2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题18二次函数综合之定点问题学案

二次函数过定点问题

【经典例题1】二次函数y=ax2+bx+1的图象必经过点______.

【解析】当x=0时，y=ax2+bx+1=1，

所以二次函数y=ax2+bx+1的图象必经过点(0，1).

故答案为(0，1).

练习1-1某二次函数y=ax2+(a+c)x+c必过定点___.

【解析】y=ax2+(a+c)x+c=(ax+c)(x+1)，

由此可得当x=−1时，y=0，且与a、c取值无关。

故二次函数所过定点为(−1，0).

练习1-2无论m为任何实数，二次函数y=x2+(2−m)x+m的图象总过的点是(   )

A. (1，3)     B. (1，0)      C. (−1，3)     D. (−1，0)

【解析】原式可化为y=x2+2x−mx+m=x2+2x+m(1−x)，

二次函数的图象总过该点，即该点坐标与m的值无关，

于是1−x=0，解得x=1，

此时y的值为y=1+2=3，图象总过的点是(1，3).

练习1-3在直角坐标系中，不论a取何值，抛物线y=−x2+x+2a−2经过x轴上一定点Q，直线y=(a−2)x+2经过点Q.求抛物线的解析式。

【解析】∵不论a取何值，抛物线y=−x2+x+2a−2经过x轴上一定点Q，

∴当a=0，则y=−x2+x−2，当a=1时y=−x2+2x，

令y=0，则−x2+x−2；−x2+2x=0

解得x=4，

∴Q(4，0)，

∵直线y=(a−2)x+2经过点Q.

∴0=(a−2)×4+2，

解得a=，

∴抛物线的解析式为y=−x2+x+1.

练习1-4已知抛物线y=mx2+(1−2m)x+1−3m与x轴相交于不同的两点A. B

(1)求m的取值范围；

(2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；

【解析】(1)当m=0时，函数为一次函数，不符合题意，舍去；

当m≠0时，

∵抛物线y=mx2+(1−2m)x+1−3m与x轴相交于不同的两点A. B，

∴△=(1−2m)2−4×m×(1−3m)=(1−4m)2>0，

∴1−4m≠0，

∴m≠；

(2)证明：∵抛物线y=mx2+(1−2m)x+1−3m，

∴y=m(x2−2x−3)+x+1，

抛物线过定点说明在这一点y与m无关，

显然当x2−2x−3=0时，y与m无关，

解得：x=3或x=−1，

当x=3时，y=4，定点坐标为(3，4)；

当x=−1时，y=0，定点坐标为(−1，0)，

∵P不在坐标轴上，

∴P(3，4)；

练习1-5对于二次函数y=x2−3x+2和一次函数y=−2x+4，把函数y=t(x2−3x+2)+(1−t)(−2x+4)(t为常数)称为这两个函数的“衍生二次函数”。已知不论t取何常数，这个函数永远经过某些定点，则这个函数必经过的定点坐标为___.

【解析】y=t(x2−3x+2)+(1−t)(−2x+4)，=t(x2−3x+2)+t(2x−4)+(−2x+4)，=t(x2−x−2)+(−2x+4)，

令x2−x−2=0则函数图象经过的点与t值无关，

解方程得，x1=−1，x2=2，

当x=−1时，y=6，

当x=2时，y=0，

所以，这个函数必经过的定点坐标为(−1，6)，(2，0).

故答案为：(−1，6)，(2，0).

【经典例题2】已知二次函数的顶点坐标为(−，−)，与y轴的交点为(0，n−m)，其顶点恰好在直线y=x+(1−m)上(其中m、n为正数).

(1)求证：此二次函数的图象与x轴有2个交点；

(2)在x轴上是否存在这样的定点：不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点?若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由。

【解析】(1)证明：把(−，−)代入y=x+(1−m)得−+(1−m)=−，

整理得m2−mn+m−n=0，

∵(m−n)(m+1)=0，

∴m=n或m=−1(舍去)，

∴二次函数的顶点坐标为(−，−)，与y轴的交点为(0，0)，

∵m为正数，

∴二次函数的顶点在第四象限，

而抛物线过原点，

∴抛物线开口向上，

∴此二次函数的图象与x轴有2个交点；

(2)存在。

∵抛物线的对称轴为直线x=−，抛物线与x轴的一个交点坐标为(0，0)，

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1，0)，

即不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过点(−1，0)和(0，0).

练习2-1如图1，抛物线y=(x−m)2的顶点A在x轴正半轴上，交y轴于B点，S△OAB=1.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2，P是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点，过P的直线l与抛物线有且只有一个公共点，l交抛物线对称轴于C点，连PB交对称轴于D点，若∠BAO=∠PCD，求证：AC=2AD；

(3)如图3，以A为顶点作直角，直角边分别与抛物线交于M、N两点，当直角∠MAN绕A点旋转时，求证：MN始终经过一个定点，并求出该定点的坐标。

【解析】(1)由题意和y=(x−m)2设A(m，0)

当x=0时，y═(0−m)2=，即设B(0， )

∴OA=m，OB=

由S△OAB=1

∴⋅OA⋅OB=1，即m⋅=2

解得，m=2

∴A(2，0)，B(0，1)

把y=(x−2)2化为一般式为，y=x2−x+1.

(2)由(1)得抛物线对称轴为直线x=2.

D. C两点在直线x=2上，则设C(2，n)，D(2，n′)

如图2延长BA交直线PC于点Q并设直线PC交x轴于点E.

∵∠BAO=∠PCD，∠BOA=∠EAC=90∘

∴Rt△BOA∽Rt△EAC

∴∠BAO=∠ECA

∴tan∠BAO=tan∠ECA=

∴

∴AC=2AE

又∵∠BAO=∠EAQ，∠BAO=∠ECA

∴∠ECA=∠EAQ

又∵∠ECA+∠CEA=90∘

∴∠EAQ+∠QEA=90∘

∴BQ⊥PC

设直线AB的解析式为y=kx+b，把A(2，0)，B(0，1)代入得，

0=2 k+b；1=b解得 k=−；b=1

∴直线AB的解析式为，y=−x+1

由BQ⊥PC设直线PC的解析式为y=2x+b′.

又∵过P的直线l与抛物线有且只有一个公共点

∴令2x+b′═(x−2)2

整理得，x2−x+4−4b′=0，且△=0

即144−4(4−4b′)=0

解得，b′=−8

∴直线PC的解析式为，y=2x−8.

∴把点C(2，n)代入y=2x−8中得，n=2×2−8

解得，n=−4.

∴C点坐标为(2，−4)，即AC=4

由AC=2AE得，AE=2.

把b′=−8代入方程x2−12x+4−4b′=0中得，

x2−12x+36=0

解得，x1=x2=6

再把x=6代入y=2x−8中得，y=2×6−8

解得，y=4

∴P(6，4)

设直线PB解析式为y=k′x+1

把P(6，4)代入上式得，4=6k′+1

解得，k′=

∴直线PB的解析式为，y=x+1

又∵D(2，n′)在直线PB上，将其代入y=12x+1中得，

n′=×2+1=2

∴D点坐标为(2，2)，即AD=2

∴AD=AE

∴AC=2AD；

(3)如图3中，以A为原点建立新的坐标系，

则抛物线的解析式为y′=x2，在新坐标系中设M(a，a2)，N(m，m2).

∵AM⊥AN，

∴，∴ma=−16

设直线MN的解析式为y′=kx+b，则有解得：，

∵ma=−16，∴b=4，

∴直线MN的解析式为y′=(a+m)x+4，

∴直线MN经过定点(0，4)(新坐标系中)，

在原来坐标系中，直线MN经过点(2，4)，

∴直线MN经过定点(2，4)

练习2-2已知抛物线G：y=x2−2ax+a−1(a为常数)．

(1)当a=3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；

(2)若记抛物线G的顶点坐标为P(p，q)．

①分别用含a的代数式表示p，q；

②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；

③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在______的图象上．

A.一次函数          B. 反比例函数        C. 二次函数

(3)小明想进一步对(2)中的问题进行如下改编：将(2)中的抛物线G改为抛物线H：y=x2−2ax+N(a为常数)，其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上。请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：______(用含a的代数式表示)，它的顶点所在的一次函数图象的表达式y=kx+b(k，b为常数，k≠0)中，k=______，b=______．

【解析】(1)当a=3时，抛物线G为y=x2−6x+2，

∴ y=x2−6x+2=(x−3)2−7

此时抛物线G的顶点坐标为(3，−7)；

(2)①y=x2−2ax+a−1

=(x2−2ax+a2)−a2+a−1

=(x−a)2−a2+a−1

∵ 抛物线G的顶点坐标为P(p，q)，

 ∴ p=a；q=−a2+a−1

②由①得q=−p2+p−1，

③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在二次函数的图象上，

故选C；

(3)答案不唯一，如新抛物线H的函数表达式为y=x2−2ax+a2+a，

得到k=1，b=0．

练习2-3如图所示，过点F(0，1)的直线y=kx+b与抛物线y=x2交于M(x1，y1)和N(x2，y2)两点(其中x1<0，x2>0).

(1)求b的值。

(2)求x1⋅x2的值。

(3)对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m(m是常数)，使m与以MN为直径的圆相切?如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由。

【解析】(1)∵直线y=kx+b过点F(0，1)，

∴b=1；

(2)∵直线y=kx+b与抛物线y=x2交于M(x1，y1)和N(x2，y2)两点，

∴可以得出：kx+b=x2，

整理得：x2−kx−1=0，

∵a=14，c=−1，

∴x1⋅x2=−4，

(3)符合条件的定直线m即为直线l:y=−1.

过M作MH⊥NN1于H，

MN2=MH2+NH2=(x1−x2)2+(y1−y2)2=(k2+1)(16k2+16)=16(k2+1)2，

∴MN=4(k2+1)，

分别取MN和M1N1的中点P，P1，

PP1=(MM1+NN1)=(y1+1+y2+1)=(y1+y2+2)=(y1+y2)+1=k(x1+x2)+2=2k2+2，

∴PP1=MN

即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半。

∴以MN为直径的圆与l相切。

即对于过点F的任意直线MN，存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切，这条直线m的解析式是y=−1.

练习2-4孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a<0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A. B两点，请解答以下问题：

(1)若测得OA=OB=2(如图1)，求a的值；

(2)对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标___；

(3)对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A. B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标。

【解析】(1)设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，

∵OA=OB=2,∠AOB=90∘，

∴AC=OC=BC=2，

∴B(2,−2)，

将B(2,−2)代入抛物线y=ax2(a<0)得,a=−.

(2)解法一：过点A作AE⊥x轴于点E，

∵点B的横坐标为1，

∴B(1,−)，

∴BF=.

又∵∠AOB=90∘，易知∠AOE=∠OBF，

又∵∠AEO=∠OFB=90∘，

∴△AEO∽△OFB，

∴AE/OE=OF/BF==2，

∴AE=2OE，

设点A(−m,−m2)(m>0)，则OE=m，

AE=m2，

∴m2=2m，

∴m=4，即点A的横坐标为−4.

(3)设A(−m,−m2)(m>0),B(n,−n2)(n>0)，

设直线AB的解析式为：y=kx+b,则−mk+b=−m2(1);nk+b=−n2(2)，

(1)×n+(2)×m得,(m+n)b=−(m2n+mn2)=−mn(m+n)，

∴b=−mn(8分)

又易知△AEO∽△OFB，

∴AE/OF=OE/BF，

∴，

∴mn=4，

∴b=−×4=−2.

由此可知不论k为何值,直线AB恒过点(0,−2).

练习2-5如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；

（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

【解析】

（1）抛物线解析式y=x2-2x-3

(2)若点P在x轴下方，如图1，点P（）

若点P在x轴上方，如图2，点P（）

（3）DM+DN为定值8.