北师大版2021-2022学年八年级数学上册考点专项训练——巧用勾股定理判定直角的五种方法（附参考答案）

巧用勾股定理判定直角的五种方法

方法指导：

证垂直的方法：(1)在同一平面内，垂直于两条平行线中的一条直线；(2)等腰三角形中“三线合一”；(3)勾股定理的逆定理．在几何中，我们常常通过证垂直，再利用垂直的性质来解各相关问题．

 方法1： 利用三边的数量关系说明直角

1．如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE＝BC.你能说明∠AFE是直角吗？

                                                                  (第1题)

 方法2： 利用转化为三角形法构造直角三角形

2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝13，AD＝12.求S四边形ABCD.

                                                  (第2题)

 方法3： 利用倍长中线法构造直角三角形

3．如图，在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13.试说明：AB⊥AD.

                                                   (第3题)

 方法4： 利用化分散为集中法构造直角三角形

4．如图，在等腰直角三角形ABC的斜边上取两点M，N，使∠MCN＝45°，设AM＝a，MN＝x，BN＝b，判断以x，a，b为边长的三角形的形状．

                                                                  (第4题)

 方法5： 利用“三线合一”法构造直角三角形

5．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN.

试说明：AB2＝2(CM＋CN)2.

                                                               (第5题)

参考答案

1．解：设CE＝a，则BC＝4a，BE＝3a，因为四边形ABCD为正方形，且F为DC的中点，所以AB＝AD＝CD＝BC＝4a，DF＝CF＝2a.再由勾股定理得AF2＝AD2＋DF2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2 ，EF2＝CE2＋CF2＝a2＋(2a)2＝5a2，AE2＝AB2＋BE2＝(4a)2＋(3a)2＝25a2.因为AF2＋EF2＝20a2＋5a2＝25a2，所以AF2＋EF2＝AE2.由勾股定理的逆定理得∠AFE＝90°，即∠AFE是直角．

2．解：连接AC.在Rt△ACB中，

AB2＋BC2＝AC2，

所以AC＝5.所以AC2＋AD2＝52＋122＝132＝CD2.

所以△ACD为直角三角形，且∠CAD＝90°.

所以S四边形ABCD＝×3×4＋×5×12＝36.

3．解：如图，延长AD至点E，使ED＝AD，连接CE，BE.

因为D为BC的中点，所以CD＝BD.

又因为AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，

所以△ADC≌△EDB.

所以EB＝AC＝13.

在△ABE中，AE＝2AD＝12，

所以AE2＋AB2＝122＋52＝169.

又因为EB2＝132＝169，

所以AE2＋AB2＝EB2.

所以△ABE是直角三角形，且∠BAE＝90°，

即AB⊥AD.

(第3题)

4．解：因为AC＝BC，∠ACB＝90°，所以将△ACM绕点C逆时针旋转90°，可得△BCD，连接ND，如图所示．

则∠A＝∠CBD，CM＝CD，BD＝AM＝a，∠MCD＝90°.

又因为∠MCN＝45°，所以∠DCN＝∠MCN＝45°.又因为CN＝CN，

所以△MCN≌△DCN.所以DN＝MN＝x.

又易知∠A＝∠CBA＝45°，

所以∠NBD＝∠CBA＋∠CBD＝90°.

所以△NBD为直角三角形，即以x，a，b为边长的三角形是直角三角形．

(第4题)

(第5题)

5．解：如图，连接CD，因为DM⊥DN，所以∠MDC＋∠CDN＝90°.

因为∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点，所以CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠A＝∠B＝45°.所以∠CDN＋∠NDB＝90°.所以∠MDC＝∠NDB.因为∠BCD＝∠B＝45°，

所以CD＝BD.在△CMD和△BND中，

因为∠MDC＝∠NDB，CD＝BD，∠MCD＝∠NBD＝45°，所以△CMD≌△BND.所以CM＝BN.所以CM＋CN＝BN＋CN＝BC.

又因为AB2＝AC2＋BC2＝2BC2，所以AB2＝2(CM＋CN)2.