2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题4二次函数综合之线段最值，成比学案

这是一份2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题4二次函数综合之线段最值，成比学案，共22页。学案主要包含了经典例题1改编，经典例题2，经典例题3，经典例题4，经典例题等内容，欢迎下载使用。

类型一：线段最值问题
【经典例题1改编】抛物线y=-x2+bx+c与直线y=-x+5一个交点A（2，m），另一个交点B在x轴上，点P是线段AB上异于A、B的一个动点，过点P做x轴的垂线，交抛物线于点E；
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的点P，使线段PE长度最大？若存在求出最大值及此时点P的坐标，若不存在说明理由；
（3）在y轴右侧，若点P是直线AB上的一个动点，当EP平行于y轴时，设点E的横坐标为m，当点E到y轴的距离等于线段EP的长时，求m的值；


【解析】（1）A(2，-3)，抛物线解析式y=-x2+6x-5
（2）设点P的横坐标为m，E(m，-m2+6m-5)，P(m，-m+5)
∴EP=yE-yP
=(-m2+6m-5)-(-m+5)
=-m2+7m-10
=-(m-)2+
当m=时，EP长度有最大值，此时，P(，)
（3）根据题意分两种情况
①当05时，EP=m2-7m+10，所以m=m2-7m+10，即m2-8m+10=0，解得m1=4+，m2=4-；
②当2 综上，m1=4+，m2=4-




【经典例题2】如图所示，抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，直线y= -x与抛物线交于E，F两点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值；

【解析】
(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x−1)=a(x2+2x−3)，
即−3a=−3，解得：a=1，
故抛物线的表达式为：y=x2+2x−3；
(2)过点P作PM∥y轴交直线EF于点M，
设点P(x，x2+2x−3)、点M(x，−x)，
则PH=PM=(−x−x2−2x+3)，
当x=−时，PH的最大值为：；





【经典例题3】已知抛物线l1:y1=ax2−2的顶点为P，交x轴于A. B两点(A点在B点左侧)，且sin∠ABP=.
(1)求抛物线l1的函数解析式；
(2)过点A的直线交抛物线于点C，交y轴于点D，若△ABC的面积被y轴分为1:4两个部分，求直线AC的解析式；

【解析】（1）当x=0时，y1=ax2-2=-2
∴顶点P（0，-2），OP=2
∵∠BOP=90°
∴sin∠ABP==
∴BP=OP=2
∴OB=
∴B（4，0），代入抛物线l1得：
16a-2=0，解得：a=
∴抛物线l1的函数解析式为y1=x2-2
（2）∵知抛物线l1交x轴于A、B两点
∴A、B关于y轴对称，即A（-4，0）
∴AB=8
设直线AC解析式：y=kx+b
点A代入得：-4k+b=0
∴b=4k
∴直线AC：y=kx+4k，D（0，4k）
∴S△AOD=S△BOD=×4×|4k|=8|k|
∵x2-2=kx+4k
整理得：x2-8kx-32k-16=0
∴x1+x2=8k
∵x1=-4
∴xC=x2=8k+4，yC=k（8k+4）+4k=8k2+8k
∴C（8k+4，8k2+8k）
∴S△ABC=AB•|yC|=32|k2+k|
①若k>0，则S△AOD：S四边形OBCD=1：4
∴S△AOD=S△ABC
∴8k=×32（k2+k）
解得：k1=0（舍去），k2=
∴直线AC解析式为y=x+1
②若k<0，则S△AOD=S△BOD=-8k，S△ABC=-32（k2+k）
∴-8k=×[-32（k2+k）]
解得：k1=0（舍去），k2=（舍去）
综上所述，直线AC的解析式为y=x+1．


【经典例题4】如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与抛物线y=x2+bx+c(b，c是常数)交于A. B两点，点A在x轴上，点B在y轴上。设抛物线与y轴的另一个交点为点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)P是抛物线上一动点(不与点A. B重合)，
①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；
②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变。当顶点E或F恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标。


【解析】(1)直线y=x+4与坐标轴交于A. B两点，
当x=0时，y=4，x=−4时，y=0，
∴A(−4，0)，B(0，4)，
把A，B两点的坐标代入解析式得，，解得，，
∴抛物线的解析式为y=−x2−x+4；
(2)如图1，作PF∥BO交AB于点F，
∴△PFD∽△OBD，
∴PD/OD=PF/OB，
∵OB为定值，
∴当PF取最大值时，PDOD有最大值，
设P(x，−x2−x+4)，其中−4 ∴PF=yP−yF=−x2−x+4−(x+4)=−x2−2x，
∵−<0且对称轴是直线x=−2，
∴当x=−2时，PF有最大值，
此时PF=2，PD/OD=PF/OB=；
(3)∵点C(2，0)，
∴CO=2，
(i)如图2，点F在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，
在正方形CPEF中，CP=CF，∠PCF=90°，
∵∠PCH+∠OCF=90°，∠PCH+∠HPC=90°，
∴∠HPC=∠OCF，
在△CPH和△FCO中，∠HPC=∠OCF，∠PHC=∠COF，PC=CF，
∴△CPH≌△FCO(AAS)，
∴PH=CO=2，
∴点P的纵坐标为2，
∴−x2−x+4=2，
解得，x=−1±，
∴P1(−1+，2)，P2(−1−，2)，
(ii)如图3，点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，
同理可证得△EPS≌△CPK，
∴PS=PK，
∴P点的横纵坐标互为相反数，
∴−x2−x+4=−x，
解得x=2(舍去)，x=−2，
∴P3(−2，2)，
如图4，点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，
同理可证得△PEN≌△PCM，
∴PN=PM，
∴P点的横纵坐标相等，
∴−x2−x+4=x，
解得x=−2+2，x=−2−2(舍去)，
∴P4(−2+2，−2+2)，
综合以上可得P点坐标为(−2+2，−2+2)，(−2，2).


练习1-1.如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与 y 轴交于点 C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线 AD与y轴交于点 E．

（1）求直线 AD 的解析式；
（2）如图 1，直线 AD 上方的抛物线上有一点 F，过点 F 作 FG⊥AD 于点 G，作 FH 平行于x 轴交直线 AD 于点 H，求△FGH 周长的最大值；

练习1-2.如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C(0，2)，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接CB、CD.
(1)求抛物线的解析式并求∠ABC的正弦值；
(2)过点B作BM∥CD交抛物线对称轴于点M，求点M的坐标；
(3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求线段EF的最大值．




练习1-3.如图，直线y=−x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=−x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A. 点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动(点P不与点B和点C重合)，设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当MQ：NQ=时，求t的值；
(3)如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值。




周长最值问题
【经典例题】如图，抛物线y= -x2-2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；
（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；
（4）在（3）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2DQ，求点F的坐标．








答：（1）A(-3，0)，B(1，0)，C(0，3)
（2）对称轴x= -1，PM =-m2-2m+3，MN= -2m-2
周长l=2(PM+MN)= -2m2-8m+2
（3）l=-2(m+2)2+10，当m=-2，时，周长有最大值.
直线AC：y=x+3(按步骤求)，E(-2，1)
S△AEM==
（4）D(-1，4)，Q(0，3)，DQ=，所以FG=4
FG=yG-yF=x+3-( -x2-2x+3)=x2+3x
令x2+3x=4，整理得x2+3x-4=0，解得x1=-4，x2=1
所以F(-4，-5)或F(1，0)

练习2-1如图，抛物线y＝ax2+(4a﹣1)x﹣4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC＝2OB，点D为线段OB上一动点（不与点B重合），过点D作矩形DEFH，点H、F在抛物线上，点E在x轴上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当矩形DEFH的周长最大时，求矩形DEFH的面积；
(3)在（2）的条件下，矩形DEFH不动，将抛物线沿着x轴向左平移m个单位，抛物线与矩形DEFH的边交于点M、N，连接M、N．若MN恰好平分矩形DEFH的面积，求m的值．


如图1，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上师范存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。







参考答案
练习1-1.【解析】
(1)当x=0时，y=−x2+2x+3=3，则C(0，3)，
当y=0时，−x2+2x+3=0，解得x1=−1，x2=3，则A(−1，0)，B(3，0)，
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线对称轴为直线x=1，
而点D和点C关于直线x=1对称，
∴D(2，3)，
设直线AD的解析式为y=kx+b，
把A(−1，0)，D(2，3)分别代入得，解得，
∴直线AD的解析式为y=x+1；
(2)当x=0时，y=x+1=1，则E(0，1)，
∵OA=OE，
∴△OAE为等腰直角三角形，
∴∠EAO=45°，
∵FH∥OA，
∴△FGH为等腰直角三角形，
过点F作FN⊥x轴交AD于N，如图，
∴FN⊥FH，
∴△FNH为等腰直角三角形，
而FG⊥HN，
∴GH=NG，
∴△FGH周长等于△FGN的周长，
∵FG=GN=FN，
∴△FGN周长=(1+)FN，
∴当FN最大时，△FGN周长的最大，
设F(x，−x2+2x+3)，则N(x，x+1)，
∴FN=−x2+2x+3−x−1=−(x−)2+94，
当x=时，FH有最大值94，
∴△FGN周长的最大值为(1+)×=，
即△FGH周长的最大值为；


练习1-2.
【解析】(1)∵抛物线y=−x2+bx+c过点A(−1，0)，C(0，2)，
解得.
∴解析式为y=−x2+x+2，
当y=0时，−x2+x+2=0解得x=−1(舍)，x=4，
点B的坐标为(4，0)，C(0，2)，
BC=.
∴sin∠ABC=sin∠OBC=OC/BC=.
(2)存在。
∵对称轴是x=，
∴点D的坐标为(32，0)，
∴CD=.
PD=CD=，得P(，)或(，−)，
PC=CD=，即P点与D点关于底边的高对称，得
P点的纵坐标为4，即P(，4)，
综上所述：点P的坐标为(，)或(，−)，(，4)；
(3)设直线BC的解析式为y=mx+n
∵B、C两点坐标分别为(4，0)、(0，2)，
解得，
∴直线BC的解析式为y=−x+2.
设E点坐标为(x，−x+2)，则F点坐标为(x，−x2+x+2)，
EF=−x2+x+2−(−x+2)=−x2+2x=−(x−2)2+2，
当x=2时，EF最长，
∴当点E坐标为(2，1)时，线段EF最长

练习1-3.
【解析】(1)直线y=−x+4中，当x=0时，y=4
∴C(0，4)
当y=−x+4=0时，解得：x=4
∴B(4，0)
∵抛物线y=−x2+bx+c经过B，C两点
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y=−x2+3x+4
(2)∵B(4，0)，C(0，4)，∠BOC=90°
∴OB=OC
∴∠OBC=∠OCB=45°
∵ME⊥x轴于点E，PB=t
∴∠BEP=90°
∴Rt△BEP中，sin∠PBE=PE/PB=
∴BE=PE=PB=t
∴xM=xP=OE=OB−BE=4−t，yP=PE=t
∵点M在抛物线上
∴yM=−(4−t)2+3(4−t)+4=−t2+5t
∴MP=yM−yP=−t2+4t
∵PN⊥y轴于点N
∴∠PNO=∠NOE=∠PEO=90°
∴四边形ONPE是矩形
∴ON=PE=t
∴NC=OC−ON=4−t
∵MP∥CN
∴△MPQ∽△NCQ
∴MP/NC=MQ/NQ=
∴t=
解得：t1=，t2=4(点P不与点C重合，故舍去)
∴t的值为
(3)∵∠PEB=90°，BE=PE
∴∠BPE=∠PBE=45°
∴∠MPD=∠BPE=45°
①若MD=MP，则∠MDP=∠MPD=45°
∴∠DMP=90°，即DM∥x轴，与题意矛盾
②若DM=DP，则∠DMP=∠MPD=45°
∵∠AEM=90°
∴AE=ME
∵y=−x2+3x+4=0时，解得：x1=−1，x2=4
∴A(−1，0)
∵由(2)得，xM=4−t，ME=yM=−t2+5t
∴AE=4−t−(−1)=5−t
∴5−t=−t2+5t
解得：t1=1，t2=5(0 ③若MP=DP，则∠PMD=∠PDM
如图，记AM与y轴交点为F，过点D作DG⊥y轴于点G
∴∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF
∴CF=CD
∵A(−1，0)，M(4−t，−t2+5t)，设直线AM解析式为y=ax+m
∴解得：
∴直线AM:y=tx+t
∴F(0，t)
∴CF=OC−OF=4−t
∵tx+t=−x+4，解得：x=
∴DG=xD=
∵∠CGD=90°，∠DCG=45°
∴CD=DG=
∴4−t=
解得：t=−1
综上所述，当△PDM是等腰三角形时，t=1或t=−1.



练习2-1
【解析】(1)在抛物线y=ax2+(4a−1)x−4中，
当x=0时，y=−4，
∴C(0，−4)，∴OC=4，
∵OC=2OB，∴OB=2，
∴B(2，0)，
将B(2，0)代入y=ax2+(4a−1)x−4，
得，a=，
∴抛物线的解析式为y=x2+x−4；
(2)设点D坐标为(x，0)，
∵四边形DEFH为矩形，
∴H(x，x2+x−4)，
∵y=x2+x−4=(x+1)2−，
∴抛物线对称轴为x=−1，
∴点H到对称轴的距离为x+1，
由对称性可知DE=FH=2x+2，
∴矩形DEFH的周长C(2x+2)+2(−x2−x+4)=−x2+2x+12=−(x−1)2+13，
∴当x=1时，矩形DEFH周长取最大值13，
∴此时H(1，−)，
∴HF=2x+2=4，DH=，
∴S矩形DEFH=HF•DH=4×=10；
(3)如图，连接BH，EH，DF，设EH与DF交于点G，
过点G作BH的平行线，交ED于M，交HF于点N，则直线MN将矩形DEFH的面积分成相等的两半，
由(2)知，抛物线对称轴为x=−1，H(1，−)，
∴G(−1，−)，
设直线BH的解析式为y=kx+b，
将点B(2，0)，H(1，−)代入，
得，，解得，，
∴直线BH的解析式为y=x−5，
∴可设直线MN的解析式为y=x+n，
将点(−1，−)代入，得n=，
∴直线MN的解析式为y=x+，
当y=0时，x=−，
∴M(−，0)，
∵B(2，0)，
∴将抛物线沿着x轴向左平移2.5个单位，抛物线与矩形DEFH的边交于点M、N，连接M、N，则MN恰好平分矩形DEFH的面积，
∴m的值为2.5.