中考数学课时复习（含答案）：68 弧长与扇形面积

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68弧长与扇形面积
一、选择题
1. 已知圆柱体的底面半径为3cm，髙为4cm，则圆柱体的侧面积为（　　）
　
A．
24πcm2
B．
36πcm2
C．
12cm2
D．
24cm2

考点：
圆柱的计算．
分析：
圆柱的侧面积=底面周长×高，把相应数值代入即可求解．
解答：
解：圆柱的侧面积=2π×3×4=24π．
故选A．
点评：
本题考查了圆柱的计算，解题的关键是弄清圆柱的侧面积的计算方法．
　
2. 如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD的长是（　　）

　
A．

B．

C．

D．


考点：
垂径定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；弧长的计算．
分析：
连接OC，先根据勾股定理判断出△ACE的形状，再由垂径定理得出CE=DE，故=，由锐角三角函数的定义求出∠A的度数，故可得出∠BOC的度数，求出OC的长，再根据弧长公式即可得出结论．
解答：
解：连接OC，
∵△ACE中，AC=2，AE=，CE=1，
∴AE2+CE2=AC2，
∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，
∵sinA==，
∴∠A=30°，
∴∠COE=60°，
∴=sin∠COE，即=，解得OC=，
∵AE⊥CD，
∴=，
∴===．
故选B．

点评：
本题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中．
　
3．如图，扇形AOB中，半径OA=2，∠AOB=120°，C是的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分面积是（　　）

A． ﹣2 B． ﹣2 C． ﹣ D． ﹣

考点： 扇形面积的计算．
分析： 连接OC，分别求出△AOC、△BOC、扇形AOC，扇形BOC的面积，即可求出答案．
解答： 解：连接OC，

∵∠AOB=120°，C为弧AB中点，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
∵OA=OC=OB=2，
∴△AOC、△BOC是等边三角形，
∴AC=BC=OA=2，
∴△AOC的边AC上的高是=，
△BOC边BC上的高为，
∴阴影部分的面积是﹣×2×+﹣×2×=π﹣2，
故选A．
点评： 本题考查了扇形的面积，三角形的面积，等边三角形的性质和判定，圆周角定理的应用，解此题的关键是能求出各个部分的面积，题目比较好，难度适中．
　
4．已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（　　）
A、 B． 2π C． 3π D． 12π

考点： 弧长的计算
分析： 根据弧长公式l=，代入相应数值进行计算即可．
解答： 解：根据弧长公式：l==3π，
故选：C．
点评： 此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l=．
　
5．一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为（　　）
　
A．
1.5
B．
2
C．
2.5
D．
3

考点：
圆锥的计算．
分析：
半径为6的半圆的弧长是6π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是6π，然后利用弧长公式计算．
解答：
解：设圆锥的底面半径是r，
则得到2πr=6π，
解得：r=3，
这个圆锥的底面半径是3．
故选D．
点评：
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
6.用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（　　）
　
A．

B．
1
C．

D．
2

考点：
圆锥的计算
分析：
易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
解答：
解：扇形的弧长==2π，
故圆锥的底面半径为2π÷2π=1．
故选B．
点评：
考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
7．一个扇形的半径为8cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（　　）
　
A．
60°
B．
120°
C．
150°
D．
180°

考点：
弧长的计算
分析：
首先设扇形圆心角为x°，根据弧长公式可得：=，再解方程即可．
解答：
解：设扇形圆心角为x°，根据弧长公式可得：=，
解得：n=120，
故选：B．
点评：
此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长计算公式：l=．
　
8．如图，、、、均为以O点为圆心所画出的四个相异弧，其度数均为60°，且G在OA上，C、E在AG上，若AC＝EG，OG＝1，AG＝2，则与两弧长的和为何？(　　)

A．π B． C． D．
分析：设AC＝EG＝a，用a表示出CE＝2﹣2a，CO＝3﹣a，EO＝1＋a，利用扇形弧长公式计算即可．
解：设AC＝EG＝a，CE＝2﹣2a，CO＝3﹣a，EO＝1＋a，
＋＝2π(3﹣a)×＋2π(1＋a)×＝ (3﹣a＋1＋a)＝ ．
故选B．
点评：本题考查了弧长的计算，熟悉弧长的计算公式是解题的关键．
9. 一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是【 】



A． B． C． D．
【答案】A.
【解析】

故选A.

考点：1. 等腰直角三角形的判定和性质；2. 勾股定理；3. 扇形面积和圆面积的计算.
10．圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是（ ）
　
A．
6π
B．
8π
C．
12π
D．
16π

考点：
圆锥的计算
专题：
计算题．
分析：
根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
解答：
解：此圆锥的侧面积=•4•2π•2=8π．
故选B．
点评：
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
11.如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为（　　）
　
A．
10cm2
B．
10πcm2
C．
20cm2
D．
20πcm2

考点：
圆锥的计算．
分析：
圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
解答：
解：圆锥的侧面积=2π×2×5÷2=10π．
故选B．
点评：
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面积的计算方法．
12.如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）

　A．（﹣1）cm2 B．（+1）cm2 C． 1cm2 D． cm2
分析：假设出扇形半径，再表示出半圆面积，以及扇形面积，进而即可表示出两部分P，Q面积相等．连接AB，OD，根据两半圆的直径相等可知∠AOD=∠BOD=45°，故可得出绿色部分的面积=S△AOD，利用阴影部分Q的面积为：S扇形AOB﹣S半圆﹣S绿色，故可得出结论．
解：∵扇形OAB的圆心角为90°，假设扇形半径为2，∴扇形面积为：=π（cm2），半圆面积为：×π×12=（cm2），∴SQ+SM =SM+SP=（cm2），
∴SQ=SP，连接AB，OD，
∵两半圆的直径相等，∴∠AOD=∠BOD=45°，∴S绿色=S△AOD=×2×1=1（cm2），
∴阴影部分Q的面积为：S扇形AOB﹣S半圆﹣S绿色=π﹣﹣1=﹣1（cm2）．故选：A．
点评： 此题主要考查了扇形面积求法，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．

二.填空题
1. 如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则：
（1）AB的长为　1　米；
（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为　　米．

考点：
圆锥的计算；圆周角定理
专题：
计算题．
分析：
（1）根据圆周角定理由∠BAC=90°得BC为⊙O的直径，即BC=，根据等腰直角三角形的性质得AB=1；
（2）由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则2πr=，然后解方程即可．
解答：
解：（1）∵∠BAC=90°，
∴BC为⊙O的直径，即BC=，
∴AB=BC=1；
（2）设所得圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr=，
解得r=．
故答案为1，．

点评：
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理．
　2．如图，半径为6cm的⊙O中，C、D为直径AB的三等分点，点E、F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连接AE、BF，则图中两个阴影部分的面积为 6 cm2．

考点：
垂径定理；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
分析：
作三角形DBF的轴对称图形，得到三角形AGE，三角形AGE的面积就是阴影部分的面积．
解答：

解：如图作△DBF的轴对称图形△HAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，
∵△DBF的轴对称图形△HAG，
∴△ACG≌△BDF，
∴∠ACG=∠BDF=60°，
∵∠ECB=60°，
∴G、C、E三点共线，
∵AM⊥CG，ON⊥CE，
∴AM∥ON，
∴==，
在RT△ONC中，∠OCN=60°，
∴ON=sin∠OCN•OC=•OC，
∵OC=OA=2，
∴ON=，
∴AM=2，
∵ON⊥GE，
∴NE=GN=GE，
连接OE，
在RT△ONE中，NE===，
∴GE=2NE=2，
∴S△AGE=GE•AM=×2×2=6，
∴图中两个阴影部分的面积为6，
故答案为6．
点评：
本题考查了平行线的性质，垂径定理，勾股定理的应用．
3.一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为　160°　．
考点：
圆锥的计算．
专题：
计算题．
分析：
根据圆锥的底面直径求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，再利用告诉的母线长求得圆锥的侧面展开扇形的面积，再利用扇形的另一种面积的计算方法求得圆锥的侧面展开图的圆心角即可．
解答：
解：∵圆锥的底面直径是80cm，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πd=80π，
∵母线长90cm，
∴圆锥的侧面展开扇形的面积为：lr=×80π×90=3600π，
∴=3600π，
解得：n=160．
故答案为：160．
点评：
本题考查了圆锥的有关计算，解决此类题目的关键是明确圆锥的侧面展开扇形与圆锥的关系．
　
4.如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，以A、B、C三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是　﹣　．

考点：
扇形面积的计算；等边三角形的性质；相切两圆的性质．
分析：
观察发现，阴影部分的面积等于正三角形ABC的面积减去三个圆心角是60°，半径是2的扇形的面积．
解答：
解：连接AD．
∵△ABC是正三角形，BD=CD=2，
∴∠BAC=∠B=∠C=60°，AD⊥BC．
∴AD=．
∴阴影部分的面积=×2×﹣3×=﹣．
故答案为：﹣．

点评：
此题主要考查了扇形面积的计算，能够正确计算正三角形的面积和扇形的面积．正三角形的面积等于边长的平方的倍，扇形的面积=．

三.解答题
1. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．
（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求证：OD=OE；
（3）求证：PF是⊙O的切线．

考点：
切线的判定；弧长的计算．
分析：
（1）根据弧长计算公式l=进行计算即可；
（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；
（3）连接AP，PC，证出PC为EF的中垂线，再利用△CEP∽△CAP找出角的关系求解．
解答：
（1）解：∵AC=12，
∴CO=6，
∴==2π；
（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，
∠PEA=90°，∠ADO=90°
在△ADO和△PEO中，
，
∴△POE≌△AOD（AAS），
∴OD=EO；

（3）证明：如图，连接AP，PC，

∵OA=OP，
∴∠OAP=∠OPA，
由（1）得OD=EO，
∴∠ODE=∠OED，
又∵∠AOP=∠EOD，
∴∠OPA=∠ODE，
∴AP∥DF，
∵AC是直径，
∴∠APC=90°，
∴∠PQE=90°
∴PC⊥EF，
又∵DP∥BF，
∴∠ODE=∠EFC，
∵∠OED=∠CEF，
∴∠CEF=∠EFC，
∴CE=CF，
∴PC为EF的中垂线，
∴∠EPQ=∠QPF，
∵△CEP∽△CAP
∴∠EPQ=∠EAP，
∴∠QPF=∠EAP，
∴∠QPF=∠OPA，
∵∠OPA+∠OPC=90°，
∴∠QPF+∠OPC=90°，
∴OP⊥PF，
∴PF是⊙O的切线．
点评：
本题主要考查了切线的判定，解题的关键是适当的作出辅助线，准确的找出角的关系．
　
2.如图，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG．
（1）求证：EF∥CG；
（2）求点C，点A在旋转过程中形成的，与线段CG所围成的阴影部分的面积．

考点：
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算
分析：
（1）根据正方形的性质可得AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，再根据旋转变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得△ABF和△CBE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，全等三角形对应边相等可得AF=EC，然后求出∠AFB+∠FAB=90°，再求出∠CFG=∠FAB=∠ECB，根据内错角相等，两直线平行可得EC∥FG，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形EFGC是平行四边形，然后根据平行四边形的对边平行证明；
（2）求出FE、BE的长，再利用勾股定理列式求出AF的长，根据平行四边形的性质可得△FEC和△CGF全等，从而得到S△FEC=S△CGF，再根据S阴影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG列式计算即可得解．
解答：
（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，
∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△ABF，
∴△ABF≌△CBE，
∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=EC，
∴∠AFB+∠FAB=90°，
∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，
∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，
∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，
∴EC∥FG，
∵AF=EC，AF=FG，
∴EC=FG，
∴四边形EFGC是平行四边形，
∴EF∥CG；
（2）解：∵AD=2，E是AB的中点，
∴FE=BE=AB=×2=1，
∴AF===，
由平行四边形的性质，△FEC≌△CGF，
∴S△FEC=S△CGF，
∴S阴影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG，
=+×2×1+×（1+2）×1﹣，
=﹣．
点评：
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转变换的性质，勾股定理的应用，扇形的面积计算，综合题，但难度不大，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D.
（1） 求证：AC是⊙O的切线；
（2） 若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积.（结果保留根号和π）
考点：
切线的判定；阴影部分面积.
分析：
（1）连接OD，求出∠A=∠DOC，推出∠ODC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）先求出的面积，再求出扇形ODC的面积，即可求出阴影部分面积．
解答：
（1）证明：如图，连接OD
∵，
∴，
∴∠，
∵，
∴，
∠ABC=90°，

∴，

∵OD为半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：，
在中，




点评：
本题考查了等量代换、切线的判定、三角形面积、扇形面积等知识点的应用，主要考查学生的推理能力.．