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2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题3.1二次函数应用之利润问题学案
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这是一份2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题3.1二次函数应用之利润问题学案，共34页。学案主要包含了经典例题1——图象型，经典例题2——两点型，经典例题3——表格型，经典例题4，经典例题5，经典例题6等内容，欢迎下载使用。
2021中考专项训练：二次函数应用题
基本公式：总利润=（售价-进价）*销售量
总利润=总售价-总成本
利润率=
成本一般包括固定成本（进价等）和浮动成本（房租、水电费等）
类型一：一次函数型（销售量与销售单价成一次函数关系）
【经典例题1——图象型】某公司去年年初投资1200万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本60元，按规定，该产品售价不得低于100元/件且不超过200元/件，该产品的年销售量y（万件）与产品售价x（元/件）之间的关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求该公司去年所获利润的最大值；
（3）在去年获利最大的前提下，公司今年重新确定产品的售价，能否使去年和今年共获利1320万元？若能，请求出今年的产品售价；若不能，请说明理由．
【解析】(1)设y=kx+b，
则，
解得，
∴y与x的函数关系式为y=−x+30(100⩽x⩽200)；
(2)设公司去年获利w万元
则w=(x−60)(−x+30)−1200=−(x−180)2+240，
∵−<0，100⩽x⩽200，
∴当x=180时，w取最大值240，
∴去年获利最大为240万元；
(3)根据题意，得(x−60)(−110x+30)+240=1320，
解得x1=120，x2=240，
∵100⩽x⩽200，
∴x=120.
答：今年的产品售价定为120元/件时，可使去年和今年共获利1320万元。
【经典例题2——两点型】某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
【解析】(1)设y=kx+b，
把(22，36)与(24，32)代入得：则，
解得，
则y=−2x+80；
(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，
根据题意得：(x−20)y=150，
则(x−20)(−2x+80)=150，
整理得：x2−60x+875=0，
(x−25)(x−35)=0，
解得：x1=25，x2=35，
∵20⩽x⩽28，
∴x=35(不合题意舍去)，
答：每本纪念册的销售单价是25元；
(3)由题意可得：
w=(x−20)(−2x+80)=−2x2+120x−1600=−2(x−30)2+200，
此时当x=30时，w最大，
又∵售价不低于20元且不高于28元，
∴x<30时，y随x的增大而增大，即当x=28时，w最大=−2(28−30)2+200=192(元)，
答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元。
【经典例题3——表格型】某公司准备购进一批产品进行销售，该产品的进货单价为6元/个.根据市场调查，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足一次函数关系，关于日销售量y（个）与销售单价x（元/个）的几组数据如下表：
x
10
12
14
16
y
300
240
180
m
（1）求出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）及m的值.
（2）按照（1）中的销售规律，当销售单价定为17.5元/个时，日销售量为__________个，此时，获得日销售利润是__________元.
（3）为防范风险，该公司将日进货成本控制在900元（含900元）以内，按照（1）中的销售规律，要使日销售利润最大，则销售单价应定为多少？并求出此时的最大利润.
【解析】
(1)y是x的一次函数，设y=kx+b，
图象过点(10，300)，(12，240)，
，
解得：，
∴y=−30x+600，
当x=16时，m=120；
∴y与x之间的函数关系式为y=−30x+600，m的值为120；
(2)−30×17.5+600=−525+600=75(个)；
(17.5−6)×75=11.5×75=862.5(元).
故日销售量为75个，获得日销售利润是862.5元；
故答案为：75，862.5；
(3)由题意得：6(−30x+600)⩽900，
解得x⩾15.
w=(x−6)(−30x+600)=−30x2+780x−3600，
即w与x之间的函数关系式为w=−30x2+780x−3600，
w=−30x2+780x−3600的对称轴为：x=，
∵a=−30<0，
∴抛物线开口向下，当x⩾15时，w随x增大而减小，
∴当x=15时，w最大=1350，
即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元。
练习1-1.“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．
练习1-2.某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使
销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？
练习1-3.某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：
价格x（元/个）
…
30
40
50
60
…
销售量y（万个）
…
5
4
3
2
…
同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元．
（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．
（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？
（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？
练习1-4.某商品销售量y(件)与售价x(元)满足一次函数关系，部分对应值如下表：当售价为60元时，每件商品能获得50%的利润。
(1)求y与x的函数关系式；
(2)售价为多少时利润最大?最大利润为多少?
(3)由于原材料价格上涨，导致每件成本增加a元，结果发现当售价为60元和售价为80元时，利润相同，求a的值。
练习1-5.国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A，B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元，花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同，销售中发现A型汽车的每周销量yA（台）与售价x（万元/台）满足函数关系式yA=﹣x+20，B型汽车的每周销量yB（台）与售价x（万元/台）满足函数关系式yB=﹣x+14．
（1）求A、B两种型号的汽车的进货单价；
（2）已知A型汽车的售价比B型汽车的售价高2万元/台，设B型汽车售价为t万元/台．每周销售这两种车的总利润为W万元，求W与t的函数关系式，A、B两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？
类型二：售价和成本双变型
【经典例题4】国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于80万元，已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价y1（万元）之间满足关系式y1＝150﹣2x，月产量x（套）与生产总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系．
（1）直接写出y2与x之间的函数关系式；
（2）求月产量x的范围；
（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？
【解析】
(1)设函数关系式为y2=kx+b，把坐标(30，1400)(40，1700)代入，
得，
解得：，
∴函数关系式y2=30x+500；
(2)依题意得：，
解得：25⩽x⩽35；
(3)∵W⋅y1−y2=x(150−2x)−(500+30x)=−2x2+120x−500，
∴W=−2(x−30)2+1300
∵25<30<35，
∴当x=30时，W最大=1300
答：当月产量为30件时，利润最大，最大利润是1300万元。
练习2-1.随着合肥的快速发展，人们的环保意识逐渐增强，对花木的需求量也逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图（1）所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图（2）所示．（注：利润与投资量的单位：万元）
（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；
（2）如果这位专业户计划以10万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
练习2-2.绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．
（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？
练习2-3.传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：
（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？
（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）
类型三：分段函数型
【经典例题5】（2019云南）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示：
（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；
（2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．
【解析】
(1)当6⩽x⩽10时，设y与x的关系式为y=kx+b(k≠0)
根据题意得，解得
∴y=−200x+1200
当10
(2)由已知得：W=(x−6)y
当6⩽x⩽10时，
W=(x−6)(−200x+1200)=−200(x−)2+1250
∵−200<0，抛物线的开口向下
∴x=时，取最大值，
∴W=1250
当10
∴x=12时取得最大值，W=200×12−1200=1200
综上所述，当销售价格为8.5元时，取得最大利润，最大利润为1250元。
练习3-1.小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元. 由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x天(1≤x≤15且x为整数)时每盒成本为p元，已知p与x之间满足一次函数关系：第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元．每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：
第x天
1≤x≤6
6＜x≤15
每天的销售量y(盒)
10
x＋6
（1）求p与x的函数关系式；
（2）若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大？最大销售利润是多少元？
（3）在“荷花美食”期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果．
练习3-2.（2019南充）在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元．
（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？
（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售，笔记本一律按原价销售，学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？
练习3-3.湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．
（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；
（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示．
①分别求出当和时，y与t的函数关系式；
②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出最大值．（利润=销售总额-总成本）
练习3-4.某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线AB﹣BC﹣CD所示（不包括端点A）．
（1）当100＜x＜200时，直接写y与x之间的函数关系式： ．
（2）蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润？
练习3-5.某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到35元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为．
（年获利=年销售收入-生产成本-投资成本）
（1）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损．若是盈利，最大利润是多少？若是亏损，最小亏损是多少？
（2）2020年初我国爆发新冠肺炎，该公司决定向红十字会捐款20万元，另外每销售一件产品，就抽出1元钱作为捐款，若除去第一年的最大盈利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到2020年底，两年的总盈利不低于57.5万元，请你确定此时销售单价的范围.
练习3-6.某大学生利用40天社会实践参与了某公司旗下一家加盟店经营，了解到一种成本为20元/ 件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示：
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件；
（2）这40天中该加盟店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司为鼓励加盟店接收大学生参加实践活动决定每销售一件商品就发给该 加盟店m(m≥2)元奖励.通过该加盟店的销售记录发现，前10天中，每天获得奖励后的利润随时间x(天)的增大而增大，求m的取值范围.
类型四：售价浮动型
（1）利润型：已知进价a元，原售价b元，销量m件，销售量随售价提高（降低）d元而减少（增加）c件，获得利润w元：
①若设售价x元，则列式为
②若设提（降）价x元，则列式为
【经典例题6】某地为坚决打赢2020年脱贫攻坚战，实行精准脱贫，帮助李大爷在网上销售自己手工做的竹帘，其成本为每张40元，当售价为每张80元时，每月可销售100张。为了吸引更多顾客，采取降价措施。据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5张。设每张竹帘的售价为x元(x为正整数)，每月的销售量为y张。
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少?
(3)李大爷深感扶贫政策给自己带来的好处，为了回报社会，他决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生。为了保证捐款后每月利润不低于4220元，求销售单价应该定在什么范围内?
【解析】
（1）由题意可得：y=100+5（80-x）整理得y=-5x+500；
（2）由题意，得：w=（x-40）（-5x+500）=-5x2+700x-20000=-5（x-70）2+4500
∵a=-5<0．
∴w有最大值
即当x=70时，w最大值=4500
∴应降价80-70=10（元）
答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；
（3）由题意，得：-5（x-70）2+4500=4220+200
解之，得：x1=66，x2=74，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=70，
∴66≤x≤74．
练习4-1.某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）。设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元。
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
练习4-3.某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元. 设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围.
(2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
(3)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
练习4-4.某特产专卖店销售“中江柚”，已知“中江柚”的进价为每个10元，现在的售价是每个16元，每天可卖出120个，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10个；每降价1元，每天可多卖出30个．
（1）如果专卖店每天想要获得770元的利润，且要尽可能的让利给顾客，那么售价应涨多少元？
（2）请你帮专卖店老板算一算，如何定价才能使利润最大，并求出此时的最大利润．
练习4-5.某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
销售价格x（元/千克）
2
4
...
10
市场需求量q（百千克）
12
10
...
4
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克．
（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．
①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围；
②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当x为______元/千克时，利润y有最大值；若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为______元/千克．
参考答案
类型一：一次函数型（销售量与销售单价成一次函数关系）
练习1-1. 【解析】
(1)由题意得： ，
解得：．
故y与x之间的函数关系式为：y=−10x+700，
(2)由题意，得
−10x+700≥240，
解得x≤46，
设利润为w=(x−30)⋅y=(x−30)(−10x+700)，
w=−10x2+1000x−21000=−10(x−50)2+4000，
∵−10<0，
∴x<50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w大=−10(46−50)2+4000=3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
(3)w−150=−10x2+1000x−21000−150=3600，
−10(x−50)2=−250，
x−50=±5，
x1=55，x2=45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
练习1-2.
【解析】(1)设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b，
将点(30，100)、(45，70)代入一次函数表达式得：，解得：，
故函数的表达式为：y=−2x+160；
(2)由题意得：w=(x−30)(−2x+160)=−2(x−55)2+1250，
∵−2<0，故当x<55时，w随x的增大而增大，而30⩽x⩽50，
∴当x=50时，w由最大值，此时，w=1200，
故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；
(3)由题意得：(x−30)(−2x+160)⩾800，
解得：40⩽x⩽70，
∴每天的销售量y=−2x+160⩾20，
∴每天的销售量最少应为20件。
练习1-3.【解析】
（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，
设解析式为：y=kx+b，
则，
解得：，
故函数解析式为：y=-x+8；
（2）根据题意得出：
z=（x-20）y-40
=（x-20）（-x+8）-40
=-x2+10x-200，
=-（x2-100x）-200
=-[（x-50）2-2500]-200
=-（x-50）2+50，
故销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元．
（3）当公司要求净得利润为40万元时，即-（x-50）2+50=40，解得：x1=40，x2=60．
如上图，通过观察函数y=-（x-50）2+50的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60．
而y与x的函数关系式为：y=-x+8，y随x的增大而减少，
因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个．
练习1-4.
【解析】(1)设y=kx+b，
将(55，350)，(50，400)代入，
得：，
解得：，
∴y=−10x+900；
(2)由售价为60元时，每件商品能获得50%的利润知进价为40元/件，设利润为W，
则W=y⋅(x−40)=(−10x+900)(x−40)
整理得W=−10x2+1300x−36000
=−10(x−65)2+6500
故当售价x=65元时，得最大利润6500元
(3)依题意得，(−10×60+900)(60−40−a)=(−10×80+900)(80−40−a)
整理得3(20−a)=40−a，
解得a=10
练习1-5.
【解析】(1)设A种型号的汽车的进货单价为m万元，
依题意得：，
解得：m=10，
检验：m=10时，m≠0，m−2≠0，
故m=10是原分式方程的解，
故m−2=8.
答：A种型号的汽车的进货单价为10万元，B种型号的汽车的进货单价为8万元；
(2)根据题意得出：
W=(t+2−10)[−(t+2)+20]+(t−8)(−t+14)=−2t2+48t−256，=−2(t−12)2+32，
∵a=−2<0，抛物线开口向下，
∴当t=12时，W有最大值为32，
12+2=14，
答：A种型号的汽车售价为14万元/台，B种型号的汽车售价为12万元/台时，每周销售这两种车的总利润最大，最大总利润是32万元。
类型二：售价和成本双变型
练习2-1.【解析】
(1)设y1=kx，由图1所示，函数图象过(1，2)
∴k=2
∴y1=2x；
∵该抛物线的顶点是原点
∴设y2=ax2，
由图2所示，函数y2=ax2的图象过(2，2)
∴a=
∴y2=x2；
(2)设这位专业户投入种植花卉x万元(0⩽x⩽10)，则投入种植树木(10−x)万元，他获得的利润是w万元，根据题意得：
w(10−x)+x2=x2−2x+20=(x−2)2+18，
∴当x=2时，w的最小值是18
∵0⩽x⩽10
∴当x=10时，w的最大值是50.
∴他至少获得18万元利润，他能获取的最大利润是50万元。
练习2-2.
【解析】设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b，
∵经过点(0，168)与(180，60)，
∴，解得： ，
∴产品销售价y1（元）与产量x(kg)之间的函数关系式为y1=−x+168(0≤x≤180)；
由题意，可得当0≤x≤50时，y2=70；
当130≤x≤180时，y2=54；
当50
∴，解得 ，
∴当50
设产量为xkg时，获得的利润为W元，
①当0≤x≤50时，W=x(−x+168−70)=−(x−)2+，
∴当x=50时，W的值最大，最大值为3400；
②当50
③当130≤x≤180时，W=x(−x+168−54)=−(x−95)2+5415，
∴当x=130时，W的值最大，最大值为4680．
因此当该产品产量为110kg时，获得的利润最大，最大值为4840元．
练习2-3.【解析】
(1)设李明第x天生产的粽子数量为280只，
由题意可知：20x+80=280，
解得x=10.
答：第10天生产的粽子数量为280只。
(2)由图象得，当0⩽x<10时，p=2；
当10⩽x⩽20时，设P=kx+b，
把点(10，2)，(20，3)代入得，，
解得，
∴p=0.1x+1，
①0⩽x⩽6时，w=(4−2)×34x=68x，当x=6时，w最大=408(元)；
②6
∴当x=10时，w最大=560(元)；
③10
∴当x=−=13时，w最大=578(元)；
综上，当x=13时，w有最大值，最大值为578.
类型三：分段函数型
练习3-1.【解析】
（1）设p=kx+b（k≠0），
∵第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，
∴，
解得，
所以，p=x+18；
（2）1≤x≤6时，w=10[50-（x+18）]=-10x+320，
6
1≤x≤6时，∵-10<0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=1时，w最大为-10+320=310，
6
综上所述，第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元；
（3）w=325时，-x2+26x+192=325，
x2-26x+133=0，
解得x1=7，x2=13，
所以，7≤x≤13时，即第7、8、9、10、11、12、13天共7天销售利润不低于325元．
练习3-2.
【解析】(1)钢笔、笔记本的单价分别为x、y元，
根据题意得，，
解得：，
答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元；
(2)设钢笔的单价为a元，购买数量为b元，支付钢笔和笔记本的总金额w元，
①当30⩽b⩽50时，a=10−0.1(b−30)=−0.1b+13，
w=b(−0.1b+13)+6(100−b)=−0.1b2+7b+600=−0.1(b−35)2+722.5，
∵当b=30时，w=720，当b=50时，w=700，
∴当30⩽b⩽50时，700⩽w⩽722.5；
②当50
∴这次奖励一等奖学生50人时，购买奖品总金额最少，最少为700元。
练习3-3.【解析】
(1)由题意，得：，
解得，
答：a的值为0.04，b的值为30；
(2)①当0⩽t⩽50时，设y与t的函数解析式为y=k1t+n1，
将(0，15)、(50，25)代入，得：，
解得：，
∴y与t的函数解析式为y=t+15；
当50
解得：，
∴y与t的函数解析式为y=−+30；
②由题意，当0⩽t⩽50时，
W=20000(t+15)−(400t+300000)=3600t，
∵3600>0，
∴当t=50时，W最大值=180000(元)；
当50
∴当t=55时，W最大值=180250(元)，
综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元。
练习3-4.【解析】
(1)设当100
∴y与x之间的函数关系式为：y=−0.02x+8；
故答案为：y=−0.02x+8；
(2)当采购量是x千克时，蔬菜种植基地获利W元，
当0
当100
∴当x=150时，W有最大值为450元，
综上所述，一次性采购量为150千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为450元；
(3)∵400<418<450，
∴根据(2)可得，−0.02(x−150)2+450=418
解得：x1=110，x2=190，
答：经销商一次性采购的蔬菜是110千克或190千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润。
练习3-5.【解析】
（1）①当 25≤x≤30时，W=（40-x）（x-20）-25-100=-x2+60x-925=-（x-30）2-25，
故当x=30时，W最大为-25，即公司最少亏损25万；
②当30
故当x=35时，W最大为-12.5，即公司最少亏损12.5万；
对比①，②得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；
答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；
（2）①当 25≤x≤30时，W=（40-x）（x-20-1）-12.5-20=-x2+61x-872.5，
令W=5.5，则-x2+61x-872.5=57.5，
化简得：x2-61x+930=0，
解得：x1=31，x2=30，
此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，x=30；
②当30
化简得：x2-71x+1230=0，
解得：x1=30，x2=41，
此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，30
练习3-6.
【解析】(1)当1⩽x⩽20时，30+x=35，解得x=10
当21⩽x⩽40时，20+，解得x=35
(2)当1⩽x⩽20时，w=(30+x−20)(50−x)=−(x−15)2+612.5，
当x=15时，w有最大值为612.5
当21⩽x⩽40时，w=(20+−20)(50−x)=−525，
当x=21时，w有最大值为725
∵612.5<725
∴第21天时获得最大利润，最大利润为725
(3)W=−x2+15x+500+m(50−x)=−−x2+(15−m)x+500+50m，
∵前10天每天获得奖励后的利润随时间x(天)的增大而增大，
∴对称轴为x=−=15−m⩾10，解得：m⩽5
∴2⩽m⩽5.
类型三：售价浮动型
练习4-1.【解析】
(1)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，
则每件商品的利润为：(60−50+x)元，
总销量为：(200−10x)件，
商品利润为：
y=(60−50+x)(200−10x)，=(10+x)(200−10x)，=−10x2+100x+2000.
∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，
∴0
故当x=5时，最大月利润y=2250元。
这时售价为60+5=65(元).
练习4-2.
【解析】
（1）由题意得：200-10×（52-50）=200-20=180（件），
故答案为：180；
（2）由题意得：
y=（x-40）[200-10（x-50）]
=-10x2+1100x-28000
=-10（x-55）2+2250
∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．
练习4-3.【解析】
(1)根据题意得：
y=(30+x−20)(230−10x)=−10x2+130x+2300，
自变量x的取值范围是：0
解得x1=2，x2=11(不合题意，舍去)
当x=2时，30+x=32(元)
答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元。
(3)根据题意得：
y=−10x2+130x+2300
=−10(x−6.5)2+2722.5，
∵a=−10<0，
∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5，
∵0
当x=7时，30+x=37，y=2720(元)，
答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元。
练习4-4.【解析】
(1)设售价应涨价x元，则：
(16+x−10)(120−10x)=770，
解得：x1=1，x2=5.
又要尽可能的让利给顾客，则涨价应最少，所以x2=5(舍去).
∴x=1.
答：专卖店涨价1元时，每天可以获利770元。
(2)设单价涨价x元时，每天的利润为w1元，则：
w1=(16+x−10)(120−10x)=−10x2+60x+720=−10(x−3)2+810(0⩽x⩽12)，
即定价为：16+3=19(元)时，专卖店可以获得最大利润810元。
设单价降价z元时，每天的利润为w2元，则：
w2=(16−z−10)(120+30z)=−30z2+60z+720=−30(z−1)2+750(0⩽z⩽6)，
即定价为：16−1=15(元)时，专卖店可以获得最大利润750元。
综上所述：专卖店将单价定为每个19元时，可以获得最大利润810元。
练习4-5.【解析】
(1)由表格的数据，设q与x的函数关系式为：q=kx+b
根据表格的数据得，解得
故q与x的函数关系式为：q=−x+14，其中2⩽x⩽10
(2)①当每天的半成品食材能全部售出时，有p⩽q
即x+8⩽−x+14，解得x⩽4
又2⩽x⩽10，所以此时2⩽x⩽4
②由①可知，当2⩽x⩽4时，
y=(x−2)p=(x−2)(x+8)=x2+7x−16
当4
(3)当2⩽x⩽4时，
y=x2+7x−16的对称轴为x=−=−=−7
∴当2⩽x⩽4时，除x的增大而增大
∴x=4时有最大值，y=×42+7×4−16=20
当4
∵−1<0，>4
∴x=时取最大值
即此时y有最大利润
要使每天的利润不低于24百元，则当2⩽x⩽4时，显然不符合
故y=−(x−)2+⩾24，解得x⩽5
故当x=5时，能保证不低于24百元
故答案为：，5
2021中考专项训练：二次函数应用题
基本公式：总利润=（售价-进价）*销售量
总利润=总售价-总成本
利润率=
成本一般包括固定成本（进价等）和浮动成本（房租、水电费等）
类型一：一次函数型（销售量与销售单价成一次函数关系）
【经典例题1——图象型】某公司去年年初投资1200万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本60元，按规定，该产品售价不得低于100元/件且不超过200元/件，该产品的年销售量y（万件）与产品售价x（元/件）之间的关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求该公司去年所获利润的最大值；
（3）在去年获利最大的前提下，公司今年重新确定产品的售价，能否使去年和今年共获利1320万元？若能，请求出今年的产品售价；若不能，请说明理由．
【解析】(1)设y=kx+b，
则，
解得，
∴y与x的函数关系式为y=−x+30(100⩽x⩽200)；
(2)设公司去年获利w万元
则w=(x−60)(−x+30)−1200=−(x−180)2+240，
∵−<0，100⩽x⩽200，
∴当x=180时，w取最大值240，
∴去年获利最大为240万元；
(3)根据题意，得(x−60)(−110x+30)+240=1320，
解得x1=120，x2=240，
∵100⩽x⩽200，
∴x=120.
答：今年的产品售价定为120元/件时，可使去年和今年共获利1320万元。
【经典例题2——两点型】某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
【解析】(1)设y=kx+b，
把(22，36)与(24，32)代入得：则，
解得，
则y=−2x+80；
(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，
根据题意得：(x−20)y=150，
则(x−20)(−2x+80)=150，
整理得：x2−60x+875=0，
(x−25)(x−35)=0，
解得：x1=25，x2=35，
∵20⩽x⩽28，
∴x=35(不合题意舍去)，
答：每本纪念册的销售单价是25元；
(3)由题意可得：
w=(x−20)(−2x+80)=−2x2+120x−1600=−2(x−30)2+200，
此时当x=30时，w最大，
又∵售价不低于20元且不高于28元，
∴x<30时，y随x的增大而增大，即当x=28时，w最大=−2(28−30)2+200=192(元)，
答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元。
【经典例题3——表格型】某公司准备购进一批产品进行销售，该产品的进货单价为6元/个.根据市场调查，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足一次函数关系，关于日销售量y（个）与销售单价x（元/个）的几组数据如下表：
x
10
12
14
16
y
300
240
180
m
（1）求出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）及m的值.
（2）按照（1）中的销售规律，当销售单价定为17.5元/个时，日销售量为__________个，此时，获得日销售利润是__________元.
（3）为防范风险，该公司将日进货成本控制在900元（含900元）以内，按照（1）中的销售规律，要使日销售利润最大，则销售单价应定为多少？并求出此时的最大利润.
【解析】
(1)y是x的一次函数，设y=kx+b，
图象过点(10，300)，(12，240)，
，
解得：，
∴y=−30x+600，
当x=16时，m=120；
∴y与x之间的函数关系式为y=−30x+600，m的值为120；
(2)−30×17.5+600=−525+600=75(个)；
(17.5−6)×75=11.5×75=862.5(元).
故日销售量为75个，获得日销售利润是862.5元；
故答案为：75，862.5；
(3)由题意得：6(−30x+600)⩽900，
解得x⩾15.
w=(x−6)(−30x+600)=−30x2+780x−3600，
即w与x之间的函数关系式为w=−30x2+780x−3600，
w=−30x2+780x−3600的对称轴为：x=，
∵a=−30<0，
∴抛物线开口向下，当x⩾15时，w随x增大而减小，
∴当x=15时，w最大=1350，
即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元。
练习1-1.“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．
练习1-2.某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使
销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？
练习1-3.某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：
价格x（元/个）
…
30
40
50
60
…
销售量y（万个）
…
5
4
3
2
…
同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元．
（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．
（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？
（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？
练习1-4.某商品销售量y(件)与售价x(元)满足一次函数关系，部分对应值如下表：当售价为60元时，每件商品能获得50%的利润。
(1)求y与x的函数关系式；
(2)售价为多少时利润最大?最大利润为多少?
(3)由于原材料价格上涨，导致每件成本增加a元，结果发现当售价为60元和售价为80元时，利润相同，求a的值。
练习1-5.国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A，B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元，花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同，销售中发现A型汽车的每周销量yA（台）与售价x（万元/台）满足函数关系式yA=﹣x+20，B型汽车的每周销量yB（台）与售价x（万元/台）满足函数关系式yB=﹣x+14．
（1）求A、B两种型号的汽车的进货单价；
（2）已知A型汽车的售价比B型汽车的售价高2万元/台，设B型汽车售价为t万元/台．每周销售这两种车的总利润为W万元，求W与t的函数关系式，A、B两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？
类型二：售价和成本双变型
【经典例题4】国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于80万元，已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价y1（万元）之间满足关系式y1＝150﹣2x，月产量x（套）与生产总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系．
（1）直接写出y2与x之间的函数关系式；
（2）求月产量x的范围；
（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？
【解析】
(1)设函数关系式为y2=kx+b，把坐标(30，1400)(40，1700)代入，
得，
解得：，
∴函数关系式y2=30x+500；
(2)依题意得：，
解得：25⩽x⩽35；
(3)∵W⋅y1−y2=x(150−2x)−(500+30x)=−2x2+120x−500，
∴W=−2(x−30)2+1300
∵25<30<35，
∴当x=30时，W最大=1300
答：当月产量为30件时，利润最大，最大利润是1300万元。
练习2-1.随着合肥的快速发展，人们的环保意识逐渐增强，对花木的需求量也逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图（1）所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图（2）所示．（注：利润与投资量的单位：万元）
（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；
（2）如果这位专业户计划以10万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
练习2-2.绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．
（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？
练习2-3.传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：
（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？
（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）
类型三：分段函数型
【经典例题5】（2019云南）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示：
（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；
（2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．
【解析】
(1)当6⩽x⩽10时，设y与x的关系式为y=kx+b(k≠0)
根据题意得，解得
∴y=−200x+1200
当10
(2)由已知得：W=(x−6)y
当6⩽x⩽10时，
W=(x−6)(−200x+1200)=−200(x−)2+1250
∵−200<0，抛物线的开口向下
∴x=时，取最大值，
∴W=1250
当10
∴x=12时取得最大值，W=200×12−1200=1200
综上所述，当销售价格为8.5元时，取得最大利润，最大利润为1250元。
练习3-1.小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元. 由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x天(1≤x≤15且x为整数)时每盒成本为p元，已知p与x之间满足一次函数关系：第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元．每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：
第x天
1≤x≤6
6＜x≤15
每天的销售量y(盒)
10
x＋6
（1）求p与x的函数关系式；
（2）若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大？最大销售利润是多少元？
（3）在“荷花美食”期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果．
练习3-2.（2019南充）在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元．
（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？
（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售，笔记本一律按原价销售，学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？
练习3-3.湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．
（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；
（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示．
①分别求出当和时，y与t的函数关系式；
②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出最大值．（利润=销售总额-总成本）
练习3-4.某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线AB﹣BC﹣CD所示（不包括端点A）．
（1）当100＜x＜200时，直接写y与x之间的函数关系式： ．
（2）蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润？
练习3-5.某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到35元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为．
（年获利=年销售收入-生产成本-投资成本）
（1）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损．若是盈利，最大利润是多少？若是亏损，最小亏损是多少？
（2）2020年初我国爆发新冠肺炎，该公司决定向红十字会捐款20万元，另外每销售一件产品，就抽出1元钱作为捐款，若除去第一年的最大盈利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到2020年底，两年的总盈利不低于57.5万元，请你确定此时销售单价的范围.
练习3-6.某大学生利用40天社会实践参与了某公司旗下一家加盟店经营，了解到一种成本为20元/ 件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示：
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件；
（2）这40天中该加盟店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司为鼓励加盟店接收大学生参加实践活动决定每销售一件商品就发给该 加盟店m(m≥2)元奖励.通过该加盟店的销售记录发现，前10天中，每天获得奖励后的利润随时间x(天)的增大而增大，求m的取值范围.
类型四：售价浮动型
（1）利润型：已知进价a元，原售价b元，销量m件，销售量随售价提高（降低）d元而减少（增加）c件，获得利润w元：
①若设售价x元，则列式为
②若设提（降）价x元，则列式为
【经典例题6】某地为坚决打赢2020年脱贫攻坚战，实行精准脱贫，帮助李大爷在网上销售自己手工做的竹帘，其成本为每张40元，当售价为每张80元时，每月可销售100张。为了吸引更多顾客，采取降价措施。据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5张。设每张竹帘的售价为x元(x为正整数)，每月的销售量为y张。
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少?
(3)李大爷深感扶贫政策给自己带来的好处，为了回报社会，他决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生。为了保证捐款后每月利润不低于4220元，求销售单价应该定在什么范围内?
【解析】
（1）由题意可得：y=100+5（80-x）整理得y=-5x+500；
（2）由题意，得：w=（x-40）（-5x+500）=-5x2+700x-20000=-5（x-70）2+4500
∵a=-5<0．
∴w有最大值
即当x=70时，w最大值=4500
∴应降价80-70=10（元）
答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；
（3）由题意，得：-5（x-70）2+4500=4220+200
解之，得：x1=66，x2=74，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=70，
∴66≤x≤74．
练习4-1.某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）。设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元。
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
练习4-3.某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元. 设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围.
(2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
(3)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
练习4-4.某特产专卖店销售“中江柚”，已知“中江柚”的进价为每个10元，现在的售价是每个16元，每天可卖出120个，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10个；每降价1元，每天可多卖出30个．
（1）如果专卖店每天想要获得770元的利润，且要尽可能的让利给顾客，那么售价应涨多少元？
（2）请你帮专卖店老板算一算，如何定价才能使利润最大，并求出此时的最大利润．
练习4-5.某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
销售价格x（元/千克）
2
4
...
10
市场需求量q（百千克）
12
10
...
4
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克．
（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．
①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围；
②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当x为______元/千克时，利润y有最大值；若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为______元/千克．
参考答案
类型一：一次函数型（销售量与销售单价成一次函数关系）
练习1-1. 【解析】
(1)由题意得： ，
解得：．
故y与x之间的函数关系式为：y=−10x+700，
(2)由题意，得
−10x+700≥240，
解得x≤46，
设利润为w=(x−30)⋅y=(x−30)(−10x+700)，
w=−10x2+1000x−21000=−10(x−50)2+4000，
∵−10<0，
∴x<50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w大=−10(46−50)2+4000=3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
(3)w−150=−10x2+1000x−21000−150=3600，
−10(x−50)2=−250，
x−50=±5，
x1=55，x2=45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
练习1-2.
【解析】(1)设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b，
将点(30，100)、(45，70)代入一次函数表达式得：，解得：，
故函数的表达式为：y=−2x+160；
(2)由题意得：w=(x−30)(−2x+160)=−2(x−55)2+1250，
∵−2<0，故当x<55时，w随x的增大而增大，而30⩽x⩽50，
∴当x=50时，w由最大值，此时，w=1200，
故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；
(3)由题意得：(x−30)(−2x+160)⩾800，
解得：40⩽x⩽70，
∴每天的销售量y=−2x+160⩾20，
∴每天的销售量最少应为20件。
练习1-3.【解析】
（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，
设解析式为：y=kx+b，
则，
解得：，
故函数解析式为：y=-x+8；
（2）根据题意得出：
z=（x-20）y-40
=（x-20）（-x+8）-40
=-x2+10x-200，
=-（x2-100x）-200
=-[（x-50）2-2500]-200
=-（x-50）2+50，
故销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元．
（3）当公司要求净得利润为40万元时，即-（x-50）2+50=40，解得：x1=40，x2=60．
如上图，通过观察函数y=-（x-50）2+50的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60．
而y与x的函数关系式为：y=-x+8，y随x的增大而减少，
因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个．
练习1-4.
【解析】(1)设y=kx+b，
将(55，350)，(50，400)代入，
得：，
解得：，
∴y=−10x+900；
(2)由售价为60元时，每件商品能获得50%的利润知进价为40元/件，设利润为W，
则W=y⋅(x−40)=(−10x+900)(x−40)
整理得W=−10x2+1300x−36000
=−10(x−65)2+6500
故当售价x=65元时，得最大利润6500元
(3)依题意得，(−10×60+900)(60−40−a)=(−10×80+900)(80−40−a)
整理得3(20−a)=40−a，
解得a=10
练习1-5.
【解析】(1)设A种型号的汽车的进货单价为m万元，
依题意得：，
解得：m=10，
检验：m=10时，m≠0，m−2≠0，
故m=10是原分式方程的解，
故m−2=8.
答：A种型号的汽车的进货单价为10万元，B种型号的汽车的进货单价为8万元；
(2)根据题意得出：
W=(t+2−10)[−(t+2)+20]+(t−8)(−t+14)=−2t2+48t−256，=−2(t−12)2+32，
∵a=−2<0，抛物线开口向下，
∴当t=12时，W有最大值为32，
12+2=14，
答：A种型号的汽车售价为14万元/台，B种型号的汽车售价为12万元/台时，每周销售这两种车的总利润最大，最大总利润是32万元。
类型二：售价和成本双变型
练习2-1.【解析】
(1)设y1=kx，由图1所示，函数图象过(1，2)
∴k=2
∴y1=2x；
∵该抛物线的顶点是原点
∴设y2=ax2，
由图2所示，函数y2=ax2的图象过(2，2)
∴a=
∴y2=x2；
(2)设这位专业户投入种植花卉x万元(0⩽x⩽10)，则投入种植树木(10−x)万元，他获得的利润是w万元，根据题意得：
w(10−x)+x2=x2−2x+20=(x−2)2+18，
∴当x=2时，w的最小值是18
∵0⩽x⩽10
∴当x=10时，w的最大值是50.
∴他至少获得18万元利润，他能获取的最大利润是50万元。
练习2-2.
【解析】设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b，
∵经过点(0，168)与(180，60)，
∴，解得： ，
∴产品销售价y1（元）与产量x(kg)之间的函数关系式为y1=−x+168(0≤x≤180)；
由题意，可得当0≤x≤50时，y2=70；
当130≤x≤180时，y2=54；
当50
∴，解得 ，
∴当50
设产量为xkg时，获得的利润为W元，
①当0≤x≤50时，W=x(−x+168−70)=−(x−)2+，
∴当x=50时，W的值最大，最大值为3400；
②当50
③当130≤x≤180时，W=x(−x+168−54)=−(x−95)2+5415，
∴当x=130时，W的值最大，最大值为4680．
因此当该产品产量为110kg时，获得的利润最大，最大值为4840元．
练习2-3.【解析】
(1)设李明第x天生产的粽子数量为280只，
由题意可知：20x+80=280，
解得x=10.
答：第10天生产的粽子数量为280只。
(2)由图象得，当0⩽x<10时，p=2；
当10⩽x⩽20时，设P=kx+b，
把点(10，2)，(20，3)代入得，，
解得，
∴p=0.1x+1，
①0⩽x⩽6时，w=(4−2)×34x=68x，当x=6时，w最大=408(元)；
②6
∴当x=10时，w最大=560(元)；
③10
∴当x=−=13时，w最大=578(元)；
综上，当x=13时，w有最大值，最大值为578.
类型三：分段函数型
练习3-1.【解析】
（1）设p=kx+b（k≠0），
∵第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，
∴，
解得，
所以，p=x+18；
（2）1≤x≤6时，w=10[50-（x+18）]=-10x+320，
6
1≤x≤6时，∵-10<0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=1时，w最大为-10+320=310，
6
综上所述，第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元；
（3）w=325时，-x2+26x+192=325，
x2-26x+133=0，
解得x1=7，x2=13，
所以，7≤x≤13时，即第7、8、9、10、11、12、13天共7天销售利润不低于325元．
练习3-2.
【解析】(1)钢笔、笔记本的单价分别为x、y元，
根据题意得，，
解得：，
答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元；
(2)设钢笔的单价为a元，购买数量为b元，支付钢笔和笔记本的总金额w元，
①当30⩽b⩽50时，a=10−0.1(b−30)=−0.1b+13，
w=b(−0.1b+13)+6(100−b)=−0.1b2+7b+600=−0.1(b−35)2+722.5，
∵当b=30时，w=720，当b=50时，w=700，
∴当30⩽b⩽50时，700⩽w⩽722.5；
②当50
∴这次奖励一等奖学生50人时，购买奖品总金额最少，最少为700元。
练习3-3.【解析】
(1)由题意，得：，
解得，
答：a的值为0.04，b的值为30；
(2)①当0⩽t⩽50时，设y与t的函数解析式为y=k1t+n1，
将(0，15)、(50，25)代入，得：，
解得：，
∴y与t的函数解析式为y=t+15；
当50
解得：，
∴y与t的函数解析式为y=−+30；
②由题意，当0⩽t⩽50时，
W=20000(t+15)−(400t+300000)=3600t，
∵3600>0，
∴当t=50时，W最大值=180000(元)；
当50
∴当t=55时，W最大值=180250(元)，
综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元。
练习3-4.【解析】
(1)设当100
∴y与x之间的函数关系式为：y=−0.02x+8；
故答案为：y=−0.02x+8；
(2)当采购量是x千克时，蔬菜种植基地获利W元，
当0
当100
∴当x=150时，W有最大值为450元，
综上所述，一次性采购量为150千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为450元；
(3)∵400<418<450，
∴根据(2)可得，−0.02(x−150)2+450=418
解得：x1=110，x2=190，
答：经销商一次性采购的蔬菜是110千克或190千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润。
练习3-5.【解析】
（1）①当 25≤x≤30时，W=（40-x）（x-20）-25-100=-x2+60x-925=-（x-30）2-25，
故当x=30时，W最大为-25，即公司最少亏损25万；
②当30
故当x=35时，W最大为-12.5，即公司最少亏损12.5万；
对比①，②得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；
答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；
（2）①当 25≤x≤30时，W=（40-x）（x-20-1）-12.5-20=-x2+61x-872.5，
令W=5.5，则-x2+61x-872.5=57.5，
化简得：x2-61x+930=0，
解得：x1=31，x2=30，
此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，x=30；
②当30
化简得：x2-71x+1230=0，
解得：x1=30，x2=41，
此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，30
练习3-6.
【解析】(1)当1⩽x⩽20时，30+x=35，解得x=10
当21⩽x⩽40时，20+，解得x=35
(2)当1⩽x⩽20时，w=(30+x−20)(50−x)=−(x−15)2+612.5，
当x=15时，w有最大值为612.5
当21⩽x⩽40时，w=(20+−20)(50−x)=−525，
当x=21时，w有最大值为725
∵612.5<725
∴第21天时获得最大利润，最大利润为725
(3)W=−x2+15x+500+m(50−x)=−−x2+(15−m)x+500+50m，
∵前10天每天获得奖励后的利润随时间x(天)的增大而增大，
∴对称轴为x=−=15−m⩾10，解得：m⩽5
∴2⩽m⩽5.
类型三：售价浮动型
练习4-1.【解析】
(1)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，
则每件商品的利润为：(60−50+x)元，
总销量为：(200−10x)件，
商品利润为：
y=(60−50+x)(200−10x)，=(10+x)(200−10x)，=−10x2+100x+2000.
∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，
∴0
故当x=5时，最大月利润y=2250元。
这时售价为60+5=65(元).
练习4-2.
【解析】
（1）由题意得：200-10×（52-50）=200-20=180（件），
故答案为：180；
（2）由题意得：
y=（x-40）[200-10（x-50）]
=-10x2+1100x-28000
=-10（x-55）2+2250
∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．
练习4-3.【解析】
(1)根据题意得：
y=(30+x−20)(230−10x)=−10x2+130x+2300，
自变量x的取值范围是：0
解得x1=2，x2=11(不合题意，舍去)
当x=2时，30+x=32(元)
答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元。
(3)根据题意得：
y=−10x2+130x+2300
=−10(x−6.5)2+2722.5，
∵a=−10<0，
∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5，
∵0
当x=7时，30+x=37，y=2720(元)，
答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元。
练习4-4.【解析】
(1)设售价应涨价x元，则：
(16+x−10)(120−10x)=770，
解得：x1=1，x2=5.
又要尽可能的让利给顾客，则涨价应最少，所以x2=5(舍去).
∴x=1.
答：专卖店涨价1元时，每天可以获利770元。
(2)设单价涨价x元时，每天的利润为w1元，则：
w1=(16+x−10)(120−10x)=−10x2+60x+720=−10(x−3)2+810(0⩽x⩽12)，
即定价为：16+3=19(元)时，专卖店可以获得最大利润810元。
设单价降价z元时，每天的利润为w2元，则：
w2=(16−z−10)(120+30z)=−30z2+60z+720=−30(z−1)2+750(0⩽z⩽6)，
即定价为：16−1=15(元)时，专卖店可以获得最大利润750元。
综上所述：专卖店将单价定为每个19元时，可以获得最大利润810元。
练习4-5.【解析】
(1)由表格的数据，设q与x的函数关系式为：q=kx+b
根据表格的数据得，解得
故q与x的函数关系式为：q=−x+14，其中2⩽x⩽10
(2)①当每天的半成品食材能全部售出时，有p⩽q
即x+8⩽−x+14，解得x⩽4
又2⩽x⩽10，所以此时2⩽x⩽4
②由①可知，当2⩽x⩽4时，
y=(x−2)p=(x−2)(x+8)=x2+7x−16
当4
(3)当2⩽x⩽4时，
y=x2+7x−16的对称轴为x=−=−=−7
∴当2⩽x⩽4时，除x的增大而增大
∴x=4时有最大值，y=×42+7×4−16=20
当4
∵−1<0，>4
∴x=时取最大值
即此时y有最大利润
要使每天的利润不低于24百元，则当2⩽x⩽4时，显然不符合
故y=−(x−)2+⩾24，解得x⩽5
故当x=5时，能保证不低于24百元
故答案为：，5
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