2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题10.2二次函数综合之菱形学案

这是一份2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题10.2二次函数综合之菱形学案，共20页。学案主要包含了经典例题1，经典例题2，经典例题3等内容，欢迎下载使用。
菱形的存在性
根据平移、三角形全等，中点坐标公式等方法求解点坐标
类型一：根据等腰三角形确定第三点
【经典例题1】如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出所有点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）∵OA=2 ，OC=6
∴A(-2 ，0)，C(0 ，-6)
抛物线y=x2+bx+c 过点A、C
∴4-2b+c=0；0+0+c=-6；；解得：b=-1；c=-6
∴抛物线解析式为 y=x2-x-6
（2）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形
∵ A(-2 ，0)，C(0 ，-6)
∴AC=
①若AC为菱形的边长，如图3
∴MN∥AC且，MN=AC=
N1(-2，)，N2(-2 ，-)，N3(2 ，0)
②若AC为菱形的对角线，如图4，则AN∥CM，AN=CN
设N4(-2 ，n)
∴ -n= 解得：n=-
∴N4(-2 ，)
综上所述，点N坐标为(-2，)，(-2 ，-) ，(2 ，0)， (-2 ，)．
练习1-1已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．

【解析】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵A(1，0)、B(0，3)、C(−4，0)，
∴，解得：，
∴经过A. B. C三点的抛物线的解析式为y=−x2−x+3；
(2)在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A. B. C. P为顶点的四边形为菱形，理由为：
∵OB=3，OC=4，OA=1，
∴BC=AC=5，
当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，
∴BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，
∴点P的坐标为(5，3)，
当点P在第二、三象限时，以点A. B. C. P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，
则当点P的坐标为(5，3)时，以点A. B. C. P为顶点的四边形为菱形；
(3)设直线PA的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵A(1，0)，P(5，3)，
∴，解得：，
∴直线PA的解析式为y=x−，
当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM−AM|