2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题6.2二次函数综合之线段之差最大学案

几何最值问题——线段之差最大

④最大值模型

如图，A、B两点在直线l同侧，在直线l上求作点P，使最大.

方法：连接BA并延长，与直线l的交点为点P.

如图，A、B两点在直线l异侧，在直线l上求作一点P，使最大.

方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'，与直线l的交点为点P.

造桥选址模型

已知l1∥l2，l1，l2之间的距离为d，在l1，l2在上分别找M、N两点，使得MN⊥l1，且AM+MN+NB最小.

方法1：将点A向下平移d个单位长度得到A'，连接A'B与直线l2的交点为点N，过点N作l1的垂线，与直线l1的交点为点M.

A、D为定点，B、C为直线l1，l2上的动点，BC⊥l1，使得AB+BC+CD最小.

方法2：BC 为定值，只需求AB＋CD最小即可，平移CD至BE，则变成求AB＋BE最小，转化为将军饮马中的两定一动问题.

类型四：线段之差最大

动点产生的线段和差最值问题

求线段和差问题通常作对称点，利用三角形两边之和大于第三边求出线段之和的最小值，利用两边之差小于第三边求出差的最大值.

当且仅当三点共线时等号成立.

【经典例题4】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−1，0，)、B(3，0)两点与y轴交于点C(0，3)，点D为抛物线的顶点。

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点P的坐标为(a，0)，当|PD−PC|最大时，求a的值；

【解析】(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)，

把C(0，3)代入得a⋅1⋅(−3)=3，解得a=−1，

所以抛物线解析式为y=−(x+1)(x−3)，即y=−x2+2x+3；

(2)y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，则D(1，4)，

设直线CD的解析式为y=mx+n，

把C(0，3)，D(1，4)代入得n=3；m+n=4，解得m=1；n=3，

所以直线CD的解析式为y=x+3，

当y=0时，x+3=0，解得x=−3，则直线CD与x轴的交点坐标为(−3，0)，

因为|PD−PC|⩽CD(当且仅当点P、C. D共线时，取等号)，此时P点为直线CD与x轴的交点，

所以a=−3；

练习4-1.如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．

(1)求抛物线的解析式．

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

练习4-2.已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．

练习4-3如图，抛物线l交x轴于点A(−3，0)、B(1，0)，交y轴于点C(0，−3).将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1.

(1)求l1的解析式；

(2)在l1的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；

(3)平行于x轴的一条直线交抛物线l1于E. F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径。

练习4-4如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90∘，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B. D三点的坐标分别是A(−1，0)，B(−l，2)，D(3，0).连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON.若抛物线y=ax2+bx+c经过点D. M、N.

(1)求抛物线的解析式。

(2)抛物线上是否存在点P，使得PA=PC?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

(3)设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE−QC|最大?并求出最大值。

练习4-5如图，抛物线y=−x2−x+2的顶点为A，与y轴交于点B.

(1)求点A. 点B的坐标；

(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PA−PB⩽AB；

(3)当PA−PB最大时，求点P的坐标。

练习4-6如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A. E两点，与x轴交于B. C两点，且B点坐标为(1，0).

(1)求该抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM−MC|的值最大，求出点M的坐标；

(3)动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标。

参考答案

类型四：线段之差最大

练习4-1.【解析】 （1）令x=0，则y=4，
∴点C的坐标为（0，4），
∵BC∥x轴，

∴点B，C关于对称轴对称，

又∵抛物线y=ax2-5ax+4的对称轴是直线，即直线
∴点B的坐标为（5，4），
∴AC=BC=5，

在Rt△ACO中，OA=，
∴点A的坐标为A（-3，0），
∵抛物线y=ax2-5ax+4经过点A，
∴9a+15a+4=0，解得，
∴抛物线的解析式是y=

（2）存在，M（，）

理由：∵B，C关于对称轴对称，

∴MB=MC，
∴；

∴当点M在直线AC上时，值最大，
设直线AC的解析式为y=kx+b，

则，解得，

∴y=

令，则，∴M（，）

练习4-2.【解析】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

∵A(1，0)、B(0，3)、C(−4，0)，

∴，解得：a=，b=−，c=3，

∴经过A. B. C三点的抛物线的解析式为y=−x2−x+3；

(2)在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A. B. C. P为顶点的四边形为菱形，理由为：

∵OB=3，OC=4，OA=1，

∴BC=AC=5，

当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，

∴BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，

∴点P的坐标为(5，3)，

当点P在第二、三象限时，以点A. B. C. P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，

则当点P的坐标为(5，3)时，以点A. B. C. P为顶点的四边形为菱形；

(3)设直线PA的解析式为y=kx+b(k≠0)，

∵A(1，0)，P(5，3)，

∴，

解得：k=，b=−，

∴直线PA的解析式为y=x−，

当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM−AM|<PA，

当点M与点P、A在同一直线上时，|PM−AM|=PA，

∴当点M与点P、A在同一直线上时，|PM−AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，

解方程组，得或，

∴点M的坐标为(1，0)或(−5，−)时，|PM−AM|的值最大，此时|PM−AM|的最大值为5.

练习4-3【解析】(1)如图1所示，设经翻折后，点A. B的对应点分别为A1、B1，

依题意，由翻折变换的性质可知A1(3，0)，B1(−1，0)，C点坐标不变，

因此，抛物线l1经过A1(3，0)，B1(−1，0)，C(0，−3)三点，

设抛物线l1的解析式为y=ax2+bx+c，则有：

9a+3b+c=0；a−b+c=0；c=−3，

解得a=1，b=−2，c=−3，

故抛物线l1的解析式为：y=x2−2x−3.

(2)抛物线l1的对称轴为：x=−=1，

如图2所示，连接B1C并延长，与对称轴x=1交于点P，则点P即为所求。

此时，|PA1−PC|=|PB1−PC|=B1C.

设P′为对称轴x=1上不同于点P的任意一点，则有：

|P′A1−P′C|=|P′B1−P′C|<B1C(三角形两边之差小于第三边)，

故|P′B1−P′C|<|PA1−PC|，即|PA1−PC|最大。

设直线B1C的解析式为y=kx+b，则有：

−k+b=0；b=−3，解得k=b=−3，

故直线B1C的解析式为：y=−3x−3.

令x=1，得y=−6，

故P(1，−6).

练习4-4【解析】(1)∵BC∥AD，B(−1，2)，M是BC与y轴的交点，∴M(0，2)，

∵DM∥ON，D(3，0)，

∴N(−3，2)，

则9a+3b+c=0；c=2；9a−3b+c=2，

解得a=−；b=−；c=2，

∴y=−x2−x+2；

(2)连接AC交y轴于G，

∵M是BC的中点，

∴AO=BM=MC，AB=BC=2，

∴AG=GC，即G(0，1)，

∵∠ABC=90∘，

∴BG⊥AC，即BG是AC的垂直平分线，要使PA=PC，即点P在AC的垂直平分线上，故P在直线BG上，

∴点P为直线BG与抛物线的交点，

设直线BG的解析式为y=kx+b，

则−k+b=2；b=1，

解得k=−1；b=1，

∴y=−x+1，

∴y=−x+1；y=−x2−x+2，

解得，，

∴点P(，)或P(，)，

(3)∵y=−x2−x+2=−(x+)2+，

∴对称轴x=−，

令−x2−x+2=0，

解得x1=3，x2=−6，

∴E(−6，0)，

故E. D关于直线x=−对称，

∴QE=QD，

∴|QE−QC|=|QD−QC|，

要使|QE−QC|最大，则延长DC与x=−相交于点Q，即点Q为直线DC与直线x=−的交点，由于M为BC的中点，

∴C(1，2)，

设直线CD的解析式为y=kx+b，

则3k+b=0；k+b=2，

解得k=−1；b=3，

∴y=−x+3，

当x=−时，y=+3=，

故当Q在(−，)的位置时，|QE−QC|最大，

过点C作CF⊥x轴，垂足为F，

则CD=.

练习4-5【解析】(1)抛物线y=−x2−x+2与y轴的交于点B，

令x=0得y=2.∴B(0，2)

∵y=−x2−x+2=−(x+2)2+3

∴A(−2，3)

(2)证明：当点P是AB的延长线与x轴交点时，

PA−PB=AB.

当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时，

在点P、A、B构成的三角形中，PA−PB<AB.

综合上述：PA−PB⩽AB

(3)作直线AB交x轴于点P，由(2)可知：当PA−PB最大时，点P是所求的点

作AH⊥OP于H.

∵BO⊥OP，

∴△BOP∽△AHP

∴AHBO=HPOP

由(1)可知：AH=3、OH=2、OB=2，

∴OP=4，

故P(4，0).

练习4-6【解析】(1)将A(0，1)、B(1，0)坐标代入y=x2+bx+c

得c=1；+b+c=0，

解得：b=−；c=1.

∴物线的解折式为y=x2−x+1；

(2)抛物线的对称轴为x=，B、C关于x=对称，

∴MC=MB，

要使|AM−MC|最大，即是使|AM−MB|最大，

由三角形两边之差小于第三边得，当A. B. M在同一直线上时|AM−MB|的值最大。

知直线AB的解析式为y=−x+1

∴y=−x+1；x=，

解得：x=；y=−.

则M(，−).

(3)设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为m2−m+1，

即E点的坐标(m，m2−m+1)，…(7分)

又∵点E在直线y=x+1上，

∴m2−m+1=m+1

解得m1=0(舍去)，m2=4，

∴E的坐标为(4，3).

(Ⅰ)当A为直角顶点时，

过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1(a，0)易知D点坐标为(−2，0)，

由Rt△AOD∽Rt△P1OA得

DO/OA=OA/OP即2/1=1/a，

∴a=，a=−(舍去)，

∴P1(，0).

(Ⅱ)同理，当E为直角顶点时，过E作EP2⊥DE交x轴于P2点，

由Rt△AOD∽Rt△P2ED得，

DO/OA=DE/EP2即：2/1=3/EP2，

∴EP2=

∴DP2==

∴a=−2=，

∴P2点坐标为(，0).

(Ⅲ)当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3(b、0)，

由∠OPA+∠FPE=90∘，得∠OPA=∠FEP，Rt△AOP∽Rt△PFE，

由AO/PF=OP/EF得：，

解得b1=3，b2=1，

∴此时的点P3的坐标为(1，0)或(3，0)，

综上所述，满足条件的点P的坐标为(，0)或(1，0)或(3，0)或(，0).