
（2）∵y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1＝（x﹣m）2+2m﹣1，
∴顶点A的坐标为（m，2m﹣1），
∵点A的坐标记为（x，y），
∴x＝m，
∴y＝2x﹣1；
（3）由（2）可知，抛物线的顶点在直线y＝2x﹣1上运动，且形状不变，
由（1）知，当m＝1或3时，抛物线过B（3，5），
把C（0，2）代入y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1，得m2+2m﹣1＝2，
解，得m＝1或﹣3，
所以当m＝1或﹣3时，抛物线经过点C（0，2），
如图所示，当m＝﹣3或3时，抛物线与线段BC只有一个交点（即线段CB的端点），
当m＝1时，抛物线同时过点B、C，不合题意，
所以m的取值范围是﹣3≤m≤3且m≠1．



练习2-4【解析】(1)函数的对称轴为：x=−==，而且x2−x1=，
将上述两式联立并解得：x1=−，x2=4，
则函数的表达式为：y=m(x+)(x−4)=m(x2−4x+x−6)，
即：−6m=−4，解得：m=，
故抛物线的表达式为：y=x2−x−4；
(2)由(1)知，函数的对称轴为：x=，
则x=和x=−2关于对称轴对称，故其函数值相等，
又a⩽x1⩽a+2，x2⩾时，均有y1⩽y2，
结合函数图象可得：a⩾−2a+2⩽，解得：−2⩽a⩽；
(3)如图，连接BC、CM，过点D作DG⊥OE于点G，
而点B. C. D的坐标分别为：(4，0)、(0，−4)、(1，−5)，
则OB=OC=4，CG=GC=1，BC=4，CD=，
故△BOC、△CDG均为等腰直角三角形，
∴∠BCD=180°−∠OCB−∠GCD=90°，
在Rt△BCD中，tan∠BDC=BC/CD=4/=4，
∠BDC=∠MCE，
则tan∠MCE=4，
将点B. D坐标代入一次函数表达式：y=mx+n并解得：
直线BD的表达式为：y=x−，故点E(0，−)，
设点M(n，n−)，过点M作MF⊥CE于点F，
则MF=n，CF=OF−OC=−n，
tan∠MCE=MF/CF==4，
解得：n=，
故点M(，−).


练习2-5【解析】（1）①当t=-2时，二次函数为y=ax2+bx-3．
把（1，-4），（-1，0）分别代入y=ax2+bx-3，
得a+b−3＝−4；a−b−3＝0
，解得a＝1；b＝−2，
所以a=1，b=-2；
②∵2a-b=1，∴b=2a-1，
∴当直线y=kx+p与二次函数y=ax2+bx-3图象相交时，kx+p=ax2+（2a-1）x-3，
整理，得ax2+（2a-k-1）x-3-p=0，
∴△=（2a-k-1）2+4a（3+p），
若直线与二次函数图象交于不同的两点，则△>0，
∴（2a-k-1）2+4a（3+p）>0，
整理，得4a2-4a（k-p-2）+（1+k）2>0，
∵无论a取任意不为零的实数，总有4a2>0，（1+k）2≥0，
∴当k-p-2=0时，总有△>0，
∴可取p=1，k=3，
∴对于任意不为零的实数a，存在直线y=3x+1，始终与二次函数图象交于不同的两点；

练习2-6【解析】y2=x2-2x-3
(2)AP+OP的最大值是
（3）当点Q在顶点C的下方时，Q（1，-5）
当点Q在顶点C的上方时，Q（1，-2）



练习2-7【解析】(1)∵①抛物线y=x2+2x−1=(x+1)2−2的顶点坐标为M(−1，−2)，
∴②当x=−1时，y=−x2+2x+1=−1−2+1=−2，
∴点M在抛物线②上；
∴抛物线①与抛物线②有关联；
∵抛物线②y=−x2+2x+1=−(x−1)2+2，其顶点坐标为(1，2)，
经验算：(1，2)在抛物线①上，
∴抛物线①、②是关联的；
(2)抛物线C1:y=(x+1)2−2的顶点M的坐标为(−1，−2)，
∵动点P的坐标为(t，2)，
∴点P在直线y=2上，
作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E，F，则ME=NF=4，
∴点N的纵坐标为6，
当y=6时，(x+1)2−2=6，
解得：x1=7，x2=−9，
①设抛物C2的解析式为：y=a(x−7)2+6，
∵点M(−1，−2)在抛物线C2上，
∴−2=a(−1−7)2+6，
∴a=−.
∴抛物线C2的解析式为：y=−(x−7)2+6；
②设抛物C2的解析式为：y=a(x+9)2+6，
∵点M(−1，−2)在抛物线C2上，
∴−2=a(−1+9)2+6，
∴a=−18.
∴抛物线C2的解析式为：y=−(x+9)2+6；
(3)若A为抛物线C1:y=(x+1)2−2的顶点，
∴A(−1，−2)，
∵点B′恰好在y轴上，
∴AN=1，
∵BA⊥B′A，
∴∠BAM+∠B′AN=90°，
∵∠BAM+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠B′AN，
∵AB=AB′，
∴△ABM≌△B′AN，
∴BM=AN=1，AM=B′N，
∴B点的纵坐标为−1，
把y=−1代入y=(x+1)2−2
解得：x=−1+2或x=−1−2，
∴B′(0，2−2)或(0，−2−2)，
∴点B′的纵坐标是(0，2−2)或(0，−2−2).


练习2-8【解析】(1)∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1，0)，
∴a+a+b=0，即b=−2a，
∴y=ax2+ax+b=ax2+ax−2a=a(x+)2−，
∴抛物线顶点D的坐标为(−，−)；
(2)∵直线y=2x+m经过点M(1，0)，
∴0=2×1+m，解得m=−2，
∴y=2x−2，
则y=2x−2；y=ax2+ax−2a，
得ax2+(a−2)x−2a+2=0，
∴(x−1)(ax+2a−2)=0，
解得x=1或x=2a−2，
∴N点坐标为(2a−2，4a−6)，
∵a ∴a<0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，
∵抛物线对称轴为x=−=−，
∴E(−，−3)，
∵M(1，0)，N(2a−2，4a−6)，
设△DMN的面积为S，
∴S=S△DEN+S△DEM=|(2a−2)−1|⋅|−−(−3)|=−−，
(3)当a=−1时，
抛物线的解析式为：y=−x2−x+2=−(x−)2+，
有y=−x2−x+2；y=−2x，
−x2−x+2=−2x，
解得：x1=2，x2=−1，
∴G(−1，2)，
∵点G、H关于原点对称，
∴H(1，−2)，
设直线GH平移后的解析式为：y=−2x+t，
−x2−x+2=−2x+t，
x2−x−2+t=0，
△=1−4(t−2)=0，
t=94，
当点H平移后落在抛物线上时，坐标为(1，0)，
把(1，0)代入y=−2x+t，
t=2，
∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2⩽t<.